通信原理陈启兴版第3章课后习题答案.docx

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通信原理陈启兴版第3章课后习题答案

第3章信道

3.1学习指导

3.1.1要点

本章的要点主要有信道的定义、分类和模型；恒参信道的特性及其对传输信号的影响；随参信道的特性及其对传输信号的影响；信道噪声的统计特性；信道容量和香农公式。

1.信道的定义与分类

信道是连接发送端通信设备和接收端通信设备之间的传输媒介。

根据信道特征以及分析问题的需要，我们常把信道分成下面几类。

（1）狭义信道和广义信道

狭义信道：

各种物理传输媒质，可分为有线信道和无线信道。

广义信道：

把信道范围扩大（除传输媒质外，还包括馈线与天线、放大器、调制解调器等装置）后所定义的信道。

目的是为了方便研究通信系统的一些基本问题。

常见分类：

调制信道和编码信道。

（2）调制信道和编码信道

调制信道：

用来研究调制与解调问题，其范围从调制器输出至解调器输入端。

编码信道：

用来研究编码与译码问题，其范围从编码器输出端至解码器输入端。

（3）有线信道和无线信道

有线信道：

双绞线、同轴电缆、光纤等。

无线信道：

指可以传输电磁波的自由空间或大气。

电磁波的传播方式主要分为地波、天波和视线传播三种。

（4）恒参信道和随参信道

恒参信道：

信道参数在通信过程中基本不随时间变化的信道。

如双绞线、同轴电缆、光纤等有线信道，以及微波视距通信、卫星中继信道等。

随参信道：

信道传输特性随时间随机快速变化的信道。

常见的随参信道有陆地移动信道、短波电离层反射信道、超短波流星余迹散射信道、超短波及微波对流层散射信道、超短波电离层散射以及超短波超视距绕射等信道。

2.信道模型

信道的数学模型用来表征实际物理信道的特性及其对信号传输带来的影响。

（1）调制信道模型

调制信道可以用一个线性时变网络来表示，这个网络便称为调制信道数学模型，如图3-1所示。

其输出与输入的关系有

（3-1）

式3-1中

为信道输入端信号电压；

为信道输出端的信号电压；

为噪声电压。

通常假设

（3-2）

结论：

调制信道对信号的影响程度取决于乘性干扰

和加性干扰

。

若k（t）变化很慢或很小，则称信道为恒参信道。

乘性干扰的特点是当没有信号时，没有乘性干扰。

另一类是随参信道，即k（t）随时间随机快变化。

（2）编码信道模型

编码信道是一种数字信道或离散信道。

编码信道输入是离散的时间信号，输出也是离散的时间信号，我们关心的是数字信号经信道传输后的差错情况，即误码概率，所以编码信道的模型一般用数字转移概率来描述。

最简单的编码信道模型是二进制对称信道（BSC,binarysymmetricchanel）,如图3-2所示。

P（0/0）和P（1/1）是正确转移概率，P（1/0）和P（0/1）是错误转移概率。

误码率

为

（3-3）

3.恒参信道特性及其对信号传输的影响

恒参信道对信号传输的影响是确定的或者是变化极其缓慢的。

因此，其传输特性可以等效为一个线性时不变网络。

（1）传输特性与无失真条件

设输入信号为si（t），则无失真传输时，要求信道的输出信号so（t）=K0si（t-td），则信道传输特性H（ω）可表示为

（3-4）

由此可见，无失真传输的条件是：

（a）幅频特性为一条水平直线，即

（常数）（3-5）

含义：

信号的不同频率成分经过信道传输后具有相同的衰减。

（b）相频特性在全频率范围内是一条通过原点的直线，即

（3-6）

或者等效成

（常数）

含义：

信号的不同频率成分经过信道传输后具有相同的延迟。

（1）两种失真及其影响

实际的信道特性并不理想，必然对信号产生以下两种失真：

（a）幅频失真：

表示信号的不同频率成分经过信道传输后具有不同的衰减。

（b）相频失真：

表示信号的不同频率成分经过信道传输后具有不同的延迟。

幅度失真和相位失真均属于线性失真。

线性失真通常可以用线性网络补偿。

这种网络补偿通常称为幅度和相位均衡器。

4.随参信道特性及其对信号传输的影响

随参信道具有如下特性：

（1）对信号的衰耗随时间随机变化；

（2）信号传输的时延随时间随机变化；

（3）存在多径传播的现象。

所谓多径传播，是指由发射点出发的信号经过多条路径到达接收端。

由于每条路径的长度（时延）和衰减都随时间而变，所以接收信号将是衰减和时延随时间变化的各路径信号的合成。

假设发送信号为单一频率正弦波，即s（t）=Acos（ωct），多径信道一共有n条路径，各条路径具有时变衰耗和时变传输时延且从各条路径到达接收端的信号相互独立，则接收端接收到的合成波为

（3-7）

式（3-7）中，ai（t）是从第i条路径到达接收端的信号振幅；τi（t）是第i条路径的传输时。

传输时延可以转换为相位的形式，即

（3-8）

式（3-8）中，φi（t）=-ωcτi（t）为从第i条路径到达接收端的信号的随机相位。

上式可变与振幅恒定、频率单一的发射信号相比，接收信号的包络有了起伏，频谱不再是单根谱。

由此可见，多径传播对信号传输的影响：

（a）瑞利型衰落

从波形上看，确知等幅波变成了包络缓慢起伏的随机调幅波（衰落信号）。

（b）频率弥散

从频谱上看，单根线谱变成了窄带频谱。

（c）频率选择性衰落

经过分析，多径信道的传输衰减和信号频率及时延差有关，因而导致信号（尤其是宽带信号）中某些频率成分或其倍频波随机性严重衰落。

由于这种衰落和频率有关，故称其为频率选择性衰落，它多径效应中最严重的一种。

目前常用的抗快衰落措施是分集接收技术（分散接收，集中处理）、扩频技术和OFDM等。

5.信道噪声

信道噪声是通信系统中各处噪声的集中表示，它独立于有用信号并始终存在。

当传输信号时，它叠加于信号之上对其干扰，因此信道噪声一种加性干扰。

它能使模拟信号失真，使数字信号发生错码，并限制着信息的传输速率。

加性噪声的主要代表——起伏噪声（包括热噪声、散弹噪声和宇宙噪声）。

它是遍布在时域和频域内随机噪声，所以在讨论噪声对于通信系统的影响时，主要是考虑起伏噪声，特别是热噪声的影响。

为了研究噪声背景下通信系统的性能，必须了解噪声的统计特性。

分析表明：

热噪声、散弹噪声和宇宙噪声均为高斯噪声，且在很宽的频率范围内都具有平坦的功率谱密度，故今后一律把起伏噪声或热噪声称为高斯白噪声。

当研究调制与解调问题时，信道噪声往往先通过一个带通滤波器才到达解调器输人端，此处的噪声将是一个窄带高斯噪声。

也就是说，调制信道的加性噪声可直接表述为窄带高斯噪声。

设经过接收滤波器后的噪声双边功率谱密度为Pn（f），如图3-3所示，则此噪声的功率为

Pn（f）

Bn的物理意义：

高度为Pn（f0）、宽度为Bn的理想矩形滤波器（虚线）的面积和功率谱密度Pn（f）曲线下面的面积相等，即功率相等。

利用噪声等效带宽的概念，在后面讨论通信系统的性能时，可以认为窄带噪声的功率谱密度在带宽Bn内是恒定的。

6.信道容量

信道容量是信道的极限传输能力。

它定义为信道无差错传输时的最大平均信息速率。

（1）离散无记忆信道的信道容量

广义信道中的编码信道就是一种离散信道，其信道模型可以用转移概率来描述。

图3-4画出了一个有n个发送符号和m个接收符号的信道模型。

图中P（xi）表示发送符号xi的概率。

P（yj）表示接收到符号yj的概率。

P（yj/xi）表示在发送xi的条件下收到yj的条件概率，也称转移概率。

图3-4离散信道模型

（a）信源发送的平均信息量

（3-9）

（b）因信道噪声而损失的平均信息量

（3-10）

式（3-10）中，P（xi/yj）为收到yj而发送为xi的条件概率。

（c）信息传输速率R

因为H（x）是发送符号的平均信息量，H（x/y）是传输过程中因噪声而损失的平均信息量（也称条件信息量），[H（x）-H（x/y）]是接收端得到的平均信息量。

设信道每秒传输的符号数为r（符号速率），则信道每秒传输的平均信息量即信息传输速率R为

（b/s）（3-11）

（d）信道容量

由信道容量定义可知，它是信道无差错传输时的信息传输速率的最大值。

因此，对一切可能的信源概率分布，求信息传输速率R的最大值，即可得出信道容量Ct的表示式，即

（b/s）

需要指出的是，离散信道的容量有两种不同的度量单位。

一种是用最大信息速率，即单位时间（秒）内能够传输的平均信息量的最大值表示信道容量Ct；另一种是用每个符号能够传输的平均信息量的最大值表示信道容量C，即

（b/符号）（3-12）

若知道信道每秒传输的符号数r，则由C可得到Ct。

这两种表示方法在实质上是一样的，可以根据需要选用。

（2）连续信道的信道容量

对于带宽有限、平均功率有限的高斯白噪声连续信道，由香农信息论可以证明，其信道容量为

（b/s）（3-13）

式（3-13）中：

S为信号平均功率（W）；N为噪声功率（W）；B为带宽（Hz）。

式（3-20）就是著名的香农公式，它告诉我们以下重要结论：

（a）连续信道的容量C和信道带宽B、信号功率S及噪声功率谱密度n0三个因素有关；

（b）增大信号功率S或减小噪声功率谱密度n0，都可以使信道容量C增大。

当S→∞或

n0→0时，C→∞。

这是因为n0=0意味着信道无噪声，而S=∞意味着发送功率达到无穷大，所以信道容量为无穷大；

（c）C随着B的适当增大而增大，但不能无限增大，即

（d）C一定时，B与S/N可以互换；

（e）若信源的信息速率Rb≤C，则理论上可实现无误差传输。

通常，把达到极限信息速率且差错任意小的通信系统称为理想通信系统。

当然，理想通信系统是不可实现的，但可作为实际通信系统的理想界限。

3.1.2难点

本章的难点主要有引入广义信道的意义；“加性”和“乘性”的含义；无记忆信道和有记忆信道的特点；信道带宽和信道容量的关系。

1.引入广义信道的意义

引入广义信道，可以使得通信系统的分析变得简洁。

例如，在研究调制与解调问题时，我们所关心的是已调信号经过信道后的结果，而不关心调制信道包括了什么样的转换器和选用了什么样的传输媒质，以及发生了怎样的传输过程。

也就是说，只关心调制信道的输入与输出情况。

同样编码信道引入为研究编、译码问题带来了方便，利用编码信道的数字转移概率，可以方便地计算数字信号经过信道传输后的差错情况，即误码特性。

2.“加性”和“乘性”的含义

我们知道，调制信道对于信号传输的影响可以用加性干扰和乘性干扰来表述。

加性干扰n（t）是叠加在信号上的各种噪声。

其“加性”的含义是：

没有信号输入时，信道输出端也有噪声输出，即噪声是独立于信号且始终存在的。

乘性干扰k（t）是由于信道特性不理想造成的，它完全依赖于信道的特性。

其“乘性”的含义是：

没有信号输入时，信道输出端也没有乘性干扰输出，即乘性干扰k（t）与信号是共存在共消失的。

3.无记忆信道和有记忆信道

无记忆信道（信道内只存在起伏噪声）的特点：

前后码元发生的错误是相互独立的。

也就是说，一个码元的错误和其前后码元是否发生错误无关。

有记忆信道（信道内除存在起伏噪声外，还存在衰落效应等）的特点：

一个码元发生的错误与前后码元有依赖关系，需用马尔科夫链描述。

4.信道带宽和信道容量的关系

由香农公式可知，带宽和信噪比S/N是信道容量的决定因素。

S/n0给定时，提高带宽会带来两种相反的影响：

一方面，更大带宽信道也会有更高的传输速率；另一方面，更大的带宽使得更多的噪声通过信道到达接收端，使系统性能降低。

我们已经知道，无限增大带宽得到的容量只是趋近于一个有限定值，即

（b/s）（3-14）

由此可见，仅仅依靠增加带宽并不能获得任意需求的信道容量。

3.2习题详解

3-1设理想信道的传输函数为

式中，K0和td都是常数。

试分析信号s（t）通过该理想信道后的输出信号的时域和频域表示式，并对结果进行讨论。

解设输入

的频谱用

表示，则通过上述信道后，输出信号的频谱可表示为

则输出信号为

可见该信道满足无失真条件，对信号的任何频率分量的衰减倍数及延迟相同，故信号在传输过程中无失真。

3-2设某恒参信道的传输函数具有升余弦特性

式中，Ts为常数。

试求信号s（t）通过该信道后的输出表示式，并对结果进行讨论。

解设

的频谱用

表示，则通过上述恒参信道后，输出信号的频谱可表示为

输出信号为

分析可见，若信号频率

，则信道对信号产生截止。

若信号频率

，则信道对输入信号的幅度有函数加权，即信号中不同频率的分量分别受到信道不同的衰减，产生了幅频失真。

为常数即没有产生相频失真。

3-3假设某随参信道有两条路径，路径时差为τ=1ms，试求该信道在哪些频率上传输衰耗最大？

哪些频率范围传输信号最有利？

解假设该随参信道两条路径的衰减系数均为K，该信道的幅频特性为

当

（即

）时，对传输信号最有利，此时出现传输极点

或

当

（即

）时，传输损耗最大，此时出现传输零点

或

3-4在移动信道中，市区的最大时延差为5μs，室内的最大时延差为0.04μs。

试计算这两种情况下的相关带宽。

解市区情况下的相关带宽

=

=

Hz

市内情况下的相关带宽

=

=

Hz

3-5设某随参信道的最大多径时延差为2μs，为了避免发生选择性衰落，试估算在该信道上传输的数字信号的码元脉冲宽度。

解信道的相关带宽

=500KHz

根据工程经验，信号带宽

Bs=（1/5～1/3）Bc

故码元宽度

Ts=（3～5）τm=（6～10）μs

3-6某计算机网络通过同轴电缆相互连接，已知同轴电缆每个信道带宽为8MHz，信道输出信噪比为30dB，试求计算机无误码传输的最高信息速率为多少。

解由香农公式

=

（Mb/s）

3-7已知有线电话信道带宽为3.4kHz，

（1）试求信道输出信噪比为30dB时的信道容量。

若要在该信道中传输33.6kbit/s的数据，试求接收端要求的最小信噪比为多少？

解

（1）已知信噪比S/N=1000（30dB），则由香农公式

=

=

（kb/s）

（2）信息速率要小于信道容量，因此可知

>

b/s

S/N>942.84

即S/N>29.74dB

即接收端要求的最小信噪比为29.74dB

3-8已知二进制对称信道的错误概率

，试计算信道容量。

解此信源的最大平均信息量为

（b/符号）

因为对称信道，所以条件信息量

写为

=0.469

所以

（b/符号）

3-9已知每张静止图片含有6×105个像素，每个像素具有16个亮度电平，且所有这些亮度电平等概出现。

若要求每秒钟传输24幅静止图片，试计算所要求信道的最小带宽（设信道输出信噪比为30dB）。

解一张图片所含的信息量位

（bit）

每秒需要传输的信息量为

（b/s）

由香农公式可得信道的最大信息速率为

即

（MHz）

即信道带宽至少应为5.8MHz