三年高考文真题分类解析专题13等差与等比数列.docx
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三年高考文真题分类解析专题13等差与等比数列
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
1.等差数列及其性质
①理解等差数列的概念;
②掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;
④了解等差数列与一次函数的关系
理解
选择题
填空题
★★★
2.等差数列
前n项和公式
掌握
选择题
填空题
★★★
分析解读1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求an,Sn为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查数列定义、通项公式、前n项和公式及性质,分值约为5分,属中低档题.
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
1.等比数列及其性质
①理解等比数列的概念;
②掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;
③能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;
④了解等比数列与指数函数的关系
理解
选择题
填空题
解答题
★★★
2.等比数列前
n项和公式
掌握
选择题
填空题
解答题
★★★
分析解读1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.
2018年高考全景展示
1.【2018年文北京卷】】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：
根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：
因为每一个单音与前一个单音频率比为
，所以
，又
，则
，故选D.
点睛：
此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若
（
）或
（
），数列
是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列
中，
且
（
），则数列
是等比数列.
2.【2018年文北京卷】设
是等差数列，且
.
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）求
.
【答案】（I）
（II）
【解析】分析：
（1）设公差为
，根据题意可列关于
的方程组，求解
，代入通项公式可得；
（2）由
（1）可得
，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
点睛：
等差数列的通项公式及前
项和共涉及五个基本量
，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.
3.【2018年全国卷Ⅲ文】等比数列
中，
．
（1）求
的通项公式；
（2）记
为
的前
项和．若
，求
．
【答案】
（1）
或
（2）
【解析】分析：
（1）列出方程，解出q可得；
（2）求出前n项和，解方程可得m。
详解：
（1）设
的公比为
，由题设得
．由已知得
，解得
（舍去），
或
．
故
或
．
（2）若
，则
．由
得
，此方程没有正整数解．
若
，则
．由
得
，解得
．综上，
．
点睛：
本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
4.【2018年新课标I卷文】已知数列
满足
，
，设
．
（1）求
；
（2）判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（3）求
的通项公式．
【答案】
（1）b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.（3）an=n·2n-1．
【解析】分析：
（1）根据题中条件所给的数列
的递推公式
，将其化为an+1=
，分别令n=1和n=2，代入上式求得a2=4和a3=12，再利用
，从而求得b1=1，b2=2，b3=4．
（2）利用条件可以得到
，从而可以得出bn+1=2bn，这样就可以得到数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．（3）借助等比数列的通项公式求得
，从而求得an=n·2n-1．
点睛：
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列
的通项公式，借助于
的通项公式求得数列
的通项公式，从而求得最后的结果.
2017年高考全景展示
1.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4+S6>2S5”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【考点】等差数列、充分必要性
【名师点睛】本题考查等差数列的前
项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知
，结合充分必要性的判断，若
，则
是
的充分条件，若
，则
是
的必要条件，该题“
”
“
”，故为充要条件．
2.【2017江苏，9】等比数列
的各项均为实数,其前
项的和为
已知
则
=▲.
【答案】32
【解析】当
时，显然不符合题意；
当
时，
，解得
，则
.
【考点】等比数列通项
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
3.【2017课标1，文17】记Sn为等比数列
的前n项和，已知S2=2，S3=-6．
（1）求
的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【答案】
（1）
；
（2）
，证明见解析．
【解析】
试题分析：
（1）由等比数列通项公式解得
，
；
（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
【考点】等比数列
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
4.【2017课标II，文17】已知等差数列
的前
项和为
，等比数列
的前
项和为
，
（1）若
，求
的通项公式；
（2）若
，求
.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）当
时，
.当
时，
.
【解析】试题分析：
（1）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，
（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求和.
【考点】等差、等比数列通项与求和
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2文数】等差数列{
}中，
.
（Ⅰ）求{
}的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前10项和，其中
表示不超过
的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）24.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）题目已知数列{
}是等差数列，根据通项公式列出关于
，
的方程，解方程求得
，
，从而求得
；（Ⅱ）根据条件
表示不超过
的最大整数，求
，需要对
分类讨论，再求数列
的前10项和.
考点：
等差数列的性质，数列的求和.
【名师点睛】求解本题会出现以下错误：
①对“
表示不超过
的最大整数”理解出错；
2.【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知
是等差数列，
是等差数列，且
，
，
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n项和.
【答案】
（1）
（
，
，
，）；
（2）
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）求出等比数列
的公比，求出
，
的值，根据等差数列的通项公式求解；
（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前
项和公式求数列
的前
项和.
试题解析：
（I）等比数列
的公比
，
所以
，
．
设等差数列
的公差为
．
因为
，
，
所以
，即
．
所以
（
，
，
，）．
考点：
等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：
函数与方程思想（如：
求最值或基本量）、转化与化归思想（如：
求和或应用）、特殊到一般思想（如：
求通项公式）、分类讨论思想（如：
等比数列求和，
或
）等.
3.【2016高考四川文科】（本小题满分12分）
已知数列{
}的首项为1，
为数列
的前n项和，
，其中q>0，
.
（Ⅰ）若
成等差数列，求
的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线
的离心率为
，且
，求
.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）已知
的递推式
，一般是写出当
时，
，两式相减，利用
，得出数列
的递推式，从而证明
为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到
的表达式，再由
解出
的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
.
所以双曲线
的离心率
.
由
解得
.所以，
，
考点：
数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式
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