用matlab实现寻找最短路.docx
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用matlab实现寻找最短路
用matlab寻找赋权图中的最短路中的应用
1引言
图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。
这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。
在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。
最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。
2最短路
2.1最短路的定义（short-pathproblem）
对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图
的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。
后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。
但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。
因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。
但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在
的情况下选择Dijkstra算法。
若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的做优化问题。
定义1：
若图G=G（V，E）中个边[vi,vj]都赋有一个实数wij，则称这样的图G为赋权图，wij称为边[vi,vj]上的权。
定义2：
给定一个赋权有向图，即给一个有向图D=（V,A），对每一个弧a=（vi,vj），相应地有权w（a）=wij，又给定D中的两个顶点vs，vt。
设P是D中从vs到vt的一条路，定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为w（P）。
最短路问题就是要在所有从vs到vt的路中，求一条权最小的路，即求一条从vs到vt的路P0，使w（P0）=
w（P）式中对D中所有从vs到vt的路P最小，称P0是从vs到vt的最短路。
2.2最短路问题算法的基本思想及其基本步骤
在求解网络图上节点间最短路径的方法中，目前国内外一致公认的比较好的算法有Dijkstra和Floyd算法。
这两种算法，网络被抽象为一个图论中定义的有向图或无向图，并利用图的节点邻接矩阵记录点的关联信息。
在进行图的遍历搜索最短路径时，以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别，知道获得最后的优化路径。
鉴于课本使用Dijkstra算法，下面用Floyd算法进行计算：
设A=（a）n*n为赋权图G=（V，E，F）的矩阵，当ViVj∈E时，aij=F（vi，vj），否则，取aij=0，aij=+∞（i≠j），dij表示从vi到vj的点的距离，rij表示从vi到vj的点的最短路中的一个点的编号。
1赋初值。
对所有i，j，dij=aij，rij=j，k=1，转向②；
2更新dij，rij，对所有i，j，若dik+dkj3终止判断。
若dij<0,则存在一条含有顶点vi的负回路，终止；或者k=n，终止；否则，另k=k+1，转向②。
最短路线可由rij得到。
2.3用matlab程序实现上述算法
编写程序函数程序如下：
functionf=shortpath（n,A）
clear;
n=input（'请输入矩阵的阶n='）;
A=input（'请输入赋权图对应的n阶矩阵A='）;%顶点之间不通时，用inf表示（MATLAB中，inf表示无穷）
D=A;%赋初值
for（i=1:
n）
for（j=1:
n）
R（i,j）=j;
end;
end%赋路径初值
for（k=1:
n）
for（i=1:
n）
for（j=1:
n）
if（D（i,k）+D（k,j）D（i,j）=D（i,k）+D（k,j）;%更新dij
R（i,j）=k;%更新rij
end;
end;
end
k%显示迭代步数
D%显示每步迭代后的路长
R%显示每步迭代后的路径
pd=0;
for（i=1:
n）%含有负权
if（D（i,j）<0）
pd=1;
break;
end;
end%存在一条含有顶点的vi的负回路
if（pd）
break;
end%存在一条负回路，终止程序
end%程序结束
下面用一个实际的例子进行一下函数实际运算：
例：
求解下赋权图中任意两点中的最短路。
V16V4
26538
V08V21V56v7
17243
V39V5
用matlab函数运行以后，运行结果如下：
请输入矩阵的阶n=8
请输入赋权图对应的n阶矩阵A=[0281infinfinfinf;206inf1infinfinf;8607512inf;1inf70infinf9inf;inf15inf03inf8;infinf1inf3046;infinf29inf403;infinfinfinf8630]
k=1
D=
0281InfInfInfInf
20631InfInfInf
8607512Inf
1370InfInf9Inf
Inf15Inf03Inf8
InfInf1Inf3046
InfInf29Inf403
InfInfInfInf8630
R=
12345678
12315678
12345678
11345678
12345678
12345678
12345678
12345678
k=2
D=
02813InfInfInf
20631InfInfInf
8607512Inf
13704Inf9Inf
315403Inf8
InfInf1Inf3046
InfInf29Inf403
InfInfInfInf8630
R=
12342678
12315678
12345678
11342678
22325678
12345678
12345678
12345678
k=3
D=
02813910Inf
2063178Inf
8607512Inf
1370489Inf
31540378
97183036
108297303
InfInfInfInf8630
R=
12342338
12315338
12345678
11342378
22325638
33335638
33343378
12345678
k=4
D=
02813910Inf
2063178Inf
8607512Inf
1370489Inf
31540378
97183036
108297303
InfInfInfInf8630
R=
12342338
12315338
12345678
11342378
22325638
33335638
33343378
12345678
k=5
D=
0281361011
20631489
860751213
137047912
31540378
64173036
108297303
11913128630
R=
12342535
12315535
12345675
11342575
22325638
55355638
33343378
55555678
k=6
D=
027136911
20531479
75074127
137047912
31440368
64173036
97296303
1197128630
R=
12642565
12615565
66346676
11342575
22625668
55355638
66346378
55655678
k=7
D=
027136911
20531479
75074125
137047912
31440368
64173036
97296303
1195128630
R=
12642565
12615565
66346677
11342575
22625668
55355638
66346378
55755678
k=8
D=
027136911
20531479
75074125
137047912
31440368
64173036
97296303
1195128630
R=
12642565
12615565
66346677
11342575
22625668
55355638
66346378
55755678
注：
上例中是用一个无向赋权图，对与有向赋权图只需要把反向的定义为无穷大（在matlab中即用inf代替不能到达的情况），一样可以调用上述函数程序进行运算。
3最短路的实际应用
●最短路问题在交通网络结构的分析，交通运输路线（公路、铁路、河流航运线、航空线、管道运输路线等）的选择，通讯线路的建造与维护，运输货流的最小成本分析，城公共交通网络的规划等，都有直接应用的价值。
●最短路问题在实际中还常用于汽车导航系统以及各种应急系统等（110报警、119火警以及120医疗救护系统），这些系统一般要求计算出到出事地点的最佳路线的时间最短。
利用最短路还需要实际计算出前方的行驶路线，这就决定了最短路径问题的实现应该是高效率的。
●根据现在发展的要求，在城乡一体化的总体思路中，为实现农村村村通的目标，针对农村地理分布，进行合理规划，对与优化农村交通网络，促进农村发展有重要的内容。
4结语
本文将最短路理论与实际相联系，尤其是对与当前热点问题的应用，具有很重要的意义。
将实际生活中出现的安全隐患尽量降低。
同时也凸显出学习与应用最短路原理的重要性。
要在平时的生活中，注意学习中的相关联系，那样会对学习产生更大的兴趣。
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