分式方程专题.docx
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分式方程专题
分式方程专题一、分式通分六大技巧
例1、逐步通分-J
例3、分组通分:
例5、裂项相消
X-1
x+1X2
+丄
m+1
4
X4+1
例2、整体通分a-3十（丄_a_2）
2a-4a-2
1x3—X2
-——例4、分解简化通分：
——
m-1m+2X-X
丄+:
+:
a-1（a—^a—2）（a-2[a-3）
（a-99la-100）
+^x'
X+1
X+2
X2—4
1
变式训练：
化简二
X
11
++
+3x+2X2+5x+6X2+4x+3
例6、活用乘法公式
（丄1\z2,14,1,.8.1,.16
:
（X中-）（X+p）（X中一）（x+-8）（X
XXXX
+2）（x2T）（xH1）
X
分式方程专题二、解分式方程
例1、去分母法解分式方程6-3=1
（x+1）（xT）xT
变式训练:
1、
X+2
_X+2x2-4_X-2
2-xx+3“X+2
—=1+2
6—XX+212+4x-x
X-5
X-2
+
X-7X-4
X-3X_4
=+
x_5x-6
例2、整体换元与倒数型换元:
x+1丄5xQ
+=6
x+1
2确2
2、6X+12
X-4丄X
2—~2+~2
X+4x+4X-4x+4X-4
变式练习：
（上海）用换元法解分式方程
x—1
3xx—1
-——+1=0时，如果设——=y，将原方程化为关于y的xTX
整式方程，那么这个整式方程是（
+y-3=0B.y2-3y+1=0c.3y2-y+1=0d.3y2-y-1=0
A.y2
分式方程的特殊解法
例1、
交叉相乘法：
例2、化归法：
丄-二^=0
xTX-1
例3、左边通分法：
1
'=8例4、分子对等法
-X
b（a工b）
X
（bH2a）
例5、观察法:
=27例6、分离常数法：
5x-24x4
x+1+x+2x+9
x+2丄x+7=+
x+3x+8
x
变式训练：
（1）
x
x+2
x+2丄x+5=+
x+3
x丄X—9
+=
-2x-7
X+1+x-8
x-1x-6
例7、分组通分法
x+2
+丄
x+5
=丄+丄
X+3x+4
1
变式训练：
（1）——
-——=0
X—2X—8X—4X—6
⑵=
x+1x+5
丄十丄
x+2x+4
例8、裂项相消法：
匕+口二口^+匚6
x+6x+8x+9x+5
1
+…+
变式训练：
解方程一'一+
（2x-12x8
x（x+1）（X+1IX+2）
（二）无理方程拓展训练
例1、（X—3）2+Jx2—6x+16=13例2、
芳〉心+3=0
\2x+1
例3、卜十2
变式训练：
已知x>0且满足
例4、Jx2+丄+2+Jx2+1-2=2x
VXKX
x2+x-5jx（x+1）+28+22=0,求代数式戸倖-茫的值
Jx+1-vxvx+1+Jx
课后练习题
1、解方程:
5
（1）—
X—2
（2）二
xTx
1-3x2
3x—1
⑸一002—-1
0.03X—0.01
0.3
0.6x—0.2
2、
（1）
2-X
X—33-x
=1
（4）
2x+2x+2
X22
3、
（1）
X+1
-32x-6
1-X
4x2—1
2x+1
4x-2
X-3
3x-6
X—2
例1、在解方程
数字为
x-2
2
X-2x
x-2
-1
-1
4x-8
+1
X2—4
X—1
x-2
（5）
2x-4
X2—4
x-8
x-7
7-
=1
x-2
1+x1-X
分式方程专题
-1
（7）
X—1
+x-2
-1=0时，“®”表示一个数，但已模糊不清，已知该方程无解，则“
2-x1
例2、在解分式方程=-2时，小亮的解法如下:
x-33—x
解：
方程两边都乘以X-3,得2-X=-1-2
移项，得—x=-1—2-2
解得：
x=5
（1）你认为小亮在哪一步出现了错误？
错误的原因是什么?
（2）小亮的解题步骤完整吗？
如果不完整，缺少哪一步？
（3）请你解这个方程
分式方程专题三、定义新运算
11
1、对于非零实数a、b，规定a®b=—•若2轻（2x-1）=1，贝Ux的值为
ba
112
2、规定a*b若x*（x+2）=—,则X为
abx
分式方程四、方程中的参数
2x+a
=_1的解是最小的正整数，求a的值
例1、若关于x的方程竺上
x-2
变式练习:
15
2、若x=5是分式方程〜-=0的根，求a的取值范围
X—2x
__3
3、关于x的方程"=的解为x=1,则a=
a—x4
例2、已知关于X的分式方程
X+1
-=+1的解为负数，求k的取值范围
X-1
变式训练:
X—4
1、已知关于X的分式方程——
_m-4=^^无解，求m的值
X—33-x
X_a
2、若分式方程=a无解，求a的值
x+1
4、已知关于X的分式方程
L-2=—有一个正数解，求m的取值范围
X-3
X-3
5、已知关于X的分式方程
x+k
x+1
k
—=1的解为负数，求k的取值范围
X-1
6、若关于X的分式方程
2m+x
—1=2无解，求m的值
X
若关于X的分式方程
X—1
-m一无解，求m的值
X—510—2x
8、若关于X的分式方程
2x+m
=3的解是正数，求m的取值范
X—2
9、若关于x的分式方程
kX+k
+
X+1x-1
=1的解为负数，求k的取值范围
10、若k是正整数，关于
x的分式方程
X+kk
=1的解为非负数，求k的值
x+22-x
11、若关于
x的分式方程
2
总无解，求a的值。
12、若关于
X的分式方程
13、若关于
X的分式方程
X2-5x+6
「1=
X+3
a
在实数范围内无解，则实数a=。
X+3
2
XCm
-2
X—3
无解，则m的值为
例3、当a为何值时，关于X的分式方程
X+1
变式训练:
2xmx
1、已知关于X的分式方程
x+3x+3
的解为负数?
2、当m为何值时，关于X的分式方程
2a-3
的解为0？
a+5
-2。
（1）当m为何值时，方程无解？
（2）当m为何值时，方程
x-2
+mx
X2-4X-2
3
—无解
例4、
若关于X的分式方程1-3=Xa
X—5
无解，求代数式（
5-X
12
）・（a2-1）的值
a—1a+1
例5、
关于x的分式方程匕2_匕6
X—6X—5
k
=~2
x-11x+30
的解不大于13,求k的取值范围
分式方程专题五、与有理数、一次函数等的结合
1、点
2x+2
A、B在数轴上，它们所对应的数分别是-4,冇，且点AB到原点的距离相等，求
x的值。
2、若分式
11
与互为相反数，则x=
X-3x+3
3、已知点
P（1-2a,a-2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程亠一=2
X一a
的解是
=0的根是多少?
X+kX-b
k
4、已知一次函数y=kx+b的图像经过（1,3）和（-2,0）两点，关于X的方程
分式方程专题六、增根问题
例1、若分式方程:
昌+尢+2=。
有增根，求a的值
变式训练:
a_1
已知关于X的方程=1有增根，则a=
x+2
X+kX
关于X的方程2+=2有增根X=—1，则k=
X-11-X
关于X的方程飞「-丄
X-4x+2
=0有根
3
变式练习：
当m为时，分式方程-+
XXTx（xT）
课后练习题:
2、若方程亠=2———有增根X=5，则m=
X—5X—5
3、
5、
6、
X_1X—22x+a
当a为时，解关于X的方程-=-时会出现增根。
X-2X+1X—X—2
3
+——=1的解为正数，则m的取值范围是
1-X
冷也=—会产生增根，则m为
X-4X+2
若关于X的方程二二=叮口产生增根，则m=
X-1X—1
2xX匸=4会产生增根？
Xx+x
关于X的分式方程
X_1
关于X的方程一2—+•
X-2
X+2
k取何值时,
8、
若分式方程:
旦+-1-
X-2X2-4
+2=0有增根，求a的值
若分式方程
1+3=a"X有增根，贝ya的值是多少?
-2
a+x
Xk2
10、若关于X的方程XZT十厂
不会产生增根，求k
的值。
分式方程专题七、与方程、
不等式综合
例1、关于X的分式方程的解也是不等式组
2—XX-4
『1—XC
IAX—2
{2的一个解，求m的取值范围
[2（x-3）3-X1
例2、当X为何值时，分式乂必的值比分式的值大3?
2-xX—2
例3、已知1J=7，求n+m的值
mnm+nmn
2111
例4、已知关于x的方程x+p+2（x+—）=-3，求x+—+1的值。
xxx
分式方程专题八、规律题
12=7，请利用它们所蕴含的规律，求关于x的
x
1、观察分析下列方程：
①x+2=3②X+'=5③x+
x
方程X+匚巴=2n+4（n为正整数
X-3
）的根
1,11
2、=1——，
1X222^3
（1）写出第n个式子;
_1_1
23'3咒4
1
--，根据你所发现的规律，回答下列问题:
4
（2）利用规律计算:
:
+:
x（x+1）（x+1）（x+2）（x+2）（x+3）
（3）利用规律计算:
1+:
+
x（x-1）（x-1）（x-2）（x-2）（x-3）
数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高达低，取决于弦的长度。
绷得一样发出的声音就比较和谐。
例如三根弦的长度之比为15:
12:
10,
的声do，mi，so,研究15,12,10三个数的倒数发
3、数学的美无处不在。
紧的几根弦，如果长度比能够表示成整数的比，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将发出很和谐
1111
现：
-=一，我们称15,12,10一组数为调和数，现有一组调和数：
X、5、3（x>5），则x的值为
12151012
4、先阅读下面材料的材料，然后回答问题:
1
X+-
Xx+Z
X
1
X+
X
方程
方程
方程
1
=2+-的解为
2
1
=3+—的解为
3
1
=4+的解为
4
Xi=2,
Xi=3,
Xi=4,
（1）
X2
X2
观察上述方程的解，猜想关于方程
1
—•
"2；
1
•
"3；
_1
"4；.……
11
+—=5+-的解为；
X5
11
X+-=a+-的解为
Xa
根据上面的规律，猜想关于X的方程
由
（2）可知，在解方程y
4
y+1
二10:
时，可变形转化为
3
=a+丄的形式求值，请写出
a
你的变形求解过程
5、阅读下列材料：
关于X的方程:
1
—的是
c
12
的解是Xj=C,X2=-；X+
cX
（1）请观察上述方程与解的特征
1-1-1
=c--（即卩x+——=c+——）cXc
_33
=c+的解是X1=c,X2=;••…Xcc
=c+—（m^0）与它们的关系，猜想它的解是
c
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，
方程的右边的形式与左边完全相同，
1.
X1=c,X2=—；c
2
；x+c
1
:
X+—=c+
X
2
=c+的解是X1=C,X2=
c
上匕较关于
X的方程X+m
X
什么,并利用“方程的解”的概念进行验证。
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,
数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接求解请用这个结论接关于
1
X--
X
3
X的方程:
可以得出结论：
只是把其中的未知
.2,2
X+=a+
XTa-1
6、解方程X2+12-2（X+1）-1=0时，若设x+1=y，则原方程可化为。
XXX
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