三角函数公式大全1.docx

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三角函数公式大全1

三角函数公式

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义城为整个实数城。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

公式分类

锐角三角函数公式

　　sinα=∠α的对边/斜边

　　cosα=∠α的邻边/斜边

　　tanα=∠α的对边/∠α的邻边

　　cotα=∠α的邻边/∠α的对边

倍角公式

　　sin2A=2sinA•cosA

　　cos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1

　　tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）

三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

　　cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

　　tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

　　三倍角公式推导　

　　sin3a

　　=sin（2a+a）

　　=sin2acosa+cos2asina

　　=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²a）sina

　　=3sina-4sin³a

　　cos3a

　　=cos（2a+a）

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=（2cos²a-1）cosa-2（1-cos²a）cosa

　　=4cos³a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin³a

　　=4sina（3/4-sin²a）

　　=4sina[（√3/2）²-sin²a]

　　=4sina（sin²60°-sin²a）

　　=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

　　=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

　　=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

　　cos3a=4cos³a-3cosa

　　=4cosa（cos²a-3/4）

　　=4cosa[cos²a-（√3/2）²]

　　=4cosa（cos²a-cos²30°）

　　=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

　　=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

　　=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

　　=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

　　=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

　　=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

半角公式

　　tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;

　　cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.

　　sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2

　　cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

　　tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））

和差化积

　　sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

　　cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

　　tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

　　tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

积化和差

　　sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2

　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

双曲函数

　　sinh（a）=[e^a-e^（-a）]/2

　　cosh（a）=[e^a+e^（-a）]/2

　　tanh（a）=sinh（a）/cosh（a）

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ＋α）=sinα

　　cos（2kπ＋α）=cosα

　　tan（2kπ＋α）=tanα

　　cot（2kπ＋α）=cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）=-sinα

　　cos（π＋α）=-cosα

　　tan（π＋α）=tanα

　　cot（π＋α）=cotα

　　公式三：

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin（-α）=-sinα

　　cos（-α）=cosα

　　tan（-α）=-tanα

　　cot（-α）=-cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π-α）=sinα

　　cos（π-α）=-cosα

　　tan（π-α）=-tanα

　　cot（π-α）=-cotα

　　公式五：

　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π-α）=-sinα

　　cos（2π-α）=cosα

　　tan（2π-α）=-tanα

　　cot（2π-α）=-cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=-sinα

　　tan（π/2+α）=-cotα

　　cot（π/2+α）=-tanα

　　sin（π/2-α）=cosα

　　cos（π/2-α）=sinα

　　tan（π/2-α）=cotα

　　cot（π/2-α）=tanα

　　sin（3π/2+α）=-cosα

　　cos（3π/2+α）=sinα

　　tan（3π/2+α）=-cotα

　　cot（3π/2+α）=-tanα

　　sin（3π/2-α）=-cosα

　　cos（3π/2-α）=-sinα

　　tan（3π/2-α）=cotα

　　cot（3π/2-α）=tanα

　　（以上k∈Z）

　　A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=

　　√{（A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}•sin{ωt+arcsin[（A•sinθ+B•sinφ）/√{A^2+B^2;+2ABcos（θ-φ）}}

　　√表示根号,包括{……}中的内容

诱导公式

　　sin（-α）=-sinα

　　cos（-α）=cosα

　　tan（-α）=-tanα

　　sin（π/2-α）=cosα

　　cos（π/2-α）=sinα

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=-sinα

　　sin（π-α）=sinα

　　cos（π-α）=-cosα

　　sin（π+α）=-sinα

　　cos（π+α）=-cosα

　　tanA=sinA/cosA

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限

万能公式

其它公式

（1）

（sinα）^2+（cosα）^2=1

（2）1+（tanα）^2=（secα）^2

　　（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2

　　证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）^2,第二个除（cosα）^2即可

　　（4）对于任意非直角三角形,总有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　证:

　　A+B=π-C

　　tan（A+B）=tan（π-C）

　　（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得证

　　同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时,该关系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

　　（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

　　（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

　　（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

　　其他非重点三角函数　

　　csc（a）=1/sin（a）

　　sec（a）=1/cos（a）

[编辑本段]

内容规律

　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.

　　1、三角函数本质：

　　三角函数的本质来源于定义，如右图：

　　根据右图，有

　　sinθ=y/R;cosθ=x/R;tanθ=y/x;cotθ=x/y。

　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导

　　sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB为例：

　　推导：

　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。

角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

　　A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,A'（cos（α-β）,sin（α-β））

　　OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0）

　　∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2

　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）

　　[1]

　　单位圆定义

　　单位圆

　　六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。

它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理，单位圆的等式是：

　　图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。

逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。

这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。

图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。

单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

　　两角和公式

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

　　sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

　　cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

　　cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

　　tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）

　　tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

　　cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）

　　cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

一,诱导公式

口诀:

（分子）奇变偶不变,符号看象限.

1. sin （α+k·360）=sin α

cos （α+k·360）=cos a

tan （α+k·360）=tan α

2. sin（180°+β）=-sinα

cos（180°+β）=-cosa

3. sin（-α）=-sina

cos（-a）=cosα

4*. tan（180°+α）=tanα

tan（-α）=tanα

5. sin（180°-α）=sinα

cos（180°-α）=-cosα

6. sin（360°-α）=-sinα

cos（360°-α）=cosα

7. sin（π/2-α）=cosα

cos（π/2-α）=sinα

8*. Sin（3π/2-α）=-cosα

cos（3π/2-α）=-sinα

9*. Sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+a）=-sinα

10*.sin（3π/2+α）=-cosα

cos（3π/2+α）=sinα

二,两角和与差的三角函数

1. 两点距离公式

2. S（α+β）:

 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

C（α+β）:

 cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

3. S（α-β）:

 sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

C（α-β）:

 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

4. T（α+β）:

T（α-β）:

5*. 

三,二倍角公式

1. S2α:

 sin2α=2sinαcosα

2. C2a:

 cos2α=cos2α-sin2a

3. T2α:

 tan2α=（2tanα）/（1-tan2α）

4. C2a':

 cos2α=1-2sin2α

cos2α=2cos2α-1

四*,其它杂项（全部不可直接用）

1.辅助角公式

asinα+bcosα=sin（a+φ）,其中tanφ=b/a,其终边过点（a, b）

asinα+bcosα=cos（a-φ）,其中tanφ=a/b,其终边过点（b,a）

2.降次,配方公式

降次:

sin2θ=（1-cos2θ）/2

cos2θ=（1+cos2θ）/2

配方

1±sinθ=[sin（θ/2）±cos（θ/2）]2

1+cosθ=2cos2（θ/2）

1-cosθ=2sin2（θ/2）

3. 三倍角公式

sin3θ=3sinθ-4sin3θ

cos3θ=4cos3-3cosθ

4. 万能公式

5. 和差化积公式

sinα+sinβ= 书p45 例5

（2）

sinα-sinβ=

cosα+cosβ=

cosα-cosβ=

6. 积化和差公式

sinαsinβ=1/2[sin（α+β）+sin（α-β）] 书p45 例5

（1）

cosαsinβ=1/2[sin（α+β）-sin（α-β）]

sinαsinβ-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

cosαcosβ=1/2[cos（α+β）+cos（α-β）]

7. 半角公式 书p45 例4

小计:

57个

另：

三角函数口诀

三角知识，自成体系，

记忆口诀，一二三四。

一个定义，三角函数，

两种制度，角度弧度。

三套公式，牢固记忆，

同角诱导，加法定理。

同角公式，八个三组，

平方关系，导数商数。

诱导公式，两类九组，

象限定号，偶同奇余。

两角和差，欲求正弦，

正余余正，符号同前。

两角和差，欲求余弦，

余余正正，符号相反。

两角相等，倍角公式，

逆向反推，半角极限。

加加减减，变量替换，

积化和差，和奇互变。