高中毕业班摸底测试理科数学.docx
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高中毕业班摸底测试理科数学
成都市２017级高中毕业班摸底测试
数学试题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分、第Ⅰ卷（选择题）１至2页,第Ⅱ卷I（非选择题）3至4页,共４页,满分1５０分,考试时间1２0分钟。
注意事项:
1。
答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2、答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
3、答非选择题时,必须使用０、5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上、
4。
所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效、
5。
考试结束后,只将答题卡交回、
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题:
本大题共12小题,每小题５分,共6０分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、
1、复数为虚数单位）的虚部是A
（Ａ） （B） （C）（D）
解:
复数为虚数单位）的虚部是,故选A
2。
已知集合,,则B
（A）（Ｂ）（Ｃ） （D）
解:
,故选B
３、如图是某赛季甲,乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是D
（A）甲所得分数的极差为２2 （B）乙所得分数的中位数为1８
（C）两人所得分数的众数相等 （D）甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
解:
甲所得分数的极差为,Ａ正确;乙所得分数的中位数为,Ｂ正确;
甲所得分数的众数为,乙所得分数的众数为,Ｃ正确,故选D
４、若实数,满足约束条件,则的最小值为A
（Ａ）0（B）2 （C）４（D）6
解:
作出实数,满足表示的平面区域,如图所示、
由可得,则表示直线在轴上的截距,截距越大,越小、
作直线,然后把该直线向可行域平移,当直线经过点时,最大,最小、
由可得,此时,故选A
5、已知等比数列的各项均为正数,若,则D
（A）l（B）３ （C）6 （D）9
解:
因为等比数列的各项均为正数,且,即,因此,因此,因此,故选D
6、已知函数,则C
（A）（Ｂ） （C） （Ｄ）
解:
,,故选C
７、中,角的对边分别为、若向量,,且,则角的大小为Ｂ
（A） （B） （C） （Ｄ）
解:
由得,,
由正弦定理得,,化为,即,由于,因此,从而,故选B
8、执行如图所示的程序框图,则输出的的值为B
（A）5（Ｂ）6（C）7 （Ｄ）8
解:
开始
①
②
③
④
⑤
故选B
9。
若矩形的对角线交点为,周长为,四个顶点都在球的表面上,且,则球的表面积的最小值为C
（A） （B） （C） （D）
解:
如图,设矩形的两邻边分别为,,则,且外接圆的半径、
由球的性质得,平面,因此球的半径、
由均值不等式得,,因此,
因此,当且仅当时,等号成立、
因此球的表面积的最小值为,选C
10。
已知函数,则“”是“函数在处取得极小值”的A
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解法一:
当时,,由得,或,单调递增;由得,,单调递减、因此函数在处取得极小值,充分条件成立、
当函数在处取得极小值时,
若,由得,或,单调递增;由得,,单调递减、此时不成立
若,,则在上单调递增,不合题意,故必要条件不成立、故选Ａ
解法二:
当时,,则在上单调递增,不合题意;
当时,由得,或,单调递增;由得,,单调递减、此时函数在处取得极小值。
可见充分条件成立,而必要条件不成立,故选Ａ
1１、已知双曲线,的左,右焦点分别为,,又点、若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为C
（A） （B） （C） （D）
解:
由双曲线的定义可得,。
由题意,双曲线左支上的任意一点均满足,即双曲线左支上的任意一点均满足,而,从而,即,不整理得,,即,因此或、
又,因此或,故选Ｃ
1２。
若关于的不等式在内恒成立,则满足条件的整数的最大值为Ａ
（A）2 （B）3（C）4 （D）5
解:
关于的不等式在内恒成立,即关于的不等式在内恒成立,即函数的图象恒在直线的上方、
当直线与函数相切时,设切点为,则,由①②得,,把③代入得,化简得。
由得,、又由③得、即相切时整数、因此函数的图象恒在直线的上方时,整数的最大值为,故选A
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卡上、
13、某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表:
（单位:
万元）
０
１
2
３
4
（单位:
万元）
10
１5
２0
3０
３５
已知销售额与宣传费用具有线性相关关系,并求得其回归直线方程为,则的值为＿＿、
解;,,由归直线方程为过点得,,解得,填
1４、已知曲线为参数）。
若点在曲线上运动,点为直线上的动点,则的最小值为__、
解:
设,则点到直线的距离
当时,,填
15、已知是定义在上的奇函数,其导函数为,,且当时,。
则不等式的解集为_＿、
解:
令,则,因此在上为单调递增,且,因此,解得、
由是定义在上的奇函数得,在为偶函数,因此不等式的解集为,填
１6。
已知抛物线的焦点为,准线为、若位于轴上方的动点在准线上,线段与抛物线相交于点,且,则抛物线的标准方程为_ _、
解:
如图,设。
过点Ｂ作与点,由抛物线的定义知,,、、
在中,,、从而
又,因此,即,因此、
在中,,,因此、抛物线的标准方程为,填
三、解答题:
本大题共6小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1７、（本小题满分1２分）
已知函数,其导函数的图象关于轴对称,、
（Ｉ）求实数,的值;
（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点,求实数的取值范围。
解:
（I）、……1分
函数的图象关于轴对称,、………2分
又,解得、 ………3分
、 …………4分
（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根时,求的取值范围、
由（Ｉ）,得、、 ………、、５分
令,解得、 …………６分
当或时,,在,上分别单调递增、……７分
又当时,,在上单调递减, 。
。
８分
的极大值为,极小值为、 ………、、1０分
实数的取值范围为。
………、12分
18、（本小题满分12分）
为践行“绿水青山就是金山银山"的发展理念,某城区对辖区内三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到8０分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位、现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下
类行业:
８５,82,77,78,8３,8７;
类行业:
7６,67,80,85,79,81;
类行业:
８7,89,76,8６,75,84,90,82。
（I）试估算这三类行业中每类行业的单位个数;
（Ⅱ）若在Ａ类行业抽样的这６个单位中,随机选取３个单位进行交流发言,求选出的3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率、
解:
（I）由题意,抽取的三类行业单位个数之比为。
…………1分
由分层抽样的定义,有
类行业单位个数为（个）; ……、、2分
类行业单位个数为（个）; ……、、3分
类行业单位个数为（个）、 ……、、4分
三类行业单位的个数分别为6０,60,80、 ………。
5分
（Ⅱ）记选出的这３个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件
在类行业的6个单位中随机选取3个单位的考核数据情形有:
,,,,,,,,,,,,,,,,,,、共2０种。
…7分
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有:
,,、共４种、 …………８分
这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种, 一9分
这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种、…………１0分
所求概率、…………12分
１9、（本小题满分12分）
如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,,分别为,的中点、
（I）证明:
平面平面;
（Ⅱ）若,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
解:
（Ｉ）连接,,,为正三角形、
为的中点,、…………１分
,平面,。
又平面,平面,平面、……2分
分别为,的中点,。
又平面,平面,平面、 ……。
3分
又,平面,,平面平面、………5分
（Ⅱ）连接、
平面平面,平面平面,平面,
又,平面、
又,,,两两互相垂直、………6分
以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系、
,
则,,,,,、 ……7分
设平面的一个法向量,平面的一个法向量、
,
由,得、取。
……8分
,
由,得、取、 …………9分
。
………11分
平面与平面所成锐二面角的余弦值为。
…………１2分
20、（本小题满分1２分）
已知椭圆的左,右焦点分别为,,且经过点、
（Ｉ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于,两点,记点关于轴对称的点为。
若直线与轴相交于点,求面积的最大值。
解:
（I）由椭圆的定义,可知。
………1分
解得。
…………2分
又、 ……3分
椭圆的标准方程为、………、４分
（Ⅱ）由题意,设直线的方程为、设,,则、
由,消去,可得。
…………5分
。
、………、６分
直线的方程为。
…………7分
令,可得、 ………８分
、…………９分
、 ……１０分
令,、
则,当且仅当即时等号成立,
面积的最大值为。
……12分
2１、（本小题满分１２分）
已知函数,其中、
（Ｉ）当时,求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）若函数有唯一零点,求的值、
解:
（I）当时,,、…………１分
。
……、2分
又,………3分
曲线在点处的切线方程为,即、…………4分
（Ⅱ）法一:
。
………一５分
令,则,
函数在仅有一个零点,
存在,使得、即存在满足时,……６分
当,即时,、在上单调递减;
当,即时,、在上单调递增,…………７分
又当时,,,;
当时,,
、
当时,,当时,、
由题意,函数有唯一零点时,必有。
①…………9分
又,②
由①②消去,得、 ………1０分
令、,单调递增,
又,
方程有唯一解、 …………11分
将代入,解得、
当函数有唯一零点时,的值为。
………1２分
法二:
问题等价于关于的方程有唯一解时,求的值、
令,则、
问题等价于关于的方程有唯一的解时,求的值。
令,则、
令,则、
在单调递减,而,当时,,当时,。
当时,,当时,、从而在单调递增,在单调递减。
注意到:
当时,,当时,,的唯一极大值为、结合的图象知,或时,关于的方程有唯一的解,而,因此、
2２（本小题满分1０分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为为参数）。
以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为、
（I）求曲线的直角坐标方程;
（Ⅱ）若直线与曲线相交于,两点,求的最小值。
解:
（I）,。
………1分
由直角坐标与极坐标的互化关系,、 …………2分
曲线的直角坐标方程为、 ……、4分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程,并整理得、 ……。
、5分
可设,是方程的两个实数根,则
。
…………6分
…………7分
当时,等号成立、…………９分
的最小值为、………10分
成都市2０１7级高中毕业班摸底测试
数学试题（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分、第Ⅰ卷（选择题）1至2页,第Ⅱ卷（非选择题）3至4页,共4页,满分150分,考试时间１20分钟、
注意事项:
1、答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
２、答选择题时,必须使用2Ｂ铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
3。
答非选择题时,必须使用0、5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
４、所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效、
5、考试结束后,只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题,共６0分）
一、选择题:
本大题共12小题,每小题５分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、复数为虚数单位的虚部是A
（Ａ） （B）（C） （D）
解:
复数为虚数单位）的虚部是,故选A
2、已知集合,,则B
（A） （B）（C） （D）
解:
,故选B
3、如图是某赛季甲,乙两名篮球运动员９场比赛 所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是D
（A）甲所得分数的极差为２2 （Ｂ）乙所得分数的中位数为1８
（C）两人所得分数的众数相等 （D）甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
解:
甲所得分数的极差为,Ａ正确;乙所得分数的中位数为,Ｂ正确;
甲所得分数的众数为,乙所得分数的众数为,C正确,故选D
4。
若实数,满足约束条件,则的最小值为Ａ
（A）0 （Ｂ）2 （C）4（D）6
解:
作出实数,满足表示的平面区域,如图所示、
由可得,则表示直线在轴上的截距,截距越大,越小、
作直线,然后把该直线向可行域平移,当直线经过点时,最大,最小、
由可得,此时,故选A
５、已知等比数列的各项均为正数,若,则D
（A）ｌ（B）3 （Ｃ）6 （D）9
解:
因为等比数列的各项均为正数,且,即,因此,因此,因此,故选D
6、设函数的导函数为,若,则C
（Ａ） （B） （C）（Ｄ）
解:
,选C
7。
中,角的对边分别为、若向量,, 且,则角的大小为B
（A）（B）（C）（Ｄ）
解:
由得,,
由正弦定理得,,化为,即,由于,因此,从而,故选B
8、执行如图所示的程序框图,则输出的的值为Ｂ
（A）5 （B）６ （C）7 （D）8
解:
开始
①
②
③
④
⑤
故选B
9、若矩形的对角线交点为,周长为,四个顶点都在球的表面上,且,则球的表面积的最小值为C
（A）（B）（C） （D）
解:
如图,设矩形的两邻边分别为,,则,且外接圆的半径、
由球的性质得,平面,因此球的半径、
由均值不等式得,,因此,
因此,当且仅当时,等号成立、
因此球的表面积的最小值为,选C
10、已知函数,则“在”是“函数在处取得极小值”的A
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解法一:
当时,,由得,或,单调递增;由得,,单调递减、因此函数在处取得极小值,充分条件成立。
当函数在处取得极小值时,
若,由得,或,单调递增;由得,,单调递减、此时不成立
若,,则在上单调递增,不合题意,故必要条件不成立、故选A
解法二:
当时,,则在上单调递增,不合题意;
当时,由得,或,单调递增;由得,,单调递减。
此时函数在处取得极小值、可见充分条件成立,而必要条件不成立,故选A
11、已知双曲线,的左,右焦点分别为,,又点。
若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为Ｄ
（A）（B） （Ｃ） （D）
解:
由双曲线的定义可得,、
由题意,双曲线左支上的任意一点均满足,即双曲线左支上的任意一点均满足,而,从而,即,不整理得,,即,因此或、
又,因此或,故选Ｄ
12、若关于的不等式在内恒成立,则满足条件的整数的最大值为Ｃ
（A）0 （B）l （C）２ （D）3
解:
关于的不等式在内恒成立,即关于的不等式在内恒成立,即函数的图象恒在直线的上方、
当直线与函数相切时,设切点为,则,由①②得,,把③代入得,化简得、由得,、又由③得。
即相切时整数、因此函数的图象恒在直线的上方时,整数的最大值为,故选C
第Ⅱ卷（非选择题,共９0分）
二、填空题:
本大题共4小题,每小题５分,共２0分、把答案填在答题卡上、
13、某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表:
（单位:
万元）
0
1
2
３
４
（单位:
万元）
1０
１5
20
３０
3５
已知销售额与宣传费用具有线性相关关系,并求得其回归直线方程为,则的值为_＿_、
解;,,由归直线方程为过点得,,解得,填
1４。
已知曲线为参数）。
若点在曲线上运动,点为直线上的动点,则的最小值为__、
解:
设,则点到直线的距离
当时,,填
１5。
已知是定义在上的奇函数,其导函数为,,且当时,
、则不等式的解集为___、
解:
令,则,因此在上为单调递增,且,因此,解得、
由是定义在上的奇函数得,在为偶函数,因此不等式的解集为,填
16、已知抛物线的焦点为,准线为、过点作倾斜角为的直线与准线相交于点,线段与抛物线相交于点,且,则抛物线的标准方程为_＿_＿、
解:
法一（几何法）如图,设、过点B作与点,由抛物线的定义知,,。
、
在中,,、
从而。
在中,,,因此。
抛物线的标准方程为,填、
法二（代数法）直线的方程为,从而、
由消去,得,解得或（舍）,从而、
由得,,解得,抛物线的标准方程为,填、
三、解答题:
本大题共6小题,共70分、解答应写出文字说明、’证明过程或演算步骤、
17、（本小题满分12分）
已知函数,其导函数的图象关于轴对称,、
（I）求实数,的值;
（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点,求实数的取值范围、
解:
（I） 、 ……１分
函数的图象关于轴对称,、 ………２分
又,解得、 ………3分
、…………４分
（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根时,求的取值范围、
由（Ｉ）,得、、………。
、５分
令,解得。
…………６分
当或时,,在,上分别单调递增、……7分
又当时,,在上单调递减, 、。
8分
的极大值为,极小值为、 ………。
、10分
实数的取值范围为、 ………、12分
１8、（本小题满分12分）
为践行“绿水青山就是金山银山"的发展理念,某城区对辖区内三类行业共2０0个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到8０分及其以上的单位被称为“星级"环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位。
现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下
类行业:
８5,82,77,78,83,87;
类行业:
７６,６7,８0,8５,７９,81;
类行业:
87,89,7６,86,７５,84,90,82、
（I）试估算这三类行业中每类行业的单位个数;
（Ⅱ）若在A类行业抽样的这６个单位中,随机选取３个单位进行交流发言,求选出的3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率、
解:
（I）由题意,抽取的三类行业单位个数之比为、…………1分
由分层抽样的定义,有
类行业单位个数为（个）; ……、。
２分
类行业单位个数为（个）; ……、、3分
类行业单位个数为（个）、 ……、。
4分
三类行业单位的个数分别为６0,６0,８0、………、5分
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件
在类行业的6个单位中随机选取３个单位的考核数据情形有:
,,,,,,,,,,,,,,,,,,、共20种、 …7分
这３个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有:
,,。
共4种、…………８分
这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种, 一９分
这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种、…………1０分
所求概率、 …………12分
19、（本小题满分12分）
如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,,分别为,的中点、
（Ｉ）证明:
平面平面;
（Ⅱ）若,求三棱锥的体积、
解:
（Ｉ）连接、,,为正三角形、
为的中点,。
…………1分
,平面,、
又平面,平面,平面 ………、2分
分别为,的中点,、
又平面,平面,平面。
………３分
又,平面,,平面平面、…………５分
（Ⅱ）在（I）中已证。
………6分
平面平面,平面,平面、 …………７分
又,,、……、、8分
分别为,的中点,、
的面积、 ………。
10分
三棱锥的体积、…………1２分
20、（本小题满分１2分）
已知椭圆的左,右焦点分别为,,且经过点、
（I）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于,两点,记点关于轴对称的点为、证明:
直线经过轴上一定点,并求出定点的坐标。
解:
（Ｉ）由椭圆的定义,可知、 ………。
1分
解得、 …………２分
又。
……、。
3分
椭圆的标准方程为、 …………4分
（Ⅱ）由题意,设直线的方程为、设,,则、
由,消去,可得、 ……、、５分
。
。
…………7分
、
直线的方程为。
…………8分
令,可得。
…………9分
、、 ……11分
直线经过轴上定点,其坐标为、 …、、１2分
2１、（本小题满分12分）
已知函数,其中、
（I）当时,求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）若函数有唯一零点,求的值。
解:
（I）当时,,、 ……、、１分
、 …………2分
又。
…………３分
曲线在点处的切线方程为,即。
………。
４分
（Ⅱ）问题等价于关于的方程有唯一的解时,求的值、…………5分
令,则、 ………、6分
令,则
在上单调递减。
…、、8分
又、
当时,,即,在上单调递增;
当时,,即,在上单调递减、…………9分
的极大值为、………１0分
当时,;当时,、 …、、11分
又,当方程有唯一的解时,。
综上,当函数有唯一零点时,的值为、…………１２分
22（本小题满分10分）选修4—４:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为为参数）、以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为、
（Ｉ）求曲线的直角坐标方程;
（Ⅱ）若直线与曲线相交于,两点,求的最小值、
解:
（Ｉ）,、 ………1分
由直角坐标与极坐标的互化关系,、…………2分
曲线的直角坐标方程为。
……、4分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程,并整理得、……。
、5分
可设,是方程的两个实数根,则
、 …………6分
…………7分
当时,等号成立、 …………9分
的最小值为、………10分
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