高中数学指数与幂函数以及三角函数.docx

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高中数学指数与幂函数以及三角函数

指数函数

百科名片

指数函数图像例子

指数函数的一般形式为y=a^x（a>0且≠1）（x∈R）.它是初等函数中的一种。

它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。

　　指数函数是数学中重要的函数。

应用到值e上的这个函数写为exp（x）。

还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。

　　指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在x等于0的时候等于1。

在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。

即由导数知识：

d（a^x）/dx=a^x*ln（a）。

　　作为实数变量x的函数，y=ex的图像总是正的（在x轴之上）并递增（从左向右看）。

它永不触及x轴，尽管它可以任意程度的靠近它（所以，x轴是这个图像的水平渐近线。

它的反函数是自然对数ln（x），它定义在所有正数x上。

　　有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如kax的

指数函数

函数，这里的a叫做“底数”，是不等于1的任何正实数。

本文最初集中于带有底数为欧拉数e的指数函数。

　　指数函数的一般形式为y=a^x（a>0且≠1）（x∈R），从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

　　在函数y=a^x中可以看到：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，

　　同时a等于０函数无意义一般也不考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　（3）函数图形都是下凸的。

　　（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

　　（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过

程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

　　（7）函数总是通过（0，1）这点,（若y=a^x+b,则函数定过点（0,1+b）

　　（8）显然指数函数无界。

　　（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

　　（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

底数的平移：

　　对于任何一个有意义的指数函数：

　　在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

　　在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”

底数与指数函数图像：

指数函数

（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a）可知：

在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：

在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

　　（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

（如右图）》。

幂的大小比较：

　　比较大小常用方法：

（1）比差（商）法：

（2）函数单调性法；（3）中间值法：

要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

　　比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

　　例如：

y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可

指数函数

以利用指数函数图像的变化规律来判断。

　　例如：

y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.

　　（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。

如：

　　<1>对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

　　<2>在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。

那么如何判断一个幂与“1”大小呢？

由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。

即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如：

a〉1且x〉0，或0〈a〈1且x〈0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1.

　　〈3〉例：

下列函数在R上是增函数还是减函数？

说明理由.

　　⑴y=4^x

　　因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；

　　⑵y=（1/4）^x

　　因为0<1/4<1,所以y=（1/4）^x在R上是减函数

定义域：

实数集指代一切实数（-∞，+∞），就是R。

R值域：

（0，+∞）对于一切指数函数y=a^x来讲。

他的a满足a＞0且a≠1，即说明：

①y≠0②y＞0。

所以值域为（0，+∞）。

分式化简的方法与技巧

（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分

（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母

　　（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破.

（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化

指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系

（1）曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）.

（2）曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠

指数函数

近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）

　　（3）曲线过定点（0，1）〈=〉x=0时，函数值y=a0（零次方）=1（a>0且a≠1）

　　（4）a>1时，曲线由左向右逐渐上升即a>1时，函数在（-∞，+∞）上是增函数；0

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对数函数

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对数函数

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=log（a）X,（其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

对数的公理化定义

　　真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，

　　底数则要大于0且不为1

　　对数函数的底数为什么要大于0且不为1？

　　【在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。

但是，根据对数定义:

logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：

logaM^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log（-2）4^（-2）就不等于（-2）*log（-2）4；一个等于4，另一个等于-4）】

　　通常我们将以10为底的对数叫常用对数（commonlogarithm）,并把log10N记为lgN。

另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（naturallogarithm）,并且把logeN记为InN.根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

　　当a〉0，a≠1时，a^x=N→X=logaN。

　　由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

　　负数和零没有对数；

　　loga1=0logaa=1（a为常数）

对数的定义和运算性质

　一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log（a）（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

　　底数则要＞0且≠1真数＞0

对数的运算性质：

　　当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：

（1）log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）;

（2）log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）;

　　（3）log（a）（M^n）=nlog（a）（M）（n∈R）

　　（4）换底公式：

log（A）M=log（b）M/log（b）A（b>0且b≠1）

　　（5）a^（log（b）n）=n^（log（b）a）证明：

　　设a=n^x则a^（log（b）n）=（n^x）^log（b）n=n^（x·log（b）n）=n^log（b）（n^x）=n^（log（b）a）

　　（6）对数恒等式：

a^log（a）N=N;

　　log（a）a^b=b

　　（7）由幂的对数的运算性质可得（推导公式）

　　1.log（a）M^（1/n）=（1/n）log（a）M,log（a）M^（-1/n）=（-1/n）log（a）M

　　2.log（a）M^（m/n）=（m/n）log（a）M,log（a）M^（-m/n）=（-m/n）log（a）M

　　3.log（a^n）M^n=log（a）M,log（a^n）M^m=（m/n）log（a）M

　　4.log（以n次根号下的a为底）（以n次根号下的M为真数）=log（a）M,

　　log（以n次根号下的a为底）（以m次根号下的M为真数）=（n/m）log（a）M

　　5.log（a）b×log（b）c×log（c）a=1

对数与指数之间的关系

　　当a>0且a≠1时,a^x=Nx=㏒（a）N

对数函数

　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

　　（3）函数图像总是通过（1，0）点。

　　（4）a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。

　　（5）显然对数函数无界。

　　对数函数的常用简略表达方式：

（1）log（a）（b）=log（a）（b）

（2）lg（b）=log（10）（b）

　　（3）ln（b）=log（e）（b）

　　对数函数的运算性质：

　　如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：

（1）log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）;

（2）log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）;

　　（3）log（a）（M^n）=nlog（a）（M）（n属于R）

　　（4）log（a^k）（M^n）=（n/k）log（a）（M）（n属于R）

　　对数与指数之间的关系

　　当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log（a）N=x

　　log（a^k）（M^n）=（n/k）log（a）（M）（n属于R）

　　换底公式（很重要）

　　log（a）（N）=log（b）（N）/log（b）（a）=lnN/lna=lgN/lga

　　ln自然对数以e为底e为无限不循环小数（约为2.718281828454590）

　　lg常用对数以10为底

对数函数的常用简略表达方式

（1）常用对数:

lg（b）=log（10）（b）

（2）自然对数:

ln（b）=log（e）（b）

　　e=2.718281828454590...　通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义

　　对数函数的一般形式为y=㏒（a）x，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。

因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。

　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

性质

　　定义域求解：

对数函数y=logax的定义域是｛x︳x>0｝，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需满足｛x>0且x≠1｝。

　　｛2x-1>0，x>1/2且x≠1}，即其定义域为｛x︳x>1/2且x≠1｝值域：

实数集R

　　定点：

函数图像恒过定点（1，0）。

　　单调性：

a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；

0

　　奇偶性：

非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。

　　周期性：

不是周期函数

　　零点：

x=1

　　注意：

负数和0没有对数。

　　两句经典话：

底真同对数正

　　底真异对数负

三角函数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

它包含六种基本函数：

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

锐角三角函数

　　在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。

则定义以下运算方式：

　　sinA=∠A的对边长/斜边长，sinA记为∠A的正弦；sinA＝a/c

　　cosA=∠A的邻边长/斜边长，cosA记为∠A的余弦；cosA＝b/c

　　tanA=∠A的对边长/∠A的邻边长，tanA＝sinA/cosA＝a/btanA记为∠A的正切；

　　当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。

　　sinA＝cosBsinB＝cosA

常见三角函数  

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x,y）。

　　在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：

基本函数

英文

表达式

语言描述

正弦函数

Sine

sinθ=y/r

角θ的对边比斜边

余弦函数

Cosine

cosθ=x/r

角θ的邻边比斜边

正切函数

Tangent

tanθ=y/x

角θ的对边比邻边

余切函数

Cotangent

cotθ=x/y

角θ的邻边比对边

正割函数

Secant

secθ=r/x

角θ的斜边比邻边

余割函数

Cosecant

cscθ=r/y

角θ的斜边比对边

　在初高中教学中，主要研究正弦、余弦、正切三种函数。

　　注：

tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

单位圆定义

　　六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。

它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理，

三角函数

单位圆的方程是：

x^2+y^2=1

　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。

逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。

这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。

图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。

单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

　　对于大于2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。

在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：

对于任何角度θ和任何整数k。

　　周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。

正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180°。

上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

其他四个三角函数的定义

在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角（k+1/2）π的时候变化迅速。

正切函数的图像在θ=（k+1/2）π有垂直渐近线。

这是因为在θ从左侧接进（k+1/2）π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近（k+1/2）π的时候函数接近负无穷。

　　另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。

特别

三角函数

是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。

cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。

tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。

cotθ是另一个切线段AF。

secθ=OE和cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。

DE是exsecθ=secθ-1（正割在圆外的部分）。

通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。

三角函数线

　　依据单位圆定义，

　　我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。

　　如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S（1,0）是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。

　　那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。

OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。

向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。

　　借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。

特殊角的三角函数

在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，这些角的三角函数值为简单单项式，计算中可以直接求出具体的值。

　　这些函数的值参见右图：

三角函数的特殊值

同角三角函数关系式

平方关系

sin^2（α）+cos^2（α）=1

　　cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=1-2sin^2（α）=2cos^2（α）-1

　　sin（2α）=2sin（α）cos（α）

　　tan^（α）+1=1/cos^（α）

　　2sin^（α）=1-cos（2α）

　　cot^（α）+1=1/sin^（α）

积的关系

　sinα=tanα×cosα

　　cosα=cotα×sinα

　　tanα=sinα×secα

　　cotα=cosα×cscα

　　secα=tanα×cscα

　　cscα=secα×cotα

倒数关系

　tanα·cotα＝1

　　sinα·cscα＝1

　　cosα·secα＝1

商的关系

　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

三角函数

。

诱导公式

公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

　　k是整数

　sin（2kπ＋α）＝sinα

　　cos（2kπ＋α）＝cosα

　　tan（2kπ＋α）＝tanα

　　cot（2kπ＋α）＝cotα

　　sec（2kπ+α）=secα

　　csc（2kπ+α）=cscα

公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　sec（π+α）=-secα

　　csc（π+α）=-cscα

公式三：

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系

　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　sec（-α）=secα

　　csc（-α）=-cscα

公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　sec（π-α）=-secα

　　csc（π-α）=cscα

公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　sec（2π-α）=secα

　　csc（2π-α）=-cscα

公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系

　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sec（π/2+α）=-cscα

　　csc（π/2+α）=secα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sec（π/2-α）=cscα

　　csc（π/2-α）=secα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sec（3π/2+α）=csc