最新数学建模竞赛C题解答11.docx
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最新数学建模竞赛C题解答11
2022数学建模竞赛C题解答[1]1
2022高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题解答
问题1：
如图1，设P的坐标为（x,y），（x≥0，y≥0），共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为
只需考虑
的情形〔不妨假设
〕。
对上述二元费用函数求偏导，令
〔＊〕
结合图1，将〔＊〕式改写为
，易知：
所以
，故经过
和
的直线方程分别为：
①
②
联立①、②解方程组得交点
因为x≥0，y≥0，所以
应满足：
且
〔a〕当
时，此时交点在
轴上，将
代入①式，可得
，即交点
与
点重合〔如图2〕。
（b）当
时，交点在梯形内
做以下变更：
（a）首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。
根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。
附加费用采用了三家工程咨询公司〔其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质〕进行了估算。
估算结果如表1所示。
表1三家工程咨询公司估计的附加费用
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用〔万元/千米〕
21
24
20
为合理估计附加费用，我们采用对三家公司进行加权求和的方法进行估计。
权重的估计采用层次分析法确定。
由于公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。
不同资质的公司信誉会不同，如甲级注册资本不少于600万元人民币；乙级注册资本不少于300万元人民币。
那么这三家公司的权重会不同，根据经验可设甲级资质公司的重要程度为乙级资质公司重要程度的2倍，而两家乙级资质公司重要程度相同。
那么构成的成比照拟矩阵为：
该矩阵最大特征值为
，为一致矩阵，其一致性指标CI=0。
那么该矩阵任意列向量都可以作为最大特征值对应的特征向量，将任意列向量归一化后作为权重。
因此权重向量为
。
附加费用估计为：
（万元）。
用MATLAB求最大特征值、权向量和附加费用值，程序如下：
A=[1,2,2;1/2,1,1;1/2,1,1];
[V,D]=eig（A）;
[p,k]=max（eig（A））;
v=V（:
k）;
w=v/sum（v）;
CI=（p-3）/2;
RI=0.58;
CR=CI/RI;
CR,p,w
CR=
0
p=
3
w=
0.5000
0.2500
0.2500
a=[21,24,20];
w0=a*w
w0=
21.5000
（b）假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z〔参见图4〕。
图4
模型一：
一般情况下，连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取上述问题1（b）的结果，因此管道总费用最省的数学模型一为
其中t表示城乡建设费用的比值〔
〕。
求导，令
，得驻点
当
时，
取得最小值
或对模型用MATLAB软件进行数值求解。
程序如下：
g=inline（'0.5*（5+z+3^0.5*15）+（21.5+7.2）/7.2*（5^2+（8-z）^2）^0.5','z'）;
[z,g]=fminbnd（g,0,15）;
x=0.5*（15-3^0.5*（z-5））;
y=0.5*（5+z-15/（3^0.5））;
f=7.2*g;
x,y,z,f
x=5.4494
y=1.8538
z=7.3678
f=282.6973
结果为
。
用LINGO程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20;
t=（7.2+21.5）/7.2;
u=0.5*（a+z+3^0.5*c）;
v=t*@sqrt（（b-z）^2+（l-c）^2）;
g=u+v;
min=g;
x=0.5*（c-（z-a）*3^0.5）;
y=0.5*（a+z-c/（3^0.5））;
f=7.2*g;
end
运行结果：
Z7.3678290.000000X5.4494000.000000
Y1.8537880.1692933E-07
F282.69730.000000
模型二：
如图4，设P点坐标为（x,y），Q点坐标为（z,0），t表示城乡建设费用的比值，因此管道总费用最省的数学模型二为
其中
。
用LINGO程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20;
t=28.7/7.2;
f1=@sqrt（x^2+（a-y）^2）;
f2=@sqrt（（c-x）^2+（z-y）^2）;
f3=y;
f4=t*@sqrt（（b-z）^2+（l-c）^2）;
f=f1+f2+f3+f4;
M=7.2*f;
min=M;
end
运行结果：
X5.4494000.1246698E-08
Y1.8537880.1116410E-08
Z7.367829-0.1861630E-08
F39.263520.000000
M282.6973
两种极端情形：
当权重取为1:
1:
1时，P点坐标为（5.4462,1.8556），Q点坐标为（15.0000,7.3715），最小费用为283.5373万元。
当权重取为1:
0:
0时，P点坐标为（5.4593,1.8481），Q点坐标为（15.0000,7.3564），最小费用为280.1771万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。
问题3：
考虑各局部管道费率不等的情况。
分别用
记AP、PQ、PH、BQ段管道的费率，并设P和Q点的坐标分别为（x,y）、（c,z）（如图5），那么总费用的表达式为
其中
。
图5
用LINGO程序求解，程序如下：
model:
a=5;b=8;c=15;l=20;
k1=5.6;k2=6.0;k3=7.2;k4=27.5;
f1=k1*@sqrt（x^2+（a-y）^2）;
f2=k2*@sqrt（（c-x）^2+（z-y）^2）;
f3=k3*y;
f4=k4*@sqrt（（b-z）^2+（l-c）^2）;
F=f1+f2+f3+f4;
min=F;
end
运行结果：
X6.7337840.000000
Y0.13889900.000000
Z7.2795030.000000
F251.96850.000000
两种极端情形：
当权重取为1:
1:
1时，P点坐标为（6.7310,0.1409），Q点坐标为（15.0000,7.2839），最小费用为252.8104万元。
当权重取为1:
0:
0时，P点坐标为（6.7424,0.1327），Q点坐标为（15.0000,7.2659），最小费用为249.4422万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。
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