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随机过程
随机过程课程论文
基于泊松分布的食堂排队系统模型
二〇一三年十二月
摘要
排队时日常生活中经常遇到的现象，根据对食堂人流分析，发现学生客流符合泊松分布，服务时间符合指数分布，由此我们的模型就变成了排队论中典型的M\M\C模型，根据M\M\C模型中的各效率指标的公式，我们可得到桂圆食堂拥挤情况的各方面数据。
根据模型求解得到的数据，我们对模型进行了更精确的量化分析。
我们发现，解决本模型的关键就在于分析顾客平均排队时间，我们对其与窗口数之间的关系进行了拟合，并就两者之间关系进行了分析。
关键词：
泊松过程；排队论。
1泊松分布与排队论
泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引入的。
近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。
泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。
泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。
1.1泊松过程概念
设计数过程{X（t），t≥0}满足下列条件：
（1）X（0）=0；
（2）X（t）是独立增量过程；（3）在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数
的泊松分布，即对任意是s,t≥0，有
，
则称计数过程{X（t），t≥0}为具有参数
的泊松过程。
注意，从条件（3）知泊松过程是平稳增量过程且
，由于，
表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称
为此过程的速率或强度。
从上述定义中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件
（1）、
（2）及（3）。
条件
（1）只是说明事件A的计数是从t=0时开始的。
条件
（2）通常可从我们对过程了解的情况去验证。
然而条件（3）的检验是非常困难的。
为此，我们给出泊松过程的另一个定义：
设计数过程{X（t），t≥0}满足下列条件：
（1）X（0）=0；
（2）X（t）是独立平稳增量过程；（3）X（t）满足下列两式：
则称计数过程{X（t），t≥0}为具有参数
的泊松过程。
定义中的条件（3）说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。
这种假设对于许多物理现象较容易得到满足。
1.2排队论M\M\C模型
排队论（queuingtheory）,或称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
它是数学运筹学的分支学科。
也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。
广泛应用于计算机网络,生产,运输,库存等各项资源共享的随机服务系统。
排队论研究的内容有3个方面：
统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。
其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
M/M/C系统是指顾客按泊松过程输入，服务时间为负指数分布，有C个服务台的单队多台并列服务系统。
它的结构见下图。
在这种系统，顾客到达系统后排成一个队列，然后到能给以服务的服务台接受服务，而每个服务台的服务时间都服从相同参数μ的负指数分布，服务完毕后顾客自动离去。
图1.1M/M/C模型结构图
2食堂排队系统模型
2.1问题的提出
在学校里，我们常常可以看到这样的情景：
下课后，许多同学争相跑向食堂去买饭，小小的卖饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪。
饥肠漉漉的同学们见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。
增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。
然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。
本论文将根据大学食堂中午的拥挤状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。
2.2问题分析
学生的排队服从以下规律：
首先，尽管有很多个窗口，可能出现后到的人先得到服务，但是因为对于食堂来讲，每个学生都可以认为是一样的，故考虑先到先服务对于最后的结果也是合理的。
其次，学生总会选择较短的队伍，而且对各窗口没有偏好，所以在拥挤的时候各窗口前的队伍总是趋于一样长。
第三，基于上面两条，对排队时的情况如下：
学生实际上排了一个队，前面有8个服务台，哪一个空闲下来学生就会排到哪一个窗口去。
下图是程序模拟过程，其中N是窗口数。
图2.1程序流程图
对学生讲中午的时间是很短的（12点下课1点停止供饭），能尽快吃饭是最关心的，学生的等待时间直接影响他们的满意程度，所以这也是食堂最关心的，那么在这个模型中我们最关心的就是学生的平均等待时间，由上程序每个当给定窗口数，学生到来时间间隔和打饭吃饭平均时间就能得到一个平均等待时间，不断改变以上参量就得到一组数据，在由拟和后就能得到等待时间关于各参量的函数关系。
以下是把学生到来时间间隔，打饭吃饭固定时，改变窗口数从3到10，座位从325到500（每次计算座位改变25）而得到学生平均等待时间矩阵（其中单位是秒）。
使用matlab仿真工具画出三维图：
图2.2等待时间三维图
2.3模型的建立
由于周六周日学校没课，故学生去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，我们在此就不做分析了。
我们仅就周一至周五的食堂拥挤情况进行分析。
经我们观察发现，一般打到饭的同学都能找到座位吃饭，故我们可认为，食堂里的座位数是足够的，无需添加新的桌椅。
所以解决食堂拥挤状况，主要是解决排长队的问题。
我们将就此问题建立模型，进行分析。
模型中所要关心的量：
打饭窗口有N个；座位M个；学生的到来时间（随机变量）。
学生到来时间主要分三个区域，在学生食堂实施地连续几天观测得如下结果：
11:
20；以前人数很少，不会出现拥挤现象，故不考虑
11:
20~11:
30平均到来时间间隔为2.98
11:
30~11:
50平均到来时间间隔为1.54
11:
50~12:
05平均到来时间间隔为2.22
12:
05~12:
15平均到来时间间隔为1.40
12:
25~12:
30平均到来时间间隔为4.80
2.4模型求解
由上图看出窗口数越多，座位越多等待时间越少这个显示的事实是成立的，结果的意义在于当食堂受成本，地形的条件约束时，窗口和座位不能无限的多下去，结合食堂的具体情况就能给出优化安排的建议，另一个对等待时间有很大影响的量是打饭时间，这个是由服务员和学生共同决定的，也就是说在实际优化安排中，这个量不能由食堂决定，从桂圆食堂这个具体情况的结果看出，窗口在数8，座位400多左右，平均等待时间变化趋于平坦。
图2.3等待时间和座位关系
而这正好和桂圆食堂的情况基本吻合，（当然，实际情况很可能是桂圆先有这样的座位和窗口限制，从而在一段时间内渐渐使得桂圆吃饭的学生流量与它的座位和窗口相适应）
2.5模型推广和评价
食堂客流和泊松流有较强的契合性，排队论的M/M/C系统模型和食堂的经营情况十分契合。
因此本模型具有一定的实际意义。
但是由于时间关系，测量学生平均吃饭和打饭时间不是很精确，结果有偏差。
如果能拿到关于食堂开设窗口所要付出的经济成本等数据，对模型进一步分析就能拿出优化设计的建议。
3结论
该模型采用动态随机系统对食堂学生等待打饭的时间进行分析，突破了静态确定方法的缺点，更加符合实际情况。
若添加对食堂的经济成本的分析，既能够最大限度的满足同学们对食堂的需求，又可以节约成本，有利于提高食堂的管理效益。
但是该模型的不足之处是在仿真验证时并不是大范围的取样，有一定的局限性。
另外，该模型所假定的的平稳性也限制了其对现实的适应性。
附录
程序清单
xxx=3:
1:
10;
yyy=325:
25:
500;
nn=1;
zzz=zeros（8,8）;
forN=3:
10
mm=1;
forM=325:
25:
500
t1=zeros
（1）;
while（t1（end）<=600）
y=rand（1,1）;
x=-2.98*log（y）;
k=t1（end）+x;
t1=[t1k];
end
t2=zeros
（1）;k=0;
while（k<1200）
y=rand（1,1）;
x=-1.54*log（y）;
k=t2（end）+x;
t2=[t2,k];
end
t3=zeros
（1）;k=0;
while（k<900）
y=rand（1,1）;
x=-2.22*log（y）;
k=t3（end）+x;
t3=[t3,k];
end
t4=zeros
（1）;k=0;
while（k<600）
y=rand（1,1）;
x=-1.40*log（y）;
k=t4（end）+x;
t4=[t4,k];
end
t5=zeros
（1）;k=0;
while（k<300）
y=rand（1,1）;
x=-4.80*log（y）;
k=t5（end）+x;
t5=[t1,k];
end
t=[t1,t2+600,t3+1800,t4+2700,t5+3300];%学生到来的时间矩阵
p=length（t）;
tn=1/2.*（12+3^（1/2）.*randn（1,p）+abs（12+3^（1/2）.*randn（1,p）））;
%产生学生打饭的时间向量
tm=1/2.*（900+120^（1/2）.*randn（1,p）+abs（900+120^（1/2）.*randn（1,p）））;
%产生学生吃饭的时间向量
tt=zeros（1,p）;
dengdai=zeros（1,p）;%记录学生打饭的等待时间
kongxian=zeros
（1）;%记录窗口空闲时间
fori=1:
p
ifi<=N
tt（i）=t（i）+tn（i）;
else
buying=tt（i-1）;
forj=2:
N
buying=[buyingtt（i-j）];
end
lastpeo=min（buying）;
if（t（i）>lastpeo）
tt（i）=t（i）+tn（i）;
kongxian=kongxian+t（i）-lastpeo;
else
tt（i）=lastpeo+tn（i）;
dengdai（i）=lastpeo-t（i）;
end
end
end
tt=sort（tt）;
zuoweikongxian=zeros
（1）;
dengdai2=zeros（1,p）;
fori=1:
p
ifi<=M
ttt（i）=tt（i）+tm（i）;
else
eating=ttt（i-1）;
forj=2:
M
eating=[eatingttt（i-j）];
end
lastpeo=min（eating）;
if（tt（i）>lastpeo）
ttt（i）=tt（i）+tm（i）;
zuoweikongxian=zuoweikongxian+tt（i）-lastpeo;
else
ttt（i）=lastpeo+tm（i）;
dengdai2（i）=lastpeo-tt（i）;
end
end
end
bpd=0;
epd=0;
fori=1:
p
bpd=dengdai（i）+bpd;
end
fori=1:
p
epd=dengdai2（i）+epd;
end
c=（epd+bpd）/p
zzz（nn,mm）=c;
mm=mm+1;
end
nn=nn+1;
end
设学生的到来时间服从指数分布，由以下程序可以得到到来的时间矩阵t：
t1=zeros
（1）;
while（t1（end）<=600）
y=rand（1,1）;
x=-2.98*log（y）;
k=t1（end）+x;
t1=[t1k];
end
t2=zeros
（1）;k=0;
while（k<1200）
2
y=rand（1,1）;
x=-1.54*log（y）;
k=t2（end）+x;
t2=[t2,k];
end
t3=zeros
（1）;k=0;
while（k<900）
y=rand（1,1）;
x=-2.22*log（y）;
k=t3（end）+x;
t3=[t3,k];
end
t4=zeros
（1）;k=0;
while（k<600）
y=rand（1,1）;
x=-1.40*log（y）;
k=t4（end）+x;
t4=[t4,k];
end
t5=zeros
（1）;k=0;
while（k<300）
y=rand（1,1）;
x=-4.80*log（y）;
k=t5（end）+x;
t5=[t1,k];
end
t=[t1,t2+600,t3+1800,t4+2700,t5+3300];
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