第四章第3节角余角与补角20.docx

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第四章第3节角余角与补角20

年级

初一

学科

数学

版本

人教新课标版

课程标题

第四章第3节余角与补角

编稿老师

巩建兵

一校

黄楠

二校

李秀卿

审核

王百玲

一、学习目标：

1、认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质．

2、了解方位角，能确定物体的具体方位．

二、重点、难点：

重点：

认识角的互余、互补关系及其性质，并能确定物体的方位．

难点：

用规范的语言描述余角、补角的性质．

三、考点分析：

中考中对本部分内容的考查主要涉及余角和补角的性质及方位角的有关内容．题型以填空、选择题为主，难度不大．在以后的考试中很多与角有关的考题都会用到本节课所讲的知识，所以中考时直接考查本部分内容的题目并不多见，一般以综合题的形式出现．

1、余角和补角

（1）余角：

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．

（2）补角：

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

（3）互为余（补）角的两个角反映的是两个角之间的数量关系，而不是角的位置关系．只有锐角才有余角，一个角的余（补）角有时不止一个，但它们的度数是相同的．

（4）余角和补角的性质：

等角（或同角）的余角相等；等角（或同角）的补角相等．

2、方位角

（1）方位角：

从某点的指北方向线起依顺时针方向至目标方向线间的水平夹角。

（2）方位角一般以正北、正南为基准，来描述物体运动的方向．若方向线与东、南、西、北四个方向相同，则依次称为正东、正南、正西、正北；若方向线正好是相邻两个方向所成的角的平分线，则把这两个方向的名称合在一起，可称为东南、东北、西南、西北等；若方向线在上述方向以外的其他位置，则以正北、正南方向为基准，可通过观察方向线与南北方向所成的锐角的大小来确定方向．

知识点一：

余角和补角

例1.若∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则下列表示∠2的余角的式子中正确的是（）

①

（∠1＋∠2）；②∠1－90°；③

（∠1－∠2）；④

（∠2－∠1）．

A．①B．②C．②③D．②④

思路分析：

1）题意分析：

本题考查余角和补角的定义．

2）解题思路：

显然①不正确；因为∠1与∠2互为补角，所以知道∠1＋∠2＝180°，∠2＝180°－∠1，又因为∠1＞∠2，所以知道∠2为锐角，所以∠2的余角就等于90°－∠2＝90°－（180°－∠1）＝∠1－90°．所以②正确；因为∠2的余角是90°－∠2，而∠1＋∠2＝180°，即

（∠1＋∠2）＝90°，所以∠2的余角可表示成

（∠1＋∠2）－∠2＝

（∠1－∠2），故③也正确；④不正确．

答案：

C

解题后的思考：

解答此题的关键是通过两角互补的条件找出表示∠2的式子．

例2.如图所示，点O是直线AB上的一点，OC平分∠AOB，∠DOE＝90°，∠AOD和∠COE相等吗？

为什么？

除90°角外，还有哪些相等的角？

试说明理由．

思路分析：

1）题意分析：

根据题意可知，∠AOB是平角，图中共有三个直角，分别是∠AOC、∠BOC、∠DOE．

2）解题思路：

根据两角互余的性质找出图中相等的角．

解答过程：

∠AOD＝∠COE．

理由：

因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°，

所以∠COD＋∠AOD＝90°，又∠COD＋∠COE＝90°，

所以∠AOD＝∠COE．

除90°角外，还有∠COD＝∠BOE，

因为∠COD与∠AOD互余，∠COE与∠BOE互余，

又因为∠AOD＝∠COE，所以∠COD＝∠BOE．

解题后的思考：

同（或等）角的余（或补）角相等，这一性质是进行角度转换的重要依据，在解题过程中会经常用到，同学们应多加注意．

例3.若一个角的余角比这个角的补角的一半还少8°，那么这个角的余角是多少度？

思路分析：

1）题意分析：

本题考查余角和补角的定义．

2）解题思路：

解答时可以直接设元（题中问什么就设什么，从而直接求出结果），也可以间接设元（先求出这个角，再求出它的余角），然后列方程求解．

解答过程：

方法一（间接设元）：

设这个角为x°，则它的余角为（90－x）°，它的补角为（180－x）°．

依题意，得90－x＝

（180－x）－8，

解得x＝16，90－x＝74，

答：

这个角的余角为74°．

方法二（直接设元）：

设这个角的余角为x°，它的补角为（90＋x）°，列出方程为：

x＝

（90＋x）－8，

解得x＝74．

答：

这个角的余角为74°．

解题后的思考：

（1）利用代数的方法解决几何中的计算问题，关键是正确设出未知数，列出方程，求出未知数的值．在设元时，可以直接或间接设出未知数．

（2）在设未知数的过程中，要注意带单位，但在列方程时计算不带单位．

例4.如图所示，已知∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，问：

（1）∠1与∠3是什么关系？

为什么？

（2）若要∠2与∠4相等，则∠1与∠4需满足什么关系？

为什么？

思路分析：

1）题意分析：

本题考查两角互余的性质．

2）解题思路：

根据题意，∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，所以∠1＝∠3；已知∠2与∠1互余，如果∠2＝∠4，那么∠4与∠1互余．

解答过程：

（1）∠1＝∠3，根据同角的余角相等的性质判断出来．

（2）∠1与∠4互余，根据余角的定义．

解题后的思考：

两角互余的性质表现在两角之间的数量关系上，由此可以判断题中的∠1与∠3、∠1与∠4的关系不是相等，就是互余（两角和为90°）．

例5.如图所示，∠AOB、∠COD都等于90°．

（1）试猜想∠AOD与∠BOC在数量上有什么关系？

（2）当∠COD绕着点O旋转到图

（2）的位置时，你原来的猜想还成立吗？

思路分析：

1）题意分析：

由已知∠AOB和∠COD都是90°，根据同角的余角相等可得∠AOC＝∠BOD．注意在第

（2）问中∠AOD是指小于平角的角．

2）解题思路：

根据题意应猜想∠AOD与∠BOC的和差关系．

解答过程：

（1）∠AOD＋∠COB＝180°（或∠AOD与∠COB互补）．

理由：

因为∠AOB＝90°＝∠AOC＋∠BOC，∠COD＝90°＝∠BOC＋∠BOD，

所以∠AOC＝∠BOD．

所以∠AOD＝2∠AOC＋∠BOC．

又因为∠BOC＝90°－∠AOC，

所以∠AOD＋∠BOC＝2∠AOC＋∠BOC＋∠BOC＝2∠AOC＋2（90°－∠AOC）＝180°．

（2）原来的猜想成立．

理由：

因为∠AOD＝360°－（∠AOB＋∠BOC＋∠COD）＝360°－（90°＋∠BOC＋90°）＝180°－∠BOC．

所以∠AOD＋∠BOC＝180°－∠BOC＋∠BOC＝180°．

解题后的思考：

本题是一道开放探索型的题目，先猜测结果，再进行分析论证．解答第

（2）问时可仿照第

（1）问的思路进行．如果没有特别说明，像第

（2）中的∠AOD是指小于平角的角．

例6.已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B和∠C的和等于周角的

，求∠A＋∠B＋∠C的度数．

思路分析：

1）题意分析：

根据题意可知∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠C＝

×360°＝120°．

2）解题思路：

根据所给各角之间的关系，分别求出∠A、∠B、∠C的度数，再求∠A＋∠B＋∠C的度数．

解答过程：

因为∠A与∠B互余，∠A与∠C互补，∠B＋∠C＝

×360°．

所以∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠C＝120°．

所以∠B＝90°－∠A，∠C＝180°－∠A，把它们代入∠B＋∠C＝120°，得

（90°－∠A）＋（180°－∠A）＝120°．

解得，∠A＝75°．

所以∠A＋∠B＋∠C＝75°＋120°＝195°．

解题后的思考：

求∠A＋∠B＋∠C的度数时，若换一个角度思考，把∠A＋∠B＋∠C看作一个整体是不是可求呢？

小结：

互余和互补是角的关系中非常重要的几何结论，可用来解决角之间的数量关系．

知识点二：

方位角

例7.选择题：

（1）A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方向是（）

A．南偏东69°B．南偏西69°C．南偏东21°D．南偏西21°

（2）在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（）

A．100°B．70°C．180°D．140°

思路分析：

1）题意分析：

这两道选择题都是考查方位角的问题．

2）解题思路：

第

（1）题中的方向线与南北方向线夹角为21°，所以从B看A是南偏西21°；第

（2）题中方向线OA与东西方向线夹角为30°，方向线OB与东西方向线夹角为90°－20°＝70°，所以∠AOB＝30°＋70°＝100°．

答案：

（1）D

（2）A

解题后的思考：

先根据题意画出图形，结合图形解答更容易一些．

例8.如图所示，在O处测得北偏东30°的小岛A处有一暗礁区，为避开这一危险区，轮船在O处应改为向东北方向航行才能避开这一危险区．

（1）在图中画出轮船的航线；

（2）求出轮船的航线与OA的夹角的度数．

思路分析：

1）题意分析：

在方位图中，以南北方向为主方向，叙述时常叙述为南偏东、南偏西、北偏东、北偏西，西南方向即为南偏西45°方向，东北方向即为北偏东45°方向．

2）解题思路：

轮船向东北方向航行，即是向北偏东45°的方向航行，故只要以ON为始边，在顺时针方向上作∠MON＝45°即可．

解答过程：

如图所示，∠MON＝45°，所以射线OM即为轮船的航线．

因为∠AON＝30°，所以∠MOA＝45°－30°＝15°．

故轮船的航线与OA的夹角为15°．

解题后的思考：

可以将方位角看成是沿正北或正南方向的射线旋转一定角度而形成的．故在实际应用中，一要确定其始边是正北还是正南；二要确定其旋转方向是向东还是向西；三要确定旋转角度的大小．

小结：

解答方位角问题时一定要结合图形来进行，只要确定了方向线与南北方向线的夹角，问题就很容易解决了．

在解答角的关系问题时，互余和互补的性质经常用到．其性质可用代数中的等式来表示，求其中一个未知角的度数实际上就是解方程．因此，这类问题常要结合方程思想来解决，由此可以看出有些几何问题也能用代数方法来求解．

七年级数学期末复习

一、预习新知

1、一元一次方程．

2、图形认识初步．

二、预习点拨

探究与反思

探究任务一：

一元一次方程

【反思】

（1）怎样解一元一次方程？

（2）一元一次方程应用题的常见类型有哪些？

（3）解一元一次方程应用题的一般步骤是怎样的？

探究任务二：

图形认识初步

【反思】

（1）怎样把立体图形转化为平面图形来解决？

（2）直线、射线、线段各有什么特点？

（3）互余、互补的两角有什么性质？

（答题时间：

60分钟）

一、选择题．

1、若A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是（）

A.南偏东60°B.南偏西60°C.南偏东30°D.南偏西30°

2、如果∠α＝n，而∠α既有余角，也有补角，那么n的取值范围是（）

A.90°＜n＜180°B.0°＜n＜90°C.n＝90°D.n＝180°

3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠DAE等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

4、如图所示，点O在直线l上，∠1与∠2互余，∠α＝116°，则∠β的度数是（）

A.144°B.164°C.154°D.150°

5、小明由A点出发向正东方向走10米到达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则下列表述正确的是（）

A.∠ABC＝22.5°B.∠ABC＝45°

C.∠ABC＝67.5°D.∠ABC＝135°

6、∠A的补角是125°12′，则它的余角是（）

A.54°18′B.35°12′C.35°48′D.以上都错

*7、如图所示，已知∠1＞∠2，那么∠2与

（∠1－∠2）之间的关系是（）

A.互补B.互余C.和为45°D.和为22.5°

**8、对于互补的下列说法中：

①∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A、∠B、∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，说法正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题．

9、67°23′的余角是__________，补角是__________．

10、OA表示北偏东32°方向线，OB表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于__________．

11、若一个角的余角与它的补角的和为210°，则这个角等于__________．

12、∠1＝120°，∠1与∠2互补，∠3与∠2互余，则∠3＝__________．

**13、如图所示，OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，则与∠COD互余的角是__________．

**14、如图所示，A、O、D三点在同一直线上，∠AOB＝∠COD，则图中互补的角有：

__________．

三、解答题．

15、若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数．

16、如图所示，货轮O在航行过程中发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线．

*17、如图所示，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OC为不同于射线OA、OB的一条射线，已知OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，试说明OE平分∠BOC．

*18、如图所示，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数．

*19、将一张长方形纸ABCD的两个角按如图所示方式折叠，且B’E与EC’的一部分重合．请问，∠α与∠β两个角是什么关系，并说明理由．

**20、在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的．如图，用AN（南北线）与飞行路线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角．从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间的夹角为多少度？

AD与AC之间的夹角为多少度？

并画出从A飞出且方向角为105°的飞行路线．

一、选择题：

1、D2、B

3、A解析：

∠BAD＝90°，∠DAE＝∠EAF＝

∠DAF＝

（∠BAD－∠BAF）＝

（90°－60°）＝15°．

4、C5、D

6、B解析：

本题相当于已知180°－∠A＝125°12′，求90°－∠A．所以可先求∠A，再求它的余角．或在180°－∠A＝125°12′的两边都减去90°直接求∠A的余角．

7、B解析：

∠2＋

（∠1－∠2）＝

（∠1＋∠2）＝

×180°＝90°．

8、B解析：

互补是两个角之间的关系，所以①不正确；②是正确的；一个锐角α的补角是180°－α，它的余角是90°－α，180°－α比90°－α大90°，所以③正确；两个直角是互补关系，所以④不正确．故选B．

二、填空题：

9、22°37′，112°37′

10、105°解析：

∠AOB＝（90°－32°）＋（90°－43°）＝105°．

11、30°解析：

设这个角等于x°，则（90－x）＋（180－x）＝210，解得x＝30．

12、30°

13、∠DOE、∠AOE解析：

本题容易遗漏∠AOE．

14、∠AOB与∠BOD，∠COD与∠COA，∠AOE与∠DOE，∠AOB与∠AOC，∠COD与∠BOD．

三、解答题：

15、解：

设这个角的度数为x°，则180－x＝4（90－x），解得x＝60．答：

这个角的度数是60°．

16、解：

如图所示：

17、解：

因为∠AOD＋∠BOE＝180°－∠DOE，∠DOE＝90°，所以∠AOD＋∠BOE＝90°，所以∠AOD与∠BOE互余．又因为∠DOE＝90°，所以∠DOC＋∠COE＝90°，所以∠DOC与∠COE互余．因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝∠DOC．所以∠BOE＝∠COE（等角的余角相等），所以OE平分∠BOC．

18、解：

根据题意设∠AOB＝2k°、∠AOD＝11k°，因为∠AOB＋∠BOD＝∠AOD，所以2k＋90＝11k，解得k＝10，所以∠AOB＝2k°＝20°，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝70°．

19、解：

互余（即∠α＋∠β＝90°）．理由：

由折叠可知∠B’EF＝∠α，∠GEC’＝∠β，而∠BEC＝180°，所以∠α＋∠FEB’＋∠β＋∠GEC’＝180°，即2∠α＋2∠β＝180°，所以∠α＋∠β＝90°．

20、解：

如图所示，AB与AC之间的夹角为∠BAC＝∠NAC－∠NAB＝60°－35°＝25°，AD与AC之间夹角∠CAD＝∠NAD－∠NAC＝145°－60°＝85°．从A飞出且方向角为105°的飞行路线如图所示．