数据结构课程设计最短路径问题实验报告.docx
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数据结构课程设计最短路径问题实验报告
一、概述.........................................
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二、系统分析.....................................
0
三、概要设计.....................................
1
四、详细设计.....................................
4
4.1
建立图的存储结构...........................
4
4.2
单源最短路径...............................
5
4.3
任意一对顶点之间的最短路径
.................6
五、运行与测试
...................................7
参考文献........................................
10
附录............................................
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交通咨询系统设计（最短路径问题）
一、概述
在交通网络日益发达的今天，针对人们关心的各种问题，利用计
算机建立一个交通咨询系统。
在系统中采用图来构造各个城市之间的
联系，图中顶点表示城市，边表示各个城市之间的交通关系，所带权
值为两个城市间的耗费。
这个交通咨询系统可以回答旅客提出的各种
问题，例如：
如何选择一条路径使得从A城到B城途中中转次数最少；
如何选择一条路径使得从A城到B城里程最短；如何选择一条路径使
得从A城到B城花费最低等等的一系列问题。
二、系统分析
设计一个交通咨询系统，能咨询从任何一个城市顶点到另一城市顶点之间的最短路径（里程）、最低花费或是最少时间等问题。
对于不同的咨询要求，可输入城市间的路程、所需时间或是所需费用等信息。
针对最短路径问题，在本系统中采用图的相关知识，以解决在实际情况中的最短路径问题，本系统中包括了建立图的存储结构、单源最短问题、对任意一对顶点间最短路径问题三个问题，这对以上几个问题采用了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
并未本系统设置一人性化的系统提示菜单，方便使用者的使用。
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三、概要设计
可以将该系统大致分为三个部分：
①建立交通网络图的存储结构；
②解决单源最短路径问题；
③实现两个城市顶点之间的最短路径问题。
交通咨询系统
迪杰
建立
斯特
图的
拉算
存储
法（单
结构
源最
义
短路
径）
迪杰斯特拉算法流图：
费洛依
德算法
（任意
顶点对
间最短
路径）
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弗洛伊德算法流图：
2/16
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四、详细设计
4.1建立图的存储结构
定义交通图的存储结构。
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关
系的矩阵。
设G=（V,E）是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有
如下定义的n阶方阵。
Wij，若（Vi,Vj）或Vi,VjE（G）
A[i,j]
0或，其他情况
注：
一个图的邻接矩阵表示是唯一的！
其表示需要用一个二维数
组存储顶点之间相邻关系的邻接矩阵并且还需要用一个具有n个元
素的一维数组来存储顶点信息（下标为i的元素存储顶点Vi的信息）。
邻接矩阵的存储结构：
#defineMVNum100//最大顶点数
typedefstruct
{
VertexTypevexs[MVNum];//顶点数组，类型假定为char型
Adjmatrixarcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵，假定为int型
}MGraph;
注：
由于有向图的邻接矩阵是不对称的，故程序运行时只需要输
入所有有向边及其权值即可。
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4.2单源最短路径
单源最短路径问题：
已知有向图（带权），期望找出从某个源点S
∈V到G中其余各顶点的最短路径。
迪杰斯特拉算法即按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法。
算法思想：
设有向图G=（V,E），其中V={1,2，n}，cost是表
示G的邻接矩阵，
cost[i][j]表示有向边的权。
若不存在有向边，则
cost[i][j]的权为无穷大（这里取值为32767）。
设S是一个集合，
集合中一个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。
设顶点V1为源点，集合S的初态只包含顶点V1。
数组dist记录从源点到其它各顶点当前的最短距离，其初值为dist[i]=
cost[i][j]，i=2，n。
从S之外的顶点集合V-S中选出一个顶点w，使dist[w]的值最小。
于是从源点到达w只通过S中的顶点，把
w加入集合S中，调整dist中记录的从源点到V-S中每个顶点v的
距离：
从原来的dist[v]和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为
新的dist[v]。
重复上述过程，直到S中包含V中其余顶点的最短路径。
最终结果是：
S记录了从源点到该顶点存在最短路径的顶点集合，数组dist记录了从源点到V中其余各顶点之间的最短路径，path是最短路径的路径数组，其中path[i]表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱顶点。
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4.3任意一对顶点之间的最短路径
任意顶点对之间的最短路径问题，是对于给定的有向网络图
G=（V,E）,要对G中任意一对顶点有序对，“V,W（V≠W）”，找出V到W的最短路径。
而要解决这个问题，可以依次把有向网络图中每个顶点作为源点，重复执行前面的迪杰斯特拉算法n次，即可求得每对之间
的最短路径。
费洛伊德算法的基本思想：
假设求从Vi到Vj的最短路径。
如果
存在一条长度为arcs[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，还需要进行n次试探。
首先考虑路径和是否存在。
如果存在，则比较路径和的路径长度，取长度较短者为当前所求得。
该路径是中间顶点序号不大于1的最短路径。
其次，考虑从vi到vj是否包含有顶点v2为中间顶点的路径，若
没有，则说明从vi到vj的当前最短路径就是前一步求出的；若有，那么可分解为和，而这两条路径是前一次找到的中间点序号不大于1的最短路径，将这两条路径长度相加就得到路径的长度。
将该长度与前一次中求得
的从vi到vj的中间顶点序号不大于1的最短路径比较，取其长度较
短者作为当前求得的从vi到vj的中间顶点序号不大于2的最短路径。
依此类推直至顶点vn加入当前从vi到vj的最短路径后，选出从
vi到vj的中间顶点序号不大于n的最短路径为止。
由于图G中顶点序号不大于n，所以vi到vj的中间顶点序号不大于n的最短路径，已考
虑了所有顶点作为中间顶点的可能性，因此，它就是vi到vj的最短
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路径。
五、运行与测试
测试实例1：
利用如下图所示的有向图来测试
1
3
13
177
61
32
74
76
664
24
26
56
45
5
测试实例2：
利用下图求交通网络图（无向图）的最短路径。
2553
北京
1
704
西安
2
695
徐州
812
4
成都
511
3
349
郑州
5
651
1579
2368
13857
广州6
实例1运行结果：
上海
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8/16
实例2运行结果：
9/16
六、总结与心得
该课程设计主要是从日常生活中经常遇到的交通网络问题入手，
进而利用计算机去建立一个交通咨询系统，以处理和解决旅客们关心
的各种问题（当然此次试验最终主要解决的问题是：
最短路径问题）。
这次试验中我深刻的了解到了树在计算机中的应用是如何的神
奇与灵活，对于很多的问题我们可以通过树的相关知识来解决，特别
是在解决最短路径问题中，显得尤为重要。
经过着次实验，我了解到了关于树的有关算法，如：
迪杰斯特拉
算法、弗洛伊德算法等，对树的学习有了一个更深的了解。
参考文献
【1】《数据结构》严蔚敏.清华大学出版社.
【2】《数据结构课程设计》苏仕华.极械工业出版社.
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附录
#include
#include
#defineMVNum100
#defineMaxint32767
enumboolean{FALSE,TRUE};
typedefcharVertexType;
typedefintAdjmatrix;
typedefstruct{
VertexTypevexs[MVNum];
Adjmatrixarcs[MVNum][MVNum];
}MGraph;
intD1[MVNum],p1[MVNum];
intD[MVNum][MVNum],p[MVNum][MVNum];
voidCreateMGraph（MGraph*G,intn,inte）
{
inti,j,k,w;
for（i=1;i<=n;i++）
G->vexs[i]=（char）i;
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
G->arcs[i][j]=Maxint;
printf（"输入%d条边的i.j及w:
\n",e）;
for（k=1;k<=e;k++）{
scanf（"%d,%d,%d",&i,&j,&w）;
G->arcs[i][j]=w;
}
printf（"有向图的存储结构建立完毕！
\n"）;
}
voidDijkstra（MGraph*G,intv1,intn）
{
intD2[MVNum],p2[MVNum];
intv,i,w,min;
enumbooleanS[MVNum];
for（v=1;v<=n;v++）{
S[v]=FALSE;
D2[v]=G->arcs[v1][v];
if（D2[v]p2[v]=v1;
else
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p2[v]=0;
}
D2[v1]=0;S[v1]=TRUE;
for（i=2;imin=Maxint;
for（w=1;w<=n;w++）
if（!
S[w]&&D2[w]{v=w;min=D2[w];}
S[v]=TRUE;
for（w=1;w<=n;w++）
if（!
S[w]&&（D2[v]+G->arcs[v][w]D2[w]=D2[v]+G->arcs[v][w];
p2[w]=v;
}
}
printf（"路径长度路径\n"）;
for（i=1;i<=n;i++）{
printf（"%5d",D2[i]）;
printf（"%5d",i）;v=p2[i];
while（v!
=0）{
printf（"<-%d",v）;
v=p2[v];
}
printf（"\n"）;
}
}
voidFloyd（MGraph*G,intn）
{
inti,j,k,v,w;
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
{
if（G->arcs[i][j]!
=Maxint）
p[i][j]=j;
else
p[i][j]=0;
D[i][j]=G->arcs[i][j];
}
for（k=1;k<=n;k++）
{
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
{
if（D[i][k]+D[k][j]
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D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];
p[i][j]=p[i][k];
}
}
}
}
voidmain（）
{
MGraph*G;
intm,n,e,v,w,k;
intxz=1;
G=（MGraph*）malloc（sizeof（MGraph））;
printf（"输入图中顶点个数和边数n,e:
"）;
scanf（"%d,%d",&n,&e）;
CreateMGraph（G,n,e）;
while（xz!
=0）{
printf（"************求城市之间最短路径************\n"）;
printf（"=========================================\n"）;
printf（"1.求一个城市到所有城市的最短路径\n"）;
printf（"2.求任意的两个城市之间的最短路径\n"）;
printf（"=========================================\n"）;
printf（"请选择:
1或2，选择0退出:
\n"）;
scanf（"%d",&xz）;
if（xz==2）{
Floyd（G,n）;
printf（"输入源点（或起点）和终点:
v,w:
"）;
scanf（"%d,%d",&v,&w）;
k=p[v][w];
if（k==0）
printf（"顶点%d到%d无路径!
\n",v,w）;
else
{
printf（"从顶点%d到%d最短路径路径是:
%d",v,w,v）;while（k!
=w）{
printf（"--%d",k）;
k=p[k][w];
}
printf（"--%d",w）;
printf（"径路长度:
%d\n",D[v][w]）;
}
}
else
if（xz==1）
printf（"求单源路径，输入源点v:
"）;
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scanf（"%d",&v）;
Dijkstra（G,v,n）;
}
printf（"结束求最短路径，再见!
\n"）;
}
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