线性代数笔记.docx
《线性代数笔记.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数笔记.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
线性代数笔记
线性代数(经管类)综合试题一
(课程代码4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出得四个备选项中只有一个就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设D==M≠0,则D1==
(B).
A、-2MB、2MC、-6MD、6M
2、设A、B、C为同阶方阵,若由AB=AC必能推出B=C,则A应满足(D).
A、A≠OB、A=OC、|A|=0D、|A|≠0
3、设A,B均为n阶方阵,则(A).
A、|A+AB|=0,则|A|=0或|E+B|=0B、(A+B)2=A2+2AB+B2
C、当AB=O时,有A=O或B=OD、(AB)-1=B-1A-1
4、二阶矩阵A,|A|=1,则A-1=(B).
A、B、C、D、
5、设两个向量组与,则下列说法正确得就是(B).
A、若两向量组等价,则s=t、
B、若两向量组等价,则r()=r()
C、若s=t,则两向量组等价、
D、若r()=r(),则两向量组等价、
6、向量组线性相关得充分必要条件就是(C).
A、中至少有一个零向量
B、中至少有两个向量对应分量成比例
C、中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D、可由线性表示
7、设向量组有两个极大无关组与,则下列成立得就是(C).
A、r与s未必相等B、r+s=m
C、r=sD、r+s>m
8、对方程组Ax=b与其导出组Ax=o,下列命题正确得就是(D).
A、Ax=o有解时,Ax=b必有解、
B、Ax=o有无穷多解时,Ax=b有无穷多解、
C、Ax=b无解时,Ax=o也无解、
D、Ax=b有惟一解时,Ax=o只有零解、
9、设方程组有非零解,则k=(D).
A、2B、3C、-1D、1
10、n阶对称矩阵A正定得充分必要条件就是(D).
A、|A|>0B、存在n阶方阵C使A=CTC
C、负惯性指标为零D、各阶顺序主子式均为正数
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11、四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们得余子式得值依次为5,3,-7,4,则D=-15.
12、若方阵A满足A2=A,且A≠E,则|A|=0、
13、若A为3阶方阵,且,则|2A|=4.
14、设矩阵得秩为2,则t=-3.
15、设向量=(6,8,0),=(4,–3,5),则(,)=0.
16、设n元齐次线性方程组Ax=o,r(A)=r17、设=(1,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1)就是R3得基,则=(1,2,3)在此基下得坐标为(1,1,2)、
18、设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2得特征值为1,1,4、
19、二次型得矩阵A=
2-20
-231
01-1、
20、若矩阵A与B=相似,则A得特征值为1,2,3、
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21、求行列式得值、
1+x1111+x111
11-x11=-x-x00=xy
111+y1111+y1
1111-y00-y-y
x000
1100
00y0
0011
==X2Y2
22.解矩阵方程:
、
解:
令A==B=因为(因为(AE)=
11-1100
-211010
111001
→11-1100
03-1210→
002-101
所以A-1=
由AX=B,得X=A-1B=
23.
求向量组=(1,1,2,3),=(-1,-1,1,1),=(1,3,3,5),=(4,-2,5,6)得秩与一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示、
解:
(a1t,a2t,a3t,a4t)=1-114
1-13-2
2156
→
1-114
002-6
011-3
0000
→
1-114
011-3
001-3
0000
→
1007
0100
001-3
0000
所以,r(a1,a2a3,a4)=3,极大线性无关组为a1,a2,a3,a4=7a1-3a3=4
24、a取何值时,方程组有解?
并求其通解(要求用它得一个特解与导出组得基础解系表示)、
A=
若方程组有解,则r(A)=r(A),故a=5,若a=5时,继续施已初等行变化换得:
A=
原方程组得同解方程组为:
得原方程组得一个特解
令
得到导出组得基础解系:
V=
25、已知,求A得特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P–1AP=Λ(对角形矩阵).
λE-A
所以,A得特征值为:
λ1λ2=2,λ3=1
000
-101
-101
→
10-1
000
000
得基础解系:
01
10
0-1
0
-
1
0
对于λ1λ2=2,求其次线性方程组(2E-A)x=0得基础解系
(2E-A)=
从而矩阵A得对应于特征值λ1=λ2=2得全部特征向量为:
C1,C2不全为零,对于λ3=1,求齐次线性方程组(E-A)X=0得基础解系E-A=
因为三阶矩阵A有三个线性无关得特征向量
所以,A相似于对角矩阵,且P=
26、用配方法将下列二次型化为标准形:
f(x1x2x3)=x12+2x22-x32+4x1x3-4x2x3=[x12+4x1(x2-x3)+4(x2-x3)]-4(x2-x3)+2x2-x32-4x2x3=(x1+2x2-2x3)-2x22+4x2x3-5x32=(x1+x2-x3)2-(x22-2x2x3+x32)-3x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-3x32
令
得二次型得标准型为y12-2y22-3y32
四、证明题(本大题共6分)
27、设向量,证明向量组就是R3空间中得一个基、
首先a1,a2,a3得转置=a1T,a2T,a3T
110
-110
111
=
110
020
001
=
2
≠
0
所以a1,a2,a3线性无关,所以a1,a2,a3就是R3得空间得一个基
线性代数(经管类)综合试题二
(课程代码4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出得四个备选项中只有一个就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、若三阶行列式=0,则k=(C)、
A.1B.0C.-1D.-2
2、设A、B为n阶方阵,则成立得充要条件就是(D)、
A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B|D.AB=BA
3、设A就是n阶可逆矩阵,A*就是A得伴随矩阵,则(A)、
A.B.
C.D.
4、矩阵得秩为2,则λ=(B)、
A.2B.1C.0D.
5、设3×4矩阵A得秩r(A)=1,就是齐次线性方程组Ax=o得三个线性无关得解向量,则方程组得基础解系为(D)、
A.B.
C.D.
6、向量线性相关,则(C)、
A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3
7、设u1,u2就是非齐次线性方程组Ax=b得两个解,若就是其导出组Ax=o得解,则有(B)、
A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c2
8、设A为n(n≥2)阶方阵,且A2=E,则必有(B)、
A.A得行列式等于1B.A得秩等于n
C.A得逆矩阵等于ED.A得特征值均为1
9、设三阶矩阵A得特征值为2,1,1,则A-1得特征值为(D)、
A.1,2B.2,1,1C.,1D.,1,1
10、二次型就是(A)、
A.正定得B.半正定得C.负定得D.不定得
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11、=__5.
12、设A为三阶方阵,且|A|=4,则|2A|=32.
-1-10
110
0410
-2-1
52
13、设A=,B=,则ATB=__________.
14、设A=,则A-1=__________.
15、向量表示为向量组
得线性组合式为-ε1+2ε2+5ε3.
16、如果方程组有非零解,则k=-1.
17、设向量与正交,则a=___2_______.
18、已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应得二次型x12+x22-x32+x1x2-3x1x3.
19、已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似,则A2=E.
20、设实二次型得矩阵A就是满秩矩阵,且二次型得正惯性指数为3,则其规范形为y12+y22+y32-y42.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
X+3yyyy
X+3yxyy
X+3yyxy
X+3yyyx
=
21、计算行列式得值、
解:
原式=
=(x+3y)
22、设矩阵A=,B=,求矩阵A-1B、
解:
AE=
→
→
得A-1=
23、设矩阵,求k得值,使A得秩r(A)分别等于1,2,3、
解:
对矩阵A实行初等变换:
A=
当K=1时,A→
当k=-2时。
A→
当k≠1且k≠2时,A→
24、求向量组得秩与一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示、
1112
1234
13710
141320
→
1112
0122
0268
031218
→
1112
0122
0024
00612
解:
将所给列向量构成矩阵A,然后实行初等行变化
(a1,a2,a3,a4)=
所以,向量组得秩r(a1,a2,a3,a4)=3,向量组得一个极大线性无关组为:
a1,a2,a3,且有a4=2a1-2a2+2a3
25、求线性方程组得基础解系,并用基础解系表示其通解、
解:
对方程组得系数矩阵做初等行变化:
A=
→
令
方程组得通解为c1v1+c2v2=c1
26、已知矩阵,求正交矩阵P与对角矩阵Λ,使P-1AP=Λ、
解:
矩阵A得特征多项式为:
λE-A=
λ-1-1-1
-1λ-1-1
-1-1λ-1
-1-1-1
-1-1-1
-1-1-1
→
111
000
000
得基础解系为
a1
=
-1
1
0
a2
=
-1
0
1
-1
1
0
β2
=
-1/2
-1/2
1
再标准化得:
-1/√2
1/√2
0
r2
=
-1/√6
-1/√6
2/√6
对于λ3解方程组3E-Ax=0
=λ2(λ-3)得矩阵A得所有特征值为:
λ1=λ2=0,λ3=3
对于λ1λ2=0,求方程组(0E-A)x=0得基础解系
∵
将此线性无关得特征向量正交变换,得
β1=
r1=
∵
将其单位化,得r3=
P=r1,r2,r3
则P就是正交矩阵,且P-1AP=Λ
四、证明题(本大题共6分)
27、设向量组线性无关,证明:
向量组
也线性无关、
解:
令k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)+…+k3(a1a2+…+a3)=0
因为a1,a2…as线性无关,所以
K1+k2+…+ks-1+ks=0
K2+k3+…+ks
Ks-1+ks=0
Ks=0
解得:
K1=0
K2=0
Ks-1=0
Ks=0
故a1,a1+a2,a1+a2+a3…a1+a2+…+as线性无关
线性代数(经管类)综合试题三
(课程代码4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出得四个备选项中只有一个就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、当(D)成立时,阶行列式得值为零、
A、行列式主对角线上得元素全为零
B、行列式中有个元素等于零
C、行列式至少有一个阶子式为零
D、行列式所有阶子式全为零
2、已知均为n阶矩阵,E为单位矩阵,且满足ABC=E,则下列结论必然成立得就是(B)、
A、ACB=EB、BCA=EC、CBA=ED、BAC=E
3、设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立得就是(D)、
A、(AB)-1=A-1B-1B、(A+B)-1=A-1+B-1
C、(AB)T=ATBTD、
4、下列矩阵不就是初等矩阵得就是(B)、
A、B、C、D、
5、设就是4维向量组,则(D)、
A、线性无关
B、至少有两个向量成比例
C、只有一个向量能由其余向量线性表示
D、至少有两个向量可由其余向量线性表示
6、设A为m×n矩阵,且mA、无解B、只有唯一零解C、有非零解D、不能确定
7、已知4元线性方程组Ax=b得系数矩阵A得秩为3,又
就是Ax=b得两个解,则Ax=b得通解就是(D)、
A、B、
C、D、
8、如果矩阵A与B满足(D),则矩阵A与B相似、
A、有相同得行列式
B、有相同得特征多项式
C、有相同得秩
D、有相同得特征值,且这些特征值各不相同
9、设A就是n阶实对称矩阵,则A就是正定矩阵得充要条件就是(D)、
A、|A|>0B、A得每一个元素都大于零
C、D、A得正惯性指数为n
10、设A,B为同阶方阵,且r(A)=r(B),则(C)、
A、A与B相似B、A与B合同
C、A与B等价D、|A|=|B|
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11、行列式24、
12、设A为三阶矩阵,|A|=-2,将矩阵A按列分块为,其中就是A得第j列,,则|B|=6、
1-1
-12
13、已知矩阵方程AX=B,其中A=,B=,则X=、
14、已知向量组得秩为2,则k=-2、
15、向量得长度=√15、
16、向量在基下得坐标为(3,-4,3)、
17、设就是4元齐次线性方程组Ax=o得基础解系,则矩阵A得秩r(A)=1、
18、设就是三阶矩阵A得特征值,则a=1、
19、若
就是正定二次型,则满足λ>5、
20、设三阶矩阵A得特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则|B|=360、
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21、设三阶矩阵A=,E为三阶单位矩阵、
求:
(1)矩阵A-2E及|A-2E|;
(2)、
解:
A-2E=
(2)∵
100100
0101-10
001-121
∴
(A-2E)-1
=
100
1-10
-121
→
22、已知向量组
求:
(1)向量组得秩;
(2)向量组得一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示、
23、讨论a为何值时,线性方程组有解?
当方程组有解时,求出方程组得通解、
对方程组得增广矩阵实施初等行变化A=
→
从而a=1,当a=1时原方程组得通解方程为
X3,x4为自由向量,令x3,x4=0,得原方程组得一个特解(0,1,0,0)T,(-4,1,0,1)T,所以,方程组得通解为:
(0,1,0,0)T+c1(0,1,1,0)T+c2(-4,1,0,1)T,其中,c1,c2为任意常数
24、已知向量组,讨论该向量组得线性相关性、
1-2-1
1a1
24a
=
1-2-1
0a+22
08a+2
=
(a1-a2)(a+6)
解:
因为
当a=2或a=-6,向量组线性相关,
a≠2,且a≠-6时,向量组线性无关
25、已知矩阵A=,
(1)求矩阵A得特征值与特征向量;
(2)判断A可否与对角矩阵相似,若可以,求一可逆矩阵P及相应得对角形矩阵Λ、
解:
矩阵A得特征多项式为:
(λE-A)=
所以A得特征值:
λ1,λ2=1,λ3=2,对于λ1,λ2=1,求其次线性方程组(E-A)x=0得基础解系E-A=
得基础解系
从而矩阵A得对应特征值λ1=λ2得全部特征向量为:
c=
3-10
4-10
-100
→
100
010
000
得基础解系:
0
0
1
从而矩阵A得对应于特征值λ3=2得全部特征向量为:
0
0
1
(c≠0)
对于λ3=2,求齐次线性方程组(2E-A)x=0得基础解系
2E-A=
C=
因为三阶矩阵A只有两个线性无关得特征向量,所以,A不能相似于对角矩阵
26、设二次型
(1)将二次型化为标准形;
(2)求二次型得秩与正惯性指数、
f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2-2x1x3+2x22-4x2x3
=[x12+2x2(x2-x3)+(x2-x3)2]-(x2-x3)2+2x22-4x2x3-3x32
=(x1+x2+x3)2+x22-2x2x3-4x32
=(x1+x2+x3)2+(x22-2x2x3+x32)-5x32
=(x1+x2+x3)2+(x2-x3)2-5x32
Y1=x1+x2-x3
Y2=x2-x3
Y3=x3
即
X1=y1-y2
X2=y2+y3
X3=y3
令
得二次型得标准型为:
y12+y22-5y32
(2)有上述标准性知:
二次型得秩为3,正惯性指数为2
四、证明题(本大题共6分)
27、已知A就是n阶方阵,且,证明矩阵A可逆,并求
证:
由(A+E)2=0,得:
A2+2A=-E,从而A(A
+2E)=-E,A(-A-2E)=E,所以A可逆,且A-1=-A-2E
线性代数(经管类)综合试题四
(课程代码4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出得四个备选项中只有一个就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、三阶行列式,则a=()、
A、2B、3C、D、-3
2、设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确得就是()、
A、(A+B)(A-B)=A2-B2B、(AB)-1=B-1A-1
C、若AB=O,则A=O或B=OD、|AB|=|A||B|
3、设A,B,AB-BA=()、
A、B、C、D、
4、设矩阵得秩为2,则()、
A、B、t=-4C、t就是任意实数D、以上都不对
5、设向量,则()、
A、(1,0,5,4)B、(1,0,-5,4)C、(-1,0,5,4)D、(1,0,5,-6)
6、向量组线性相关,则()、
A、k=-4B、k=4C、k=3D、k=2
7、设u1,u2就是非齐次线性方程组Ax=b得两个解,若c1u1+c2u2也就是方程组Ax=b得解,则()、
A、c1+c2=1B、c1=c2C、c1+c2=0D、c1=2c2
8、设m×n矩阵A得秩r(A)=n-3(n>3),就是齐次线性方程组Ax=o得三个线性无关得解向量,则方程组Ax=o得基础解系为()、
A、B、
C、D、
9、设三阶矩阵A得特征值为1,1,2,则2A+E得特征值为()、
A、3,5B、1,2C、1,1,2D、3,3,5
10、n阶对称矩阵A为正定矩阵得充分必要条件就是()、
A、B、存在n阶矩阵P,使得A=PTP
C、负惯性指数为D、各阶顺序主子式均为正数
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11、、
12、设A为三阶方阵,且|A|=2,A*就是其伴随矩阵,则|2A*|=、
13、设矩阵A,则=、
14、设,则内积=、
15、若向量不能由线性表示,且r()=2,则
r(,)=、
16、设线性方程组有解,则t=、
17、方程组得基础解系含有解向量得个数就是、
18、设二阶矩阵A与B相似,A得特征值为-1,2,则|B|=、
19、设二次型得矩阵,则二次型、
20、用正交变换将二次型化为标准形为
则矩阵A得最小特征值为、
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21、计算n阶行列式、
22、解矩阵方程:
、
23、验证就是R3得一个基,并求向量在此基下得坐标、
24、设向量组线性无关,令
试确定向量组得线性相关性、
25、求线性方程组得基础解系,并表示其通解、
26、求矩阵得特征值与全部特征向量、
四、证明题(本大题共6分)
27、设就是三维向量组,证明:
线性无关得充分必要条件就是任一三维向量都可由它线性表示、
线性代数(经管类)综合试题五
(课程代码4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出得四个备选项中只有一个就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、行列式,则k=()、
A、1B、4C、-1或4D、-1
2、设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确得就是()、
A、若AB=AC,则B=CB、(A-C)2=A2-2AC+C2
C、ABC=BCAD、|ABC|=|A||B||C|
3、设A,B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立得充分
必要条件就是()、
A、A=EB、B=OC、A=BD、AB=BA
4、若,则初等矩阵P=()、
A、B、
C、D、
5、设向量,则
()、
A、(-1,3,8,9)B、(1,3,8,9)C、(-1,0,8,6)D、