人教版初中数学数与式版块基础知识点及例题分析.docx
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人教版初中数学数与式版块基础知识点及例题分析
、数与式板块
1有理数正数：
像0.05,3这样大于0的数叫正数。
负数：
像-3，-0.45这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数
正整数、0、负正数统称为整数；正分数、负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
数轴：
在数学中可用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
相反数：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数
绝对值：
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|由绝对值的定义可知：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数大小的比较
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
倒数：
乘积是1的两个数互为倒数有理数乘方的运算的符号法则：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正数次幂都是零。
科学记数法：
把一个大于10的数表示成ax10的形式（其中a大于或者等于1且小于10,n是正整数），这样的记数的方法叫科学记法。
（必考）
考点1：
实数的相关概念
例1在数0,2，-3，-1.2中属于负整数的是（）
A0B2C-3D-1.2
解析：
0既不是正数也不是负数
2属于正整数
-3是负整数故选C-1.2是负数但不是负整数，故错误。
考点2：
绝对值（和相反数选考其中之一，选择或填空）
典例2（2013云南）-6的绝对值是（）
A-6B6C±6D--
6
分析：
根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a.根据绝对值的性质卜6|=6
考点3:
相反数（每年必考，选择题）
典例3（晋江中考）化简-（-2）=
解析：
负数的相反数是正数，故-
（-2）=2
例4（2012昆明）5的相反数是
1
A.—B.-5
5
C.1D.5
5
解：
正数的相反数是负数，绝对值要相等，
所以5的相反数是-5,故选B
1
例5（2014昆明）丄的相反数是（
2
）
A1厂1小
A.B.C.
2
D.2
22
解析：
根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解解:
丄的相反数是-丄•
22
故选B.
考点4正负数的应用
例5（济宁中考）一运动员某次跳水的最高点离跳台2m，记作+2m，则水面离跳
台10m可以记作（）
A.
B.-12m
-10m
C.+10mD.+12m
解析：
最高点到跳台的方向和水面到跳台的方向是相反的，已知最高点到跳台的
距离为2m，记作+2m，所以反方向距离记作负数，即水面离跳台10m,记作-10m.例6（2011昆明）昆明小学1月份某天的气温为5C,最低气温为-1C,则昆明这天的气温差为（）
A、4CB、6CC、-4CD、-6C
解析：
温差为最高气温减去最低气温，所以温差等于5-（-1）=6度。
考点5:
科学记数法。
（每年必考，填空题）
类型1，要表示的数大于1，且无单位换算
例7（2014.昆明）据报道，2014年4月昆明库塘蓄水量为58500万立方米，将58500万立方米用科学计数法表示为（）万立方米。
分析：
科学记数法的表示形式为axion的形式，其中K|a|<10,n为整数。
确定n的值时。
要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数。
解;将58500用科学记数法表示为5.85x104（每年必考）
类型2，要表示的数小于1，但无单位换算
例8某种细胞的直径是0.00000095m将0.00000095用科学计数法表示为（）
A9.5107B9.5108
C0.95107D95108
解析：
数据0.00000095，第一个非零数字前面有7个0，所以该数据运用科学记
数法可表示为9.5107（原数绝对值小于1时，n是负数）.类型3，具有单位换算的科学记数法。
例9（2014河南）据统计2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元，若将
3875.5亿元用科学法表示为3.875510n，贝Un等于（）
A、10B、11C、12D、13
解析：
3875.5亿元=387550000000=3.87551011故选B点拨：
像这种带单位用科学记数法表示的题目，要先将单位化为统一再用科学记数的计算法贝来求。
2、整式的加减单项式：
都是数或者字母的积。
多项式;几个多项式的和叫做多项式。
整式：
单项式与多项式统称为整式同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的的和，且字母连同它的指数不变。
考点1:
整式的识别
例1单项式中2a的系数是
A2B2aC1Da
解析：
单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式2a中，2是数字因数，所以单项式2a的系数是2,故选A
典例2（济宁中考）如果整式xn2-x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（）
A3B4C5D6
因为整式xn2-x+2是关于x的三次三项式，所以该多项式的最高次数为3,即n-2=3，解得n=5，故选C。
考点2:
同类项的概念的应用
典例3（凉山州中考）如果单项式-xa1y3与*ybx2是同类项，那么a,b的值分别是多少？
（）
Aa=2b=3Ba=1b=2Ca=1b=3Da=2b=2
解析：
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所以由题意得x和y的指数应该相同，即a+1=2,3=b所以a=1,b=3选C选项。
考点3:
合并同类项
例4合并同类项：
6a2b5b2a4ab7ba23ab23ba
解析：
合并同类项包括两点：
一找同类项；二合并同类项。
合并时将同类项放在一个括号中，连同各项前面的符号，各项间用加号连接。
解：
6a2b5b2a4ab7ba23ab23ba
=（6-7）a2b+（5+3）ab2+（3-4）ab
22
=ab8abab
考点4:
整式的计算
例5（2014宁波）化简：
（ab）2（ab）（ab）2ba
解：
（ab）2（ab）（ab）2ba
2222
=a2abbab2ab
=a2
例6（2015咸宁）化简（a2b2ab2b3）b（ab）2
解（a2b2ab2b3）b（ab）2
=a22abb2a22abb2
=-2b2
整式的计算只需按照计算法则依次计算并合并同类项，最后得到最简整式，即可
3一元一次方程
一元一次方程：
只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都是整式，
这样的方程叫做一元一次方程。
等式的性质
性质1:
等式两边同时加上或者减去同一个数或者式子，结果仍相等
性质2:
等式两边同时乘或者除同一个不为0的数，结果仍相等。
解一元一次方程的一般步骤为：
去分母，去括号，移向，合并同类项，系数化为
1.
考点1，解一元一次方程
例1，解方程込卫1.5x込卫
53
解：
去分母得6（x3）22.5x10（x7）
去括号得6x1822.5x10x70
移向得6x22.5x10x7018
合并同类项得-6.5x52
系数化为1得x8
2x1
例2（2015济南）若代数式4x5与的值相等，贝Ux的值是
2
32
A1BCD2
23
亠2x1
解：
由题意得4x5=
2
去分母得2（4x5）2x1
去括号得8x102x1
移向得6x9
系数化为1得x3
2
故选B
考点2,—元一次方程的应用
类型1,配套问题（在现实生活中存在“产品配套”问题，这类问题的基本等量关系是加工或生产的总量成正比。
例3某车间有工人28人，已知每个工人一天能生产螺栓12个或者螺母18个,每个螺栓要和两个螺母配套，问怎样分配生产螺栓和螺母的人数才能使每天生产螺栓和螺母正好配套？
解：
设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为（28-x）人，根据题意得
212x18（28x）解得x=12
所以28-x=28-12=16（人）
答：
生产螺栓的工人为12人，生产螺母的工人为16人类型2打折销售问题
常见数量关系
注意事项
利润=售价-进价
打几折是按照原价的百分之几十出售
利润率=（售价-进价）/进价X100
%
分清利润与利润率
例4（哈尔滨中考）某种衬衫每件标价150元，如果每件以8折出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为（）元。
解析：
设衬衫每件实际售价为x元，根据题意得x=150X80%=120
所以答案为120元。
类型3行程问题
行程问题中常见的关系式为路程=速度X时间，在行程中一般有三种情况
（1）相遇问题：
相等关系为速度和X相遇时间二距离
（2）追及问题：
相等关系式为（快行速度-慢行速度）X追及时间二距离
（3）航行问题：
相等关系为顺水速度=静水速度+水流速度。
例5从甲地到乙地的路有一段平路和一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15km上坡路每小时10km,下坡路每小时18km,那么从甲地到乙地需29分钟,从乙地到甲地需25分钟，从甲地到乙地的路程是多少？
解：
设平路所用时间为x小时，29分钟=29小时，25分钟=25小时，根据题意
6060
得
29251
10（竺X）18（空X）解得X-
60603
1291
则从甲地到乙地的行程是15丄10（仝-）6.5（km）
3603
答：
从甲地到乙地的路程为6.5km.
4,、实数
算数平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为,读作“根号a”，a叫做被开方数。
0的算术平方根是0.
平方根：
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或者二次方根。
即如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作土、.a，读作正负根号a。
开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫开平方。
性质：
正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。
立方根：
一般地如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或者三次方根。
性质：
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
有理数：
任何有限小数或者无限循环小数都是有理数，如3.21,4.33333
无理数;无限不循环的小数叫无理数，冗，.3
实数：
有理数和无理数的统称。
考点1，算术平方根
典例1（南通中考）9的算术平方根是（）
A3B-3C81D-81
解析：
根据算术平方根的定义，得9的算术平方根是■9=3，所以答案选A.考点2,平方根与立方根
典例2,-27的立方根与、81的平方根之和是
B-6
CO或者-6
D6
解析：
因为（-3）3=-27,所以327=-3
又因为,81=9,且（土3）2=9
所以・、81的平方根是土3。
所以，它们的和是0或者-6,故选C
考点3,实数与数轴的对应关系
典例3，实数a，b在数轴上的位置如图所示则.（ab）2a的化简结果是。
丄
b
丄
0
J——»
a
解析：
从数轴上看
a>0,
b<0,
且|a|<|b|,
所以、（a
b）2a
=|a
b|+a=
-a-b+a=-b
考点4,估算无理数
典例4（2012.昆明）定出一个大于2小于4的无理数
考点：
无理数及平方根
解析因为2=.4,4=.16,所以2=\4v.xv.16=4
（x=5,6,7,8,10,11,12,13,14,15）
估算无理数就要看无理数介于的两个数是哪两个数的平方根或者算术平方根，然
后只要被开方数介于两者之间且是开不尽的即可。
5.二元一次方程组
二元一次方程组：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1,像这样
的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：
有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共
由两个方程。
厂AxByC0
二元一次方程组LDxEyF0解的情况
AB
（1）当一一时，方程组有唯一一组解；
BE
ABC
（2）当AB-时，方程组有无数组解；
BEF
ABC
（3）当--C时方程组无解。
DEF
解二元一次方程组的方法：
代入法和消元法。
代入法：
把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出
来，再代入另外一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
加减法：
当二元一次方程组中同一未知数的系数相反或者相等时，把这两个方程
的两边分别相加或者相减，就能消去这个未知数，得到一元一次方程。
列一元一次方程组解实际问题时会抓住“不变量”和“等值量”列方程。
实际问题与二元一次方程组：
（1）弄清楚题意和题目中的数量关系，用字母x,y表示题目中的两个未知数
（2）找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系
（3）根据两个相等关系，列出代数式，从而列出方程并组成方程组
（4）解这个二元一次方程组，求出未知数的值
（5）检查所得结果的正确性及合理性
（6）写出答案。
考点1，二元一次方程组的解法
典例1（成都中考）解方程组：
「xy=1①
2xy=5②
解方法一（代入法）：
由①得x1y③
即22yy5，
23y5，解得y
把③代入②得21yy5
把y1代入③，得x1
（1）2
所以方程组的解为
方法二（加减法）
①+②，得3x6，解得x2
把x2代入①，得2xy1，解得y1
「x2
所以方程组的解为］y1
考点2,二元一次方程组的应用
例2（2014昆明）某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.
（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值.
解析：
（1）设A、B两种奖品单价分别为x元、y元，由两个方程构成方程组,
求出其解即可.
（2）找出W与m之间的函数关系式（一次函数），由不等式组确定自变量m的取值范围，并由一次函数性质确定最少费用W的值.
3x2y60
5x3y95
答：
A、B两种奖品单价分别为10元、15元.
（2）由题意，得
W10m15（100m）
10m150015m
15005m
由15005m1150，解得：
70m75.m3（100m）
由一次函数W15005m可知，W随m增大而减小
当m75时，W最小，最小为W15005751125（元）
答：
当购买A种奖品75件，B种奖品25件时，费用W最小，最小为1125元
（此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用）
例3（2016昆明）（列方程（组）及不等式解应用题）
春节期间，某商场计划购进甲，乙两种商品，己知购进甲商品2件和乙商品
3件共需270元；购进平商品3件和乙商品2件共霈230元.
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定平商品以毎件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市
场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品的数董不少于乙种商品数置的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.
）Kt（Hit甲聃商为,元
|2i+Vs270
pit2）=230
簞禅『"[）分
甲忡KWJlSfliah为J0元・iUt商址毎件邊阶为兀元・
iS商场期附中蝴购进乙为口如）比设利袒为約iC）
解社卫汕5»
tllfflAW:
iv■（40-対归*%—利（w町
皿】W=iGflU
丁卜山如诩^的堆女面减小
So®ftZ-iox«0+2000=1200（jt）7W
A!
（Xkj-KX>-»0-20{fl>
当商场进甲乙种商如州时，获禅丸MJttlM为1200元■幷
（此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用）
6、不等式与不等式组
不等式：
用符号“<”或“〉”表示大小关系的式子叫不等式。
不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
不等式的性质1:
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的性质2:
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3:
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
元一次不等式：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不
一元一次不等式的解法：
1、去分母2、去括号3、移项4、合并同类项5、系数化为1（在步骤1到步骤5中，如果乘的因数或除数是负数，贝U不等号的方向要改变）
一元一次不等式组：
把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）将各不等式的解集在数轴上表示出来；
（3）在数轴上找出各个不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考点1不等式的定义和性质
例1（2015南充）若mn,下列不等式不一定成立的是（）
Am2n2B2m2n
Dm2n2
，不等号
解析：
由不等式的性质1（不等式两边加（或减）同一个数（或式子）的方向不变。
）和不等式的性质2（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）。
可知A,B,C都是正确的，但D项不一定成立，如m=0,n=-1,则m2n2
不成立，所以选D.
例2（2012广州）已知ab，若c是任意实数，贝U下列不等式中总是成立的是
AacbcBacbc
CacbcDacbc
解析：
由不等式的性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方
向不变。
可得B正确，而A选项变了不等号的方向，C,D无法断定是否正确，因为c的正负无法判定，它也有可能是0，所以选B.
考点2,一元一次不等式的解法
例3，（2016金华）不等式3x+1v-2的解集是（）
解：
移向，3xv-2-1
合并同类项得，3x<-3
系数化为1，得xv-1例4,解不等式2x3
解：
去分母，得3（2x3）x1
去括号，得6x9x1
移项、合并同类项，得5x10
系数化为1,得x2
所以原不等式的解集为x2
点拨：
在解一元一次不等式时要按照不等的性质来变换不等号的方向考点3不等式组的解法
4x>
解①得x<8
解②得x>1所以不等式组的解集为1答错或不答
例6,（福州中考）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分扣三分
（1）小明考了68分，那么小明答对多少道题？
（2）小亮获得二等奖（70-90分），请你算算小亮答对了几道题？
解：
（1）设小明答对了x道题
依题意得5x-3（20-x）=68解得x=16
（2）设小亮答对了y道题，依题意得
Fy-3（20-y）>70
%y-3（20-y）<70
因此解得不等式组的解集为16-44
因为y是正整数
所以y等于17,或者18
答：
小亮答对了17道或者18道题。
例7（2011昆明）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．
（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？
哪种方案的费用最小？
并求出最小费用？
解：
（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：
y=300x+200（42-x）+150（50-x）+250（x-2），
即y=200x+15400，
所以y与x的函数关系式为：
y=200x+15400．
x0
42x0
又•••，
50x0
x20
解得：
2所以自变量x的取值范围为：
2（2）v此次调运的总费用不超过16000元，二200x+15400<16000
解得：
x<3二x可以取：
2或3，
方案一：
从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆，方案二：
从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆，
vy=200x+154000是一次函数，且k=200>0，y随x的增大而增大，
•••当x=2时，y最小，即方案一费用最小，
此时，y=200>2+15400=15800,
所以最小费用为：
15800元
例8（2013?
昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本.
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个
原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
解析：
（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可；
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可.
解：
（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，由题意得，
360“360
+10=—
x0.9x
解得：
x=4，
经检验得：
x=4是原方程的根，
答：
打折前每本笔记本的售价为4元.
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件，由题意得，
360詔
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