徐州市连云港市高三三模考试数学试题及答案.docx
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徐州市连云港市高三三模考试数学试题及答案
连云港市2014－2015学年度高三第三次调研考试数学试题参考答案
一.填空题
1.5;2.{2};3.28;4.4;5.;6.37;
7.;8.;9.;10.;
11.;12.;13.;14.
.
二.解答题
15.解：
（1），，·……………………………………………………2分
，
……………………………………………………………………………………3分
，……………………………………………5分
由题意，
，·……………………………………………………………7分
（2）由
（1）知,,·……………………………………………………9分
由正弦定理得，·………………………………………………11分
又，………………………………………………………………………………12分
·………………………………………………………………14分
16．
（1）∵平面，平面，
∴．又∵//,．……………………………………………………………2分
在矩形中，，………………4分
∵，平面
平面．…………………6分
（2）连AN交BD于F点，连接FM………………………………………………………………………8分
∵//且
……………………10分
又AM=2ME//……………………12分
又平面,平面
//平面.…………………………14分
17.
（1）在Rt△PAE中，由题意可知，AP=8，则．
所以.………………………………2分
同理在Rt△PBF中，，PB＝1,则,
所以.………………………………4分
故△PAE与△PFB的面积之和为……………………5分
=8,
当且仅当,即时取等号,
故当AE=1km,BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小.…………………………………6分
（2）在Rt△PAE中，由题意可知，则．
同理在Rt△PBF中，，则．
令，，……………8分
则，………………………………10分
令，得，记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以时，取得最小值，…………………………………………………12分
此时，．
所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…………………………14分
18.
（1）由题意，解得，
，椭圆方程为·······4分
（2）解法一:
·······6分
直线方程为：
，联立，得
所以到的距离
·······8分
直线方程为：
，联立，得,
，
·······10分
·······12分
令,则
·········14分
当且仅当,即等号成立,
所以的最大值为.·········16分
解法二:
直线方程为：
，
联立，得·······6分
直线方程为：
，联立，得·········8分
······10分
····12分
令,则
·········14分
当且仅当,即等号成立
所以的最大值为.·········16分
19.
（1）因为,当时,,解得.……………1分
由,
当,
两式相减，得．………………………………2分
又因为,所以，
所以,．……………………………4分
由得，
所以．…………………………………6分
（2）由题意得，
所以
……………………………8分
所以…………………………10分
故若为中的项只能为．…………………………11分
（Ⅰ）若,则,所以无解．………………………12分
（Ⅱ）若
显然不符合题意，符合题意．
当时，即则
设则，
即为增函数，故，即为增函数
故故当时方程无解，即
是方程唯一解。
……………………………………………15分
（Ⅲ）若则,即.
综上所述，或……………………………………………16分
20.
（1）当a=1时，f（x）=x22x1,所以函数f（x）在[0，1]上单调递减，…………………2分
由f
（1）=，即11+b=,解得b=2.………………………4分
（2）f（x）=x2+2ax1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=a,
因为△=4a2+4>0，f（x）=0有两个不等实根x1,2=……………………5分
①当方程f（x）=0在区间（a，+）上无实根时，有
解得．…………………………6分
②当方程f（x）=0在区间与（a，+）上各有一个实根时，有
f（a）<0，或，解得．…………………………8分
③当方程f（x）=0在区间（a，+）上有两个实根时，有
解得.
综上:
当时,f（x）在区间（a，+）上是单调增函数;
当时，f（x）在区间（a，）上是单调减函数，在区间（，+）上是单调增函数
当时，f（x）在区间（a,）,（，+）上是单调增函数,在区间（,）上是单调减函数．…………………………10分
（3）设P（x1,f（x1））,则P点处的切线斜率m1=x12+2ax11，
又设过P点的切线与曲线y=f（x）相切于点Q（x2,f（x2））,x1x2，则Q点处的切线方程为
yf（x2）=（x22+2ax21）（xx2）,
所以f（x1）f（x2）=（x22+2ax21）（x1x2），
化简，得x1+2x2=3a．…………………………12分
因为两条切线相互垂直，所以（x12+2ax11）（x22+2ax21）=1，
即（4x22+8ax2+3a21）（x22+2ax21）=1．
令t=x22+2ax21（a2+1），则关于t的方程t（4t+3a2+3）=1在t上有解，……14分
所以3a2+3=4t4（当且仅当t=时取等号），
解得a2,
故a的取值范围是……………………16分
21A.如图，连接DE，交BC于点G．
由弦切角定理，得．……………………4分
而，故，所以．……6分
又因为，所以DE为圆的直径，
所以，由勾股定理可得DB=DC．…………………10分
21B.解法一：
设上任意一点在矩阵所对应的变换作用下对应的点，则
，……………………4分
由此得……………………6分
代入方程，得.
所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为．………………10分
解法二：
……………………4分
设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则
，
其坐标变换公式为由此得……………………6分
代入方程，得.
所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为．……………………10分
21C.解法一：
将消去参数，得，
所以的普通方程为：
．……………………4分
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得：
．……………………6分
由解得或……………………8分
所以与交点的极坐标分别为或．……………………10分
解法二：
将消去参数，得，
所以的普通方程为：
．……………………4分
所以的极坐标方程为．……………………6分
代入，得，…………………………8分
所以与交点的极坐标分别为或．……………………10分
21D.证明：
因为，所以.
同理..…………………4分
相加得…………………6分
从而.
由都是正数，得，因此.…………………10分
22.解：
取中点，连结，，则，，，
，，为直角三角形，，
平面. ······2分
以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，······3分
（1）设，
则
······5分
当时，长度最小值为······6分
（2）由
（1）知，设平面的一个法向量为n=
由n,n得，化简得，取n
设与平面所成角为，则.
故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为.·····10分
23．
（1）当n=3时,,
……………2分
当n=4时,,
.……………………4分
（2）证明:
由二项式定理得,
若为奇数,则
分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为
的形式,其中,
也即,其中,,.………6分
若为偶数,则
类似地,可将上式表示为的形式,其中，
也即,其中,,.
所以存在，使得等式.…………8分
同理可得可表示为,
从而有
综上可知结论成立.…………10分
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