（-∞,a）
R
（-∞,+∞）
活动：
让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性.
解：
（1）共同特点是:
集合A、B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:
A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.
（2）一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f（x）,x∈A,其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.
（3）自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.
（4）函数有意义是指:
自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等.
（5）CB.
应用示例
思路1
1.已知函数f（x）=+,
（1）求函数的定义域;
（2）求f（-3）,f（）的值;
（3）当a>0时,求f（a）,f（a-1）的值.
活动：
（1）让学生回想函数的定义域指的是什么？
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0,有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.
（2）让学生回想f（-3）,f（）表示什么含义？
f（-3）表示自变量x=-3时对应的函数值,f（）表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f（-3）,f（）的值.
（3）f（a）表示自变量x=a时对应的函数值,f（a-1）表示自变量x=a-1时对应的函数值.
分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f（a）,f（a-1）的值.
解：
（1）要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是［-3,-2）∪（-2,+∞）.
（2）f（-3）=+=-1;
f（）=
=.
（3）∵a>0,∴a∈［-3,-2）∪（-2,+∞）,
即f（a）,f（a-1）有意义.
则f（a）=+;
f（a-1）==.
点评：
本题主要考查函数的定义域以及对符号f（x）的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.
f（x）是表示关于变量x的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f（x）没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f（x）=x2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:
先平方,再减去2,再加上5;当x为某一代数式（或某一个函数记号时）,则左右两边的所有x都用同一个代数式（或某一个函数）来代替.如:
f（2x+1）=（2x+1）2-（2x+1）+5,f［g（x）］=［g（x）］2-g（x）+5等等.
符号y=f（x）表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f（x）与f（m）既有区别又有联系,当m是变量时,函数f（x）与函数f（m）是同一个函数;当m是常数时,f（m）表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量.
已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:
（1）如果f（x）是整式,那么函数的定义域是实数集R.
（2）如果f（x）是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
（3）如果f（x）是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各部分定义域的交集）.
（5）对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
2.已知函数f（x）的定义域是［-1,1］,则函数f（2x-1）的定义域是________.
分析:
要使函数f（2x-1）有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
答案：
［0,1］
思路2
若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是{4}的“同族函数”共有个
分析:
“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.
令x2=1,得x=±1;令x2=4,得x=±2.
所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},
{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个.
答案：
A
思路3
下列图象中不能作为函数的图象的是（）
课堂小结
本节课学习了:
函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f（x）的理解.
作业
课本P24,习题1.2A组1、5.
第二课时
导入新课
思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？
引出课题:
函数相等.
思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=是同一个函数吗？
这就是本节课学习的内容,引出课题:
函数相等.
推进新课
新知探究
提出问题
①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？
②一个函数的构成要素有几部分？
③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.
④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？
由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？
⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？
讨论结果：
①函数y=x+1的构成要素为:
定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.
②一个函数的构成要素为:
定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.
③定义域和对应关系分别相同.
④值域相同.
⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.
应用示例
思路1
1.下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y=（）2;
（2）y=;（3）y=;（4）y=.
活动：
让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.
解：
函数y=x的定义域是R,对应关系是x→x.
（1）∵函数y=（）2的定义域是［0,+∞）,
∴函数y=（）2与函数y=x的定义域R不相同.
∴函数y=（）2与函数y=x不相等.
（2）∵函数y=的定义域是R,
∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.
又∵y==x,
∴函数y=与函数y=x的对应关系也相同.
∴函数y=与函数y=x相等.
（3）∵函数y=的定义域是R,
∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.
又∵y==|x|,
∴函数y=与函数y=x的对应关系不相同.
∴函数y=与函数y=x不相等.
（4）∵函数y=的定义域是（-∞,0）∪（0,+∞）,
∴函数y=与函数y=x的定义域R不相同,
∴函数y=（）2与函数y=x不相等.
点评：
本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同（即对应关系相同）,则是同一个函数,否则不是同一个函数.
变式训练
判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
②y=与y=·;
③y=1+与u=1+;
④y=x2与y=x;
⑤y=2|x|与y=
⑥y=f（x）与y=f（u）.
是同一个函数的是________（把是同一个函数的序号填上即可）.
解：
只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.
①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;
②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;
③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;
④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;
⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;
⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.
故填③⑤⑥.
思路2
1.判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数,说明理由.
（1）f（x）=（x-1）0,g（x）=1.
（2）f（x）=x-1,g（x）=.
（3）f（x）=x2,g（x）=（x+1）2.
（4）f（x）=x2-1,g（u）=u2-1.
活动：
学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.
解：
（1）∵f（x）=（x-1）0的定义域是{x|x≠1},函数g（x）=1的定义域是R,
∴函数f（x）=（x-1）0与函数g（x）=1的定义域不同.
∴函数f（x）=（x-1）0与函数g（x）=1不表示同一个函数.
（2）∵f（x）=x-1的定义域是R,g（x）==的定义域是R,
∴函数f（x）=x-1与函数g（x）=的定义域相同.
又∵g（x）===|x-1|,
∴函数f（x）=x-1与函数g（x）=的对应关系不同.
∴函数f（x）=x-1与函数g（x）=不表示同一个函数.
（3）很明显f（x）=x2和g（x）=（x+1）2的定义域都是R,
又∵f（x）=x2和g（x）=（x+1）2的对应关系不同,
∴函数f（x）=x2和g（x）=（x+1）2不表示同一个函数.
（4）很明显f（x）=x2-1与g（u）=u2-1的定义域都是R,
又∵f（x）=x2-1与g（u）=u2-1的对应关系也相同,
∴函数f（x）=x2-1与g（u）=u2-1表示同一个函数.
变式训练
1.xx湖北黄冈模拟,理13已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b）且f
（2）=p,f（3）=q,则f（36）=_______.
解：
由题意得f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（2×3）=2［f
（2）+f（3）］=2p+2q.
答案：
2p+2q
2.函数y=f（x）的图象与直线x=2的公共点共有（）
A.0个B.1个C.0个或1个D.不确定
答案：
C
2.设y是u的函数y=f（u）,而u又是x的函数u=g（x）,设M表示u=g（x）的定义域,N是函数y=f（u）的值域,当M∩N≠时,则y成为x的函数,记为y=f[g（x）].这个函数叫做由y=f（u）及u=g（x）复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.
（1）y=;
（2）y=（x2-2x+3）2;（3）y=-1.
活动：
让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.
解：
（1）设y=,u=x+1,
即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1.
（2）设y=u2,u=x2-2x+3,
即y=（x2-2x+3）2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.
（3）设y=u2+u-1,u=,
即y=-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=.
点评：
到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.
变式训练
1.xx重庆高考,文2设f（x）=,则=_______.
答案：
-1
2.xx安徽高考,理15函数f（x）对任意实数x满足条件f（x+2）=,若f
（1）=-5,则f［f（5）］=.
分析:
∵函数f（x）对任意实数x满足条件f（x+2）=,∴f（x+4）=f［（x+2）+1］==f（x）.
∴f
（1）=f（1+4）=f（5）.
又∵f
（1）=-5,∴f（5）=-5.
∴f［f（5）］=f（-5）=f（-5+4）=f（-1）=f（-1+4）=f（3）=f（1+2）==.
答案：
知能训练
1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是（）
A.①B.①③④C.①②③D.③④
图1-2-1-2
答案：
B
2.函数y=f（x）的定义域是R,值域是［1,2］,则函数y=f（2x-1）的值域是_______.
答案：
［1,2］
3.下列各组函数是同一个函数的有________.
①f（x）=,g（x）=x;②f（x）=x0,g（x）=;
③f（x）=,g（u）=;④f（x）=-x2+2x,g（u）=-u2+2u.
答案：
②③④
拓展提升
问题:
函数y=f（x）的图象与直线x=m有几个交点？
探究:
设函数y=f（x）定义域是D,
当m∈D时,根据函数的定义知f（m）唯一,
则函数y=f（x）的图象上横坐标为m的点仅有一个（m,f（m））,
即此时函数y=f（x）的图象与直线x=m仅有一个交点;
当mD时,根据函数的定义知f（m）不存在,
则函数y=f（x）的图象上横坐标为m的点不存在,
即此时函数y=f（x）的图象与直线x=m没有交点.
综上所得,函数y=f（x）的图象与直线x=m有交点时仅有一个,或没有交点.
课堂小结
（1）复习了函数的概念,总结了函数的三要素;
（2）学习了复合函数的概念;
（3）判断两个函数是否是同一个函数.
作业
1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列4个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是（）
图1-2-1-3
分析:
A中,当0答案：
B
2.某公司生产某种产品的成本为1000元,以1100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入_______,它们之间是关系________.
分析:
由题意,多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关系.
答案：
增加函数
3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?
答:
函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此y=x2与S=t2表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的.
2019-2020年高一数学《分数指数幂》教学设计
一内容及解析
（一）内容：
分数指数幂、有理指数幂的运算性质
（二）解析：
本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a＞0，p是一个无理数，则表示一个确定的实数”为高中三年级限定选修课学习导数时做准备
二目标及其解析
（一）教学目标：
.
1理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
（二）解析：
1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
三问题诊断分析
分数指数幂是在整数指数幂的基础上做的进一步推广，在学习的N次方根的基础上，学生在这一节课中出现的问题主要在于幂指数和根指数与分数指数之间关系的寻找，要解决这一问题关键是从具体的特殊实例总结归纳并推广到一般情形，使学生从感性到理性，从一般到特殊理解并掌握根式和分数指数幂之间的互化以及其运算规律。
四教学过程
问题一：
整数指数幂的运算性质是什么？
问题二：
观察以下式子，并总结出规律：
①
；
②；
③
；
④
.
问题三：
利用
（2）的规律，你能表示下列式子吗？
，且n>1）
问题四：
你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？
（5）你能推广到一般情形吗？
师生活动：
学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比
（2）的规律表示，借鉴
（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.
讨论结果：
形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
问题五：
规定：
正数的正分数指数幂的意义是
.
小问题串：
（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的？
（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？
（3）你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？
（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？
（5）分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果？
（6）既然指数的概念
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