12.C ∵cosB=,∴sinB=.又10sinA-5sinC=2,
∴2sinA-sinC=sinB,由正弦定理,得2a-c=b,
由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,
整理得5a=6c,即=.
13.乙 男子1500米比赛的成绩是时间越短越好的,方差越小发挥水平越稳定,故乙是最佳人选.
14. 设tanα=x,则=6,解得x=.
15.1 因为球O的表面积为13π,所以4π()2=13π,则PA=1.
16.- 易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:
x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|FA|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.
17.解:
(1)因为-=0,
所以an+1=an,2分
又a1=,
所以数列{an}为等比数列,且首项为,公比为.4分
故an=()n.6分
(2)由
(1)知=2n,7分
所以+2n=2n+2n.8分
所以Sn=+=2n+1+n2+n-2.12分
18.解:
(1)由频率分布直方图知,A校的优秀率为0.06×5=0.3,1分
B校的优秀率为0.04×5=0.2.2分
(2)①A校的获奖人数为100×(1-0.04×5)=80,3分
B校的获奖人数为100×(1-0.02×5)=90,4分
所以B校的获奖人数更多.5分
②A校学生获得的奖学金的总额为
0.2×100×0.5+0.5×100×1.5+0.3×100×2.8=169(百元)=16900(元),8分
B校学生获得的奖学金的总额为
0.1×100×0.5+0.7×100×1.5+0.2×100×2.8=166(百元)=16600(元),11分
因为16900>16600,所以A校实力更强.12分
19.
(1)证明:
取BD的中点G,连接EG,MG,
∵M为棱BC的中点,
∴MG∥CD,且MG=CD.1分
又N为棱AE的中点,四边形ACDE为正方形,
∴EN∥CD,且EN=CD.2分
从而EN∥MG,且EN=MG,于是四边形EGMN为平行四边形,3分
则MN∥EG.4分
∵MN⊄平面BDE,EG⊂平面BDE,∴MN∥平面BDE.5分
(2)解:
(法一)过M作MI⊥AC于I,
∵平面ACDE⊥平面ABC,∴MI⊥平面ACDE,6分
过I作IK⊥AF于K,连接MK,则MK⊥AF.7分
∵AB=2,∴MI=2××=,∴MK===,
∴IK=,过C作CH⊥AF于H,易知==,则CH=×=.9分
∵CH==,∴CF=1.10分
(法二)在正△ABC中,∵M为BC的中点,∴AM⊥BC.6分
∵平面ABC⊥平面ACDE,AC⊥CD,
∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AM.7分
∵BC∩CD=C,∴AM⊥平面BCD,∴AM⊥MF.8分
设CF=a,在△AFM中,AM=,FM=,AF=,
则××=××,解得a=1.10分
从而VC-AFM=VF-ACM=×1×××22=.12分
20.
(1)解:
∵e====,2分
又m>1,∴0∴e∈(0,).4分
(2)证明:
∵椭圆的长轴长为2=4,∴m=2,5分
易知A(-2,0),B(2,0),设M(-2,y0),P(x1,y1),
则=(x1,y1),=(-2,y0),6分
直线BM的方程为y=-(x-2),即y=-x+y0,7分
代入椭圆方程x2+2y2=4,
得(1+)x2-x+-4=0,8分
由韦达定理得2x1=,9分
∴x1=,∴y1=,10分
∴·=-2x1+y0y1=-+==4=2m.12分
21.解:
(1)当a=0时,显然不合题意,故a≠0.1分
f'(x)=3ax2-2x,令f'(x)=0,得x=0或x=,2分
由题意可得,1<<3,解得(2)当a=0时,f(x)=-x2在[-1,2]上的最小值为f
(2)=-4.5分
当0∵x∈[-1,2],∴3x-≤0,
故f(x)在[-1,0)上单调递增,在(0,2]上单调递减,∴f(x)min=min{f(-1),f
(2)}.6分
∵f
(2)-f(-1)=(8a-4)-(-a-1)=9a-3≤0,∴f(x)min=f
(2)=8a-4.7分
当a>时,f'(x)=ax(3x-),0<<2,当x∈[-1,0)∪(,2]时,f'(x)>0;
当x∈(0,)时,f'(x)<0.8分
∴f(x)min=min{f(-1),f()}.
∵f()-f(-1)=(-)-(-a-1)=,9分
∵a>,∴27a3+27a2-4>0,>0,10分
∴f(x)min=f(-1)=-a-1.11分
综上,当0≤a≤时,f(x)min=8a-4;当a>时,f(x)min=-a-1.12分
22.解:
(1)由题意可得|a|=1,1分
故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),
消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0,3分
消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.5分
(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,6分
因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,
所以C(1,-2)到l'的距离为2,8分
即=2,解得m=2(m=-<0舍去).10分
23.解:
(1)当a=1时,f(x)=,3分
故不等式f(x)(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|,6分
∴|a-4|≥-1=,7分
当a<0或a≥4时,不等式显然成立;8分
当0故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞).10分