9苏科版初中数学七年级下册专题练习4 乘法公式.docx

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9苏科版初中数学七年级下册专题练习4乘法公式

9.4乘法公式

一．选择题（共14小题）

1．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）

2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）

A．255054B．255064C．250554D．255024

3．可以运用平方差公式运算的有（　　）个．

①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．

A．1B．2C．3D．0

4．若xn﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则n等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

5．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）

A．0B．1C．2D．3

6．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．

b2B．

a2C．

a2﹣

b2D．

ab

7．当a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2时，则

﹣ab的值为（　　）

A．﹣2B．2C．4D．8

8．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）

A．15B．±5C．30D．±30

9．若a2﹣b2＝

，a﹣b＝

，则a+b的值为（　　）

A．﹣

B．

C．

D．2

10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则他们两人谁摆的面积大？

（　　）

A．小刚B．小明C．同样大D．无法比较

11．已知x+

＝5，那么x2+

＝（　　）

A．10B．23C．25D．27

12．图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2

13．若要使4x2﹣mx+

成为一个完全平方式，则m的值应为（　　）

A．

B．﹣

C．±

D．﹣

14．若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（　　）

A．15B．15或﹣15C．39或﹣33D．15或﹣9

二．填空题（共6小题）

15．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm，这个正方形的边长是　　cm．

16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：

“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？

”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了　　平方米．

17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　　（用a、b的代数式表示）．

18．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为　　．

19．一个长方形的面积是2a2﹣2b2，如果它的一条边长是a﹣b，则它的周长是　　．

20．为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m（如图），则余下可耕种土地的面积是　　m2．

三．解答题（共5小题）

21．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝　　．

22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，

①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为　　，还可表示为　　，可以得到的恒等式是　　

②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是　　．

23．计算：

4a2b•（﹣ab2）3÷（2ab）

24．先化简，再求值：

（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝﹣2．

25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为2b米．问剪去小正方形后工件的面积是多少？

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）

【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．

【解答】解：

第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，

第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b），

则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

故选：

C．

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．

2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）

A．255054B．255064C．250554D．255024

【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252

，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．

【解答】解：

由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252

，

则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．

故选：

D．

【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．

3．可以运用平方差公式运算的有（　　）个．

①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．

A．1B．2C．3D．0

【分析】根据平方差公式的结构：

（1）两个二项式相乘，

（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各项分析后利用排除法求解．

【解答】解：

①中﹣1同号，2x异号，符合平方差公式；

②中两项均异号，不符合平方差公式；

③中﹣2b同号，ab异号，符合平方差公式．

所以有①③两个可以运用平方差公式运算．

故选：

B．

【点评】此题考查了平方差公式的结构．解题的关键是准确认识公式，正确应用公式．

4．若xn﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则n等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

【分析】（x2+9）（x+3）（x﹣3）根据平方差公式可以求出结果，然后根据已知等式即可求出n的值．

【解答】解：

∵（x2+9）（x+3）（x﹣3），

＝（x2+9）（x2﹣9），

＝x4﹣81，

∴xn﹣81＝x4﹣81，

∴n＝4．

故选：

B．

【点评】本题考查了平方差公式，首先利用平方差公式化简等式的右边，然后根据多项式的项的指数相等来确定n的值．

5．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）

A．0B．1C．2D．3

【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．

【解答】解：

由题意可知a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，

所求式＝

（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），

＝

[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，

＝

[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，

＝

[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，

＝3．

故选：

D．

【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．

6．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．

b2B．

a2C．

a2﹣

b2D．

ab

【分析】由阴影部分面积等于两个正方形面积的和减去三个三角形面积．

【解答】解：

∵S阴影＝a2+b2﹣

b2﹣

（a+b）a﹣

（a﹣b）a

∴S阴影＝

b2

故选：

A．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，关键是利用面积法解决问题

7．当a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2时，则

﹣ab的值为（　　）

A．﹣2B．2C．4D．8

【分析】先把条件化简得到a﹣b的值，再把代数式通分后利用完全平方式整理，然后整体代入计算．

【解答】解：

a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2，

去括号并整理，得a﹣b＝2，

﹣ab＝

＝

，

∴

﹣ab＝

＝2．

故选：

B．

【点评】本题考查了完全平方公式，通分后构成完全平方公式是解本题的关键，整体代入思想的利用也比较关键．

8．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）

A．15B．±5C．30D．±30

【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx＝±2×3x×5＝±30x，故k＝±30．

【解答】解：

∵（3x±5）2＝9x2±30x+25，

∴在9x2+kx+25中，k＝±30．

故选：

D．

【点评】对于完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的2倍，因此要注意积的2倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．

9．若a2﹣b2＝

，a﹣b＝

，则a+b的值为（　　）

A．﹣

B．

C．

D．2

【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．

【解答】解：

∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝

，a﹣b＝

，

∴a+b＝

，

故选：

B．

【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则他们两人谁摆的面积大？

（　　）

A．小刚B．小明C．同样大D．无法比较

【分析】可设三个木棒的长度分别为x﹣1、x、x+1，分别表示出两个图形的面积，再用作差法进行比较大小即可．

【解答】解：

设三个木棒的长度分别为x﹣1、x和x+1，

则小明所摆正方形的面积为x2，小刚所摆长方形的面积为（x+1）（x﹣1），

∵x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣（x2﹣1）＝x2﹣x2+1＝1＞0，

∴x2＞（x+1）（x﹣1），

∴小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆长方形的面积，

故选：

B．

【点评】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键，注意作差法比较大小的应用．

11．已知x+

＝5，那么x2+

＝（　　）

A．10B．23C．25D．27

【分析】根据完全平方公式，即可解答．

【解答】解：

x+

＝5，

，

，

．

故选：

B．

【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．

12．图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2

【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．

【解答】解：

中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，

则面积是（a﹣b）2．

故选：

C．

【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．

13．若要使4x2﹣mx+

成为一个完全平方式，则m的值应为（　　）

A．

B．﹣

C．±

D．﹣

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．

【解答】解：

∵4x2﹣mx+

为一个完全平方式，

∴m＝±

，

故选：

A．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14．若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（　　）

A．15B．15或﹣15C．39或﹣33D．15或﹣9

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．

【解答】解：

∵9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，

∴k﹣3＝±12，

解得：

k＝15或k＝﹣9，

故选：

D．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

二．填空题（共6小题）

15．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm，这个正方形的边长是　5　cm．

【分析】本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有（a+2）2﹣a2＝24，先用平方差公式化简，再求解．

【解答】解：

设这个正方形的边长为a，依题意有

（a+2）2﹣a2＝24，

（a+2）2﹣a2＝（a+2+a）（a+2﹣a）＝4a+4＝24，

解得a＝5．

【点评】本题考查了平方差公式，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．

16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：

“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？

”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了　25　平方米．

【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是a2平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，然后用a2减去（a﹣5）（a+5）算出答案即可．

【解答】解：

∵原来正方形土地的面积是a2平方米，

现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，

∴a2﹣（a﹣5）（a+5）＝a2﹣（a2﹣25）＝25平方米，

∴马老汉租用的土地面积亏了25平方米，

故答案为：

25．

【点评】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2进行计算．

17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　ab　（用a、b的代数式表示）．

【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．

【解答】解：

设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，

解得，

②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（

）2﹣4×（

）2＝ab．

故答案为：

ab．

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．

18．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为　13　．

【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．

【解答】解：

设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，

由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，

由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，

所以a2+b2＝13，

故答案为：

13．

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．

19．一个长方形的面积是2a2﹣2b2，如果它的一条边长是a﹣b，则它的周长是　6a+2b　．

【分析】首先根据面积公式求得长方形的另一边长，然后根据长方形的周长公式求解．

【解答】解：

长方形的另一边长为：

（2a2﹣2b2）÷（a﹣b）＝

＝2（a+b）＝2a+2b，

∴长方形的周长为（2a+2b+a﹣b）×2＝（3a+b）×2＝6a+2b，

故答案为：

6a+2b．

【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是根据面积公式求得长方形的另一边长．

20．为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m（如图），则余下可耕种土地的面积是　（ab﹣a﹣b+1）　m2．

【分析】由题意可求出长方形稻田的面积，然后求出矩形道路的面积和平行四边形道路的面积．另外两条道路重合部分的面积也是平行四边形，面积也需要求出，则余下土地面积等于：

长方形稻田的面积﹣矩形道路的面积﹣平行四边形道路的面积+重合部分的面积，代入计算即可．

【解答】解：

由题可知，耕地面积＝（ab﹣a﹣b+1）m2．

【点评】本题考查了整式的混合运算，解题时不要忘记要加上两条道路复合的部分，因为它被减了两次．

三．解答题（共5小题）

21．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝　4或﹣2　．

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．

【解答】解：

∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2＝a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，

∴﹣2（k﹣1）ab＝±2×a×3b，

∴k﹣1＝3或k﹣1＝﹣3，

解得k＝4或k＝﹣2．

即k＝4或﹣2．

故答案为：

4或﹣2．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，

①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为　（a+b）2﹣（a﹣b）2　，还可表示为　4ab　，可以得到的恒等式是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　

②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　．

【分析】①根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是用大正方形面积﹣空白部分正方形面积；另一种是将阴影部分的四个长方形面积相加，可得等式（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；

②根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．

【解答】解：

①∵阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：

（a+b）2﹣（a﹣b）2，

又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：

4ab，

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；

故答案为：

（a+b）2﹣（a﹣b）2；4ab；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；

②∵八个小正方体和长方体的体积之和是：

a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；

故答案为：

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．

23．计算：

4a2b•（﹣ab2）3÷（2ab）

【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后计算除法即可得．

【解答】解：

原式＝4a2b•（﹣a3b6）÷（2ab）

＝﹣4a5b7÷（2ab）

＝﹣2a4b6．

【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．

24．先化简，再求值：

（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝﹣2．

【分析】根据整式的除法和平方差公式可以化简本题，然后将x＝1，y＝﹣2代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：

（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x）

＝﹣3x2+4y2﹣y﹣4y2+x2

＝﹣2x2﹣y，

当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣2×12﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．

25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为2b米．问剪去小正方形后工件的面积是多少？

【分析】利用原来的正方形的面积减去减掉的正方形的面积即可．

【解答】解：

由题意得减掉的小正方形的边长为3a+2﹣4b，

所以剪去小正方形后工件的面积为

（3a+2）2﹣（3a+2﹣4b）2＝24ab+16b﹣16b2（米2）．

答：

剪去小正方形后工件的面积是24ab+16b﹣16b2米2．

【点评】该题目考查了正方形的面积和整式的混合运算，关键是根据题意列出关系式．