矩阵行列式的概念与运算标准答案.docx
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矩阵行列式的概念与运算标准答案
矩阵、行列式的概念与运算
知识点总结：
一、矩阵的概念与运算
a11
ai2
a>3…—r
1、矩阵
中的行向量是a
a21
a22
a23
a1
2
a
an
2
2
a
^1
2
a
2、
AC
A
aii
ai2
B
bn
2
C11^2
C13
Pi
C
a21
a22
P22
C21022
C23
aii
^2
3A
3a11
3ai2
a21
b21
a22
b22
3a：
i
3a22
aiiGi
ai2p21
ai1C12
ai2p22
ai1C13ai2C23
a21C11
a22C21
a21C12
a22C22
a21C13a22C23
如:
，那么
加法满足交换律和结合律，即
如果A,B,C是同阶的矩阵，
那么有：
BA,A（BC）（A
B）C。
同理如果矩阵A,B是两个同阶矩阵,
那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵
C叫做矩
a（AB）aAaB。
阵A与B的差，记作CAB。
矩阵对乘法满足：
A（BC）
AB
AC，
（B
C）A
BA
CA，a（AB）（aA）BA（aB）
（AB）CA（BC）
3、矩阵乘法不满足交换率，如
ai
bi
q
di
Ci
d1a10
a2
b2
C2
d2
C2
d2a2b2
实数与矩阵的乘法满足分配律：
即
矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵
A的列数与右边矩阵
B的行数相等，而且矩阵的乘法不满
足交换率，不满足消去律。
、行列式概念及运算
1•用记号a13表示算式玄初2
a2b2
a2b，即
a2
bi
b2
a1
a2bi，其中
a2
bl叫做二阶行列式
b2
算式aib2a2bi叫做二阶行列式的展开式；其计算结果叫做行列式的值；ai,a2,d,b2都叫做行列
a1b
式的元素•利用对角线可把二阶行式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对
a2b2
角线法则；即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积
2•二元一次方程组的解
qxb1y
C1
a1b1
二元一次方程组
（其中a1,a2,b1,b2不全为零）记
叫做方程组的系数行
a2X
b2y
C2
a2b2
列式记Dx
Cb1
Dy
a1C
即用常数项分别替换行列式
D中x的系数或y的系数后
c2b2
a?
C2
得到的•
DxDy
（1）若d0,则方程组有唯—组解，x石，yD-；
（2）若D0,且Dx，Dy中至少有一个不为零，则方程组无解
（3）若DDxDy0,则方程组有无穷多解.
3。
三阶行列式及对角线法则
a1
b1
C1
用
a2
b2
C2
表示算式；其结果是a1b2C3a2b3C1a3b1C2a3b2C1a2b1C3a1b3C2.
a3
b3
C3
a1
bi
C1
我们把
a2
b2
C2叫做三阶行列式；a1b2C3a2b3C1a3b1C2a3b2&a2b1C3a1b3C2叫
a3
b3
C3
做三阶行列式的展开式•其计算结果叫做行列式的值；Q,bi,Ci（i1,2,3）都叫做三阶行列式的元
素•
4.三阶行列式按一行（或一列）展开
把行列式中某一元素所在的行和列去后，剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫
做该元素的余子式涂子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式其中第i行与第j列的
代数余子式的符号为
（1）ij.
三阶行列式可以按其一行或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和•三
阶行列式有有两种展开方式：
（1）按对角线法则展开,
（2）按一行（或一列）展开.
5•三元一次方程组的解
a1x
dy
C1z
d1
三兀一次方程组a2x
b?
y
C2z
d2（其中（ai,bi,Ci（i1,2,3）不全为零）;
a3X
b3y
C3Z
d3
a〔b[C1
d1Dc1
a〔d[C1
记D
a2b?
C2
为方程组的系数行列式；记Dx
d2b2c2
Dy
a2d2C2
a3b3C3
d3b3C3
a3d3C3
ai
bi
di
Dz
a2
b2
d2
，即用常数项分别替换行列式
a3
b3
d3
D
x
D中x或y或z的系数后得到的
（1）当D0时，方程组有惟一解
D
Dy
D
Dz
D
（2）当D0时,方程组有无穷多组解或无解
举例应用：
一、填空题:
31
4
0
1
2
1、已知A
2
1
2.B
3
4
1，则3AB
24
1
2
1
1
9
2
10
解：
3AB
3
7
5；
8
11
2
12
2
3
2、已知A
B
则
AB
；BA
21
3
1
1
2
2
3
8
1
41
解：
AB
；BA
2
1
3
1
7
5
57
15
58
5
34
3、已知A
B
C
10，
则（AB）C
；A（BC）
67
2
24
6
15
5
8
53
4
1237
解：
（AB）C
（
）
10
7
6
7
22
4
1292
6
15
5
8
5
34
1237
A（BC）
（
10）
6
7
2
24
1292
6
ab
4。
矩阵的一种运算
ed
ax
ex
by，该运算的几何意义为平面上的点（x,y）在矩阵
dy
ab
的作用下变换成点
ed
（ax
by,ex
22
dy）,若曲线x4xy2y1在矩阵
的作
用下变换成曲线x2
2y2
1,则ab的值为
解：
由题意1
bx
ay，代入x2
y
2y21，整理可得令
bx
ay
x'
y'，
（xay）2
2（bx
y）2
（1
2、2
2b）x
2
2（a2b）xy（a
2）y21，用待定系数法
2
12b21
2（a2b）4
2a
二、选择题
5、给出下列三个式子：
、a11a12gb12
b11m
a11
^2
（1）bb
a?
1a?
2P21b?
2
b21b22
a21
a22
bn
（2）a11a12a13b21
b31
a11b11a12b21a13b31
bn
bi1
（3）ana（2a13
b21
a11
a12a13
b21
^31
b31
其中正确的式子的个数是（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
解：
由于上面各命题都不对，所以选择（A）
6•下面给出矩阵的一些性质中正确的是（）
D.（AB）C=A（BC）
A.AB=BAB若AB=（0）,则A=（0）或B=（0）C若AB=AC,则B=C
解：
根据矩阵的性质，知道（A），（B）,（C）都不对，所以选取（D）
x3
7、已知A2y1，B
4y,若A=2B,则x,y的值分别为（
x1
A.1,2B.2,3C.2,1D.不存在
2
解：
由A2B
X324y
2y1x1
x382y
2y12x2
&下列说法正确的是（）
A.任意两个矩阵都可以相加
B.任意两个矩阵都可以相乘
C.一个mk阶矩阵与一个
kn阶矩阵相乘得到一个
mn阶矩阵
D.一个km阶矩阵与一个n
k阶矩阵相乘得到一个
mn阶矩阵
解：
根据矩阵的乘法性质，得到（C）成立。
三、解答题
305
9、已知矩阵A214，B
211
221，求矩阵X，使2A3XB
an
ai2
a13.
解：
设X
，贝U2A3X
a21
a22
a23
63a11
3a12
103a13
43a?
123a?
2
83a23
6
3a11
2
3a12
1
10
3a13
1
由2A3XB，得
4
3a?
1
2
2
3a22
2
8
3a23
1
an
a12
a13
a21
a22
7
a233
10.给出方程组
ax2y
2x6y1
3
有唯一解的充要条件
0
解：
由ax2y3
2x6y1
即对应
23a0
3a
238a-
23a
8
即2y
（2
2
3a）x
8a
苍
8
，所以当且仅当
3a
-时有唯一解。
3
11.
（1）求
（2）求
3
1
的值;
1
（n
2,n
2,n
解：
（1）
（2）
由此猜想：
01
0
1，下面用数学归纳法加以证明
证明:
（1）
当n
2时，
等式成立:
k
11
1
（2）
当n
k（k
2,k
N
）时,
等式成立，
即
01
0
k1
k
11
11
11
1k
1
11
k
那么
01
01
01
01
0
10
1
则当
nk
1时，
等式成立。
n
1
1
1
n
根据
（2）的证明知等式对
都成立。
（1）、
该商场的供货渠道主要是甲、乙两
12、某电器商场销售的彩电、U盘和MP3播放器三种产品。
个品牌的二级代理商。
今年9月份，该商场从每个代理商处各购得彩电100台、U盘52个、
MP3播放器180台。
而10月份，该商场从每个代理商处购得的产品数量都是9月份的1.5倍。
现知甲、乙两个代理商给出的产品单价（元）入下表所示：
彩电
U盘
MP3播放器
甲代理商单价
2350
1200
750
乙代理商单价
2100
920
700
（1）计算10052180，并指出结果的实际意义；
1.5
（2）用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商的购货费用。
10052180
解：
（1），第一行表示9月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U盘、
15078270
MP3播放器的数量，第二行表示10月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U盘、播放器的
432400元，付给乙代理商的购货费为383840元；10月份
数量。
100
52
180
2350
2100
432400
383840
（2）
1200
920
150
78
270
648600
575760
750
700
即9月份付给甲代理商的购货费为
付给甲代理商的购货费为648600元，付给乙代理商的购货费为575760元。
13.关于x,y的二元方程组
解
xmy2m
mxym
0
，并讨论解的情况
1
1m1m2（1m）（1m）
m1
2mm
Dx2mm（m
m11
1）
m（1m）
Dy
12m2
m12mmm1
（2m1）（1m）
（1）当D0,即m1,且m
x
m
m
1
y
2m
1
m
1
1时，方程组有唯一解
（2）当m1时,DDxDy0,方程组有无穷多组解，此时方程组可化为xy20
xy20
xt
令xt（tR），则原方程组的解可表示为.
y2t
⑶当m1时,D0,但Dx20，方程组无解。
14.已知函数f（x）
exaex1
2ex
（1）当a2时，解不等式f（x）7；
（2）求a的取值范围，使得f（x）在1,1上是单调函数。
解
（1）：
原不等式即为（ex）22（2ex1）7,解得xln5;
（2）f（x）（ex）22aex
x22x
2（ea）2a，且e
1
-,e,当ae,或a
e
f（x）在1,1上是单调函数。
axyz
1
15.解方程组：
xayz
aaR
xyaz
2a
-时,
e
22
a3a2（a1）（a2）
a11
解:
D1a1
11a
111
Dxaa1
a1a
a11
Dy1a1
d2
1aa
a11
Dz1aa
11a2
（a1）2（a1）,
（a1）2,
（a1）2（a1）2,
（1）当a1且a
2时，方程组有唯一解
a1
a2
1
a2
（a1）2
a2
2时，原方程组为
2xyz1yz
x2yz2消去x得
yz
xy2z4，
1
，所以方程组无解
3
x
yz1
⑶当a1时，原方程组为x
y
z
1，所以方程组有无穷多解
x
y
z
1
abe1
16.已知行列式bae1
eab1
a
be
1
ba
0
0
⑶求证:
b
ae
1
0
ea
0
e
ab
1
0
0
eb
（1）写成元素
be的余子式，代数余子式
（4）若a,b,e为整数,试判断该行列式的值能否被
B；
（2）将该行列式按第二列展开
解：
（i）bc的余子式为
，代数余子式
Bi
be
（2）按第二列展开为
be
ae
be
ae
ab
ae
be
ae
ab
ab
be（b
e）
ae（ae）ab（ab）
ab
=（b
a）（e
a）（e
b）
be
ae
（ba）（ea）（e
b），又a,b,e为整数
，所以
ea,e
b也为整数，该行列式的
ab
值能被
ab整除.
X1
y1
17•顶点为A（X1,yJ,B（X2,y2）,C（X3,y3）的ABC的面积等于行列式
X2
y2
的值的
绝对值的
半。
试用此结论求:
X3
y3
（1）
求以（1,1）,（3,4）,（5,2）,（4,7）为顶点的四边形的面积;
（2）
已知
0,若（1,4）,（6,5）和（4,3）所对应的点分别为P,Q,R，你能得
解：
作图可知四边形
出什么结论?
ABCD由两个三角形ABC与CDA组成。
由已知可得:
SABC
SCDA
所以所求四边形的面积为
的绝对值=16
（2）
2
的绝对值
（5）（
1）
（3）依题意：
SPQR
ABC
SCDA
26）的绝对值=9。
27
23
2
的绝对值
41
。
2
的绝对值
P,Q,R三点共线。
1
sinx
18。
已知函数
f（x）
0
sinx
2m
0
g（x）
msinx
2cosx（x
R）
解：
2
f（x）2msinx
2?
3m
sinx
x0,—
2x
2
6
6，
所以PQR的面积为0,
从而点
cosx
6
\/3cosxsinx
当m>0时，f（x）max
的定义域为
的最小正周期和最值.
1
2m（-）m
2
解得m2,
从而,
g（x）
T=2，最大值为
2,2,
当mv0时，f（x）max2m
从而，g（x）4sinx2cosx
0,，最大值为4.
2
2msin（2x）
I
sin（2x）
6
2sinx
最小值为
4,解得
2、5sin
T=2，最大值为25，最小值为2'、5.
试求函数
2cosx2、2sin（x）（xR）
4
arctan丄,
2
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