第5章二次型.docx
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第5章二次型
二次型与对称矩阵
、二次型及其矩阵
1定义：
含有n个变量的二次齐次函数:
2a12X1X22ai3XiX^'2a（n_1）nxn/xn
称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令aij=aji，则二次型为:
a2xx2ax2222anxxn22
+‘
n
八ajXjXj
i,j弓
a11
a12…
a1n1
/X
X1
a21
a22
a2n
，x=
X2
费
_an1
an2…
ann-
则f（x「x2,xn）=xtAx，且A为对称矩阵。
由于对称矩阵A与二次型f是对应关系，故称对称矩阵A为二次
型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，R（A）也称为二次型
f的秩
1定义：
xi=qiyi+Ci2y2+…+%丫.
关系式严虫21**22"…“心称为由变量Xi*，…xn到变量[xn=5诃1+^2丫2+…+cnnyn
y1,y2^yn的一个线性变量替换，简称线性变换。
、线性变换
c12
c22
…％〕
…c2n
_Cll
c21
称为线性变换的矩阵。
cn2
若C-0，称线性变换为非退化的，否则，称为退化的。
f（x）=xTAx=（Cy）TA（Cy）=yTCTACy=yTBy，其中B=CTAC，而BT=（CTAC）T=CTAC=B
若线性变换是非退化的，便有：
y=C_1x
2标准形
定义：
只含有平方项的二次型称为标准形。
显然：
其矩阵为对角阵。
三、矩阵的合同
1定义：
设A，B为n阶方阵，如果存在n阶非奇异矩阵C，使得CTAC二B，则称矩阵A与B合同，记为：
A:
B。
容易知道：
二次型f（x）=xTAx的矩阵A与经过非退化线性变换x=Cy得到的矩阵ctac是合同的。
2合同的性质
1反身性：
对任意方阵A都有A:
A
2对称性：
如果A:
B，则B:
A
3传递性：
如果A:
B，B:
C，则AC
3定理：
任何一个实对称矩阵a都合同于一个对角阵上（上是以A的n个特
征根为对角元的对角阵）。
即存在非奇异矩阵C,使得ctac二上。
四、用配方法化二次型为标准形
1二次型中含有平方项
例化二次型x：
+2x2-3x2+4x〔x2-4X[X3-4x2x3为标准形，并求出非奇异线性变换。
解：
X124（X2-X3）X14（X2-X3）2-4（X2-X3）22（x；-2X2X3X（）-5x3
222
=（X12X2-2X3）~4x2-X3）乂2（-X3）-X35
222
-（X12X2-2X3）~2x2-X3）-X3
y^xi
+2x2-2x3
i1
'1
2
-21
1
令」
y2=
x2-x3，即
y2
=
0
1
-1
X2
$3二
X3
10
0
1J
一1
2-21
■1
1
-2
01
1
令C_
-iL
=0
1-1，则C=
0
1
1，
于是作非奇异的线性变
Io
01一
10
0
1j
_1
-2
0"%、
换x=Cy，即
X2
=|0
1
1y2
10
0
1Jlysj
则原实二次型xTAx化为标准形：
y12-2y|-5y|
2二次型中不含平方项
例用配方法化二次型x1x2x1x3x2x3为标准形，并求出相应的满秩线性变换。
'*17宀2
解：
令*2=、、-y，则原二次型化为：
f=y：
-y；*2y1y3
x3二y3
再按前例的方法有：
yi2-yf2河3
222
二yi2yiy3y3-y3-y2
222
=（yiy3）-y2-y3
乜=yi+y3
令'z2=y2，则原二次型化为：
f=z2-z；-zf
y3
其中的满秩变换为两变换的合成，即：
尢=%+Y2
I1
ii01
由第一次变换」
x2=旳-y2得:
X2
iT0!
y2
2=出
*丿
i
00ij
鳥3丿
+Y3
/、
yi
_i0-们
/、
z
由第二次变换』
Z2=
y2得：
y2
=0i0
Z2
厶=
y3
必丿
〔00ij
lz3丿
所以有合成的满秩变换为:
%、
j
1
10
-1
1
110■
1
0
11'
X2
-1
打
10
-10
011
Y2
¥3J
-1
-11
10
-10|
0J1
0
0
1
0
z
Z
20
31丿
一11-1"冇
即ILL彳」
即X?
—1-1—1Z?
也丿P01
化二次型为标准形
、用矩阵的初等变换法化二次型为标准形
由于对任何方阵都存在非奇异矩阵C,使CtAC为对角阵；因而C是
cT二pT…p2Tp1，所以
ctac=町p2ptarp2Ps
c=P\PrR=ipp'2Ps
①式表示对实对称矩阵A施行初等列变换就同时也施行相应的行变换，
将A化为对角阵，②表示单位阵在相同的初等列变换下就化为C
例：
用初等变换法化二次型x1x2x1x3x2x3为标准形，并求出相应的满秩线性变换。
原二次型x1x2x1x3-XX化为2y2-舟y-2谚
、用正交化方法
n
定理：
任给aaijxiXj，总有正交变换x=Cy使f化为标准形：
i,j=1
^xf■'2x2'nx2（其中「，・2,…’n是对称矩阵A特征根）
例求一正交变换x=Cy，化二次型x1x2x1x3x2x3为标准形。
*0
1
2
1、
2
解：
二次型的矩阵为：
A=
1
2
0
1
2
1
1
0丿
<2
2
由A-人I=0，求得A的特征根为：
州=1，九2=几3=-"2，T
特征根人=1对应的特征向量为：
S=1；
<1>
r-r
r-n
11
特征根）^-^--1对应的特征向量为：
匕2=
1
芦1C
「3=0
0丿
U丿
显然1与2,3都正交，但2与3不正交
r-r
2
2
正交化：
取P-飞百与厂2—
0
-1
2
1
=
<1丿
10丿
<1丿
使原二次型化为：
yj_y|_1y；2
注意：
二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。
三、二次型的规范形
虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。
在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准
形为如下形式：
d1xf•d2x；—"pXp-dp.[X；订"-dr\
ixi=dyi（i=1,2，,r）
再令线性变换：
di，则原二次型化为:
凶=yj（j=r+1,r+2,…,n）
22…22...2
%y2yp-ypi--y「
定义：
形如上式的标准形称为二次型的规范形。
注：
规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。
定义：
称规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标，负项个数r-p称为二次型的负惯性指标。
r是二次型的秩。
定理：
二次型都可以经非退化线性变换化为规范形；合同的对称矩阵有相同的规范形，其正惯性指标和秩就相等。
二次型与对称矩阵的有定性
、正（负）定二次型的概念
定义：
若对任意不全为零的实数人梯2,xn,总有f（x）二xtAx0（：
：
0）则称实二次型为正（负）定二次型；其矩阵a为正（负）定矩阵。
定义：
若对任意不全为零的实数为公2,…xn，总有f（x）二xTAx—0（空0）则称实二次型为半正（负）定二次型；其矩阵a为半正（负）定矩阵。
、判定方法
定理1：
若A:
B且A为正定矩阵，则B也为正定矩阵。
定理2:
对角阵D=d2r正定的充要条件是:
IdnJ
di0（i=1,2,,n）o
定理3:
对称矩阵A正定的充要条件是：
存在非奇异矩阵C，使得A二CTC
推论：
如果a为正定，则A0
定理4:
实二次型f（x）二xTAx正定的充要条件是其矩阵的各阶顺序主子式均为正。
例判定实二次型x22x1x22x1x32xf6x2x3•6x3是否正定。
所以实二次型f是正定的
例当t取何值时二次型xf+2x|+3x2+2tX[X2-2x^3+4x2x3是正定的?
1t-1
解：
因二次型的矩阵为:
A二t22，为使所给二次型正定，A的各阶
||-123
顺序主子式应大于零，从而有:
=1>0，d2=1七=2_t2>0，
1t2
1t-1
d3=t22=-（3t2+4t）>0，
-123
丄2_t2°存4
由得：
一4t:
:
:
0
3
3t24t:
0
所以当-3■■-1:
:
:
o时，所给实二次型是正定的
定理5：
实二次型f（X）二xTAx正定的充要条件是其矩阵的特征根均大于零
例判定实二次型xj-x2
xf
-x1x2■x2x3是否正定。
1
1
2
0
1
解：
因
A…土
1
1
2，
_0
1
2
1
其特征根为：
1=1,2：
=1-
今，'3叮乎均大于零
所以实二次型
f是正定的。
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