三角函数的求值docx.docx
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第36课三角函数的求值
•考试目标主词填空
1.给角求值
给角求值的要领是灵活选用有关公式，以便消去非特殊角的三角函数，从而化为特殊角的三角函数.
2.给值求值
给值求值的要领是找出已知式与欲求式Z间的角,运算及函数的差异，一般可以适当变化已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
3.给值求角
给值求角的要领是先求出该角的某一三角函数式的值，然后判断该角在对应区间的里週性，最后求角.
•题型示例点津归纳
【例1]求下列各式的值.
（l）tan20°+4sin20°;
z_xsin7°+cos15sin8
（2）;
cos7°-sin15°•sin8°
（3）4cos35°—cos170°—tanl60°•sinl70°.【解前点津】
（1）化切为弦，通分合并；
（2）715°-8°=7°，故应“积化和式”;
（3）降次，并化切为弦.
【规范解答】
+伽20。
=血20。
+4血20。
心20。
320。
+2血40。
cos20°cos20°
（sin20。
+sin40。
）+sin40。
_2sin30cos10。
+sin40。
_sin80。
+sin40。
（3）原式=2（l+cos70°）+co$10°+tan20°•sinl0°
cos10。
•cos20。
+sin20。
sin10。
cos20°
【解前点津】所求函数屮的角与已知函数屮的角，其运算结构不同，所以要作角的变形，使
形式统一，在
（1）屮，作a—3+B）,在⑵屮，作乞辺=
-0、
2
L2丿
<2）
【规范解答】
（1）V—22
Vcos（a+P）=——<0,cos2a=—
3
/•sin（a—B）=sin[2a—（a+B）]=sin2a•cos（a+B）—cos2a•sin（a+B）
（2）V—224242”2
丄丄农晅+也xJ空
I9丿39327
【解后归纳】此类问题属于“给值求值”，从考察条件与结论式子的差异入手，确定变形目标,是变名还是变角，此题就是着眼于角度变形的问题.
【例3】已知:
tan（a—p）=丄,伽B,且a、B丘（0,兀），求2a—B之值.
27
【解前点津】此类问题属于“给值求角”，因条件等式是“正切形式”，故应考虑计算tan（2a—B）的值.
【规范解答】tana=tan[（a—0）+B]=tan（6Z-^）+tan1
1-tan（a一0）•tan03
JT1JT
又ciG（0,Ji）,/•«e0,—，而tanP=——<0,0<•—2J72
JT
.—jt2
tan（2a-P）=tan[a+（a_B）]二⑻》刚一"）=1得2a—吐—X.
1-tan6Z•tan（妙一）4
【解后归纳】对（2a—B）的取值范围,估算要精确，范围过大，容易产生错误，只有对条件进行深入“挖掘”，才能准确推导角度的取值范围.
【例4】是否存在锐角Q和B,使得：
2
（l）a+（2B）=-n；
⑵tan《・tanP=2-73同时成立?
若存在，求出Q和B的值；若不存在，说明理由.
2
【解前点津】由⑴可作角度形:
訐吟两边取正切，与⑵联立,则可求出吨+说之值,联系一元二次方程根与系数关系，可看结论是否成立.
将⑵代入上式得:
tan彳+tang-侖,二tan导,tanB是一元二次方程;
x2—（3—V3）x+（2—V3）=0的两根，解之：
X|=1,X2=2—V3,
若吨丸但。
晋弓故此时a值不存在.
若tan—=2—V3，贝!
ItanP=1,V0<33=—代入⑴得：
224
«=-•故存在锐角a=^,3=-，使⑴
（2）同时成立.
664
【解后归纳】此类问题，常从“假设”存在入手，解后还须检验.
•对应训练分阶提升
一、基础夯实
1•若02•若0是锐角,且sin（）-cos（）二一贝Jsin3（）+cos3（）的值是
2
B.乜
16
3.设M二&|sin&2*,处[0,龙*Nh&|cos[0,兀]”,则MQN
（2sin80°-sin20°）_
sin70°
13.—+的值为
sin50°cos50°
14.x=sin50°+cos50°,y=sin70°+cos70°，则兀丿间的大小关系是
三、能力提高
15.已知tarLr=2,tan>=—,求lan[2（x+y）l的值.
16.设一一WxW—，求>-/og2（1+sirLr）+/og2（1—siar）的最大值与最小值.64
17.己知1+cosa—sinB+sinasinB=0,1—cosa—cosB+sinacosB=0,求sina的值.
18.已知:
tana=l,sin（2a+P）=3sinP，求tan（a+B）的值.
第7课三角函数的求值习题解答
LB取a=—则10sina=10,sin10a=1Jgsina=0.i^选B.
2
i3
2.A由条件:
1—2sin0cosB=—=>sin0cosB=—•
48
故sin3（）+cos3（）=（sin（）+cos（））[sin2（）—sin（）•cos（）+cos2（）]
r3i
5
"1\
1--
=—（sin（）+cos（））=——+2cos6^
.8_
8
M2丿
=（sin（）+cos（））
sin&-cos0=—
中消去sin（）得
又・・・0为锐角.由c2
3
sin&cos&=—
8
=7sin.r•
——cosx
2
=V37Ai-V37
人•ei•c2tanx2（-1）.
5.B令tanx=—1,贝！
Jsin2,v===-1.
l+tan2x1+（-1）*-
Vcosa=丄，・•・sina二晅，•.・sin0二一匣，0丘
222
7.CtanA•tanB=l,/.sin/l•sinB=cosA•cosB=>cos（A+B）=0,
.\A+B=2kn+—（圧Z）,于是:
sinA•sin=——[cos（A+B）—cos（A~B）]=—cos（A—B）W丄.
2222
tan21。
+Um24。
1-tan21°tan24°/•tan21°+tan24u+tan21°tan24°=1=>（tan210+!
）•（!
+tan24°）=2,
同理可得（l+tan22°）•（l+tan23°）=2,故原式=4.
9.C逐一检验知，不成立.
24
10.C设底角为a,顶角为（n—2a）/Zsin（n—2a）=sin2a=一,
25
.*.2sinacos«=—=>cosa•71-cos2a-—W^.cosa二色或—.
252555
Hcos20°_sin70°_1_j_
*1-sin20°_1-cos70°-tan35°_6/*
sin70°
12.原式二[伽80。
-sin20。
）+sin80。
]-sinl0°2cos50。
sin30。
+sin80。
（sin80°+sin40°）2sin60°•cos20°a/3cos20°_翻
sin70°
sin70°
cos20°
/a1zr.“。
丄4（sin50°•一+-cos50°）
13原式二（畑山50。
+心50。
）=22
'1•sn。
sin100°
—sm100
2
4（sin50°cos30°+cos50°•sin30°）4sin（50°+30°）”
sin100°-sin80°-*
14.Vx>0j>0,Kx2-y2=（sin50°+cos50°）2-（sin20°+cos20°）2=2（sin50°cos50°-sin20°cos20°）=sin（50°X2）-sin（20°X2）=sin80°—sin40°>0,.*.x>y.
2
2tany
3
4
2tanx
44
15.Ttan2x===——,tan2y=o
1-tan2x1-43（1-tan2y）
tan2x+tan2y
[4、
<~3>
+
（3）
_3x3-4x4_9-16_7
-tan2x-tan2<1_
（4]
<~3>
•1
、一12+12_24_24
丿
/.tanf2（x+y）l=
717t
16.y=log?
（l—sin2x）=21og7|cosx|=21og2cosx,V——WjcW—,
•64
/.—WcosxWl,・°・一1WyWO即最小值是一1,最大值是0.2
17.由条件得:
sina—1H0且sinP=+C°Sa,
1-sincr
（\一cosa
J—sina
化简得:
3sin2a-2sina-3=0,解之:
sina=l（l-V10）.
3
18.Vsin[（a+B）+a]=3sin[（a+0）-a],
/•sin（a+B）•cosa+cos（a+0）•sina
=3sin（a+B）•cosa—3cos（a+B）•sina4cos（a+B）•sina
=2sin（a+P）•cosa,
/•tan（a+P）=2tana=2.
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