知识点21二次函数在实际生活中应用2.docx
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知识点21二次函数在实际生活中应用2
二、填空题
1.（2018辽宁省沈阳市，15，3分）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝m时，矩形土地ABCD的面积最大.
第15题图
【答案】150
【解析】设AB＝xm，矩形土地ABCD的面积为y
，由题意，得y=x
=
，∵
＜0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值.即AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大.
【知识点】二次函数的应用.
三、解答题
1.（2018甘肃省兰州市,24,7分）7分）某商家销售一款商品,进价每件80元,售价每件145元,每天销售40件,每销售一件需支付给商家管理费5元,未来一个月（按30天计算）,这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动,即从第一天起每天的单价均比前一天降1元,通过市场调查发现,该商品单价每降1元,每天的销售量增加2件,设第x天（1≤x≤30,且x为整数）的销量为y件.
（1）直接写出y与x的函数关系式;
（2）设第x天的利润为w元,试求出w与x之间的函数关系式,并求出哪一天的利润最大?
最大利润是多少元?
【思路分析】
（1）从第一天起单价均比前一天降1元,销售量每天增加2件,故y=40+2（x-1）=2x+38;
（2）利润（w）=销量（y）×单位利润（单位价格-单位成本）.利润=销量×单位利润,将单位利润表示出来,再求二次函数的最大值即可.
【解题过程】
（1）y=38+2x;【解析】:
（2）
=-2（x-21）2+3200
故x=21时,w值最大,为2041元,即第21天时,利润最大,最大利润为3200元.
【知识点】一次函数二次函数最大利润
2.（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，23，10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量
（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量
（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量
（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？
最大利润为多少？
180
【思路分析】
（1）确定一次函数图象上的两个点即可确定解析式；
（2）y2是折线，∴解析式要分开写．（3）利用（售价－成本）×销量＝利润的公式求解．
【解题过程】解：
（1）设该产品的销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1＝kx＋b，将E（0，168），F（180，60）代入，
得解得：
．
∴y1＝－0.6x＋168（0≤x≤180）．2分
（2）生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为：
y2＝
．4分
（3）设产量为xkg时，或得的利润为w元．
①当0≤x≤50时，w1＝（－0.6x＋168－70）x＝－0.6x2＋98x．
∵对称轴为x＝，∴当0≤x≤50时，w1随着x的增大而增大，
∴当x=50时，w1有最大值3400元．6分
②当50＜x＜130时，w2＝（－0.6x＋168＋0.2x－80）x＝－0.4（x－110）2＋4840．
∴当x＝110时，w2有最大值4840元．8分
③当130≤x≤180时，w3＝（－0.6x＋168－54）x＝－0.6x2＋114x．
∵对称轴为x＝95，∴当130≤x≤180时，w3随x的增大而减小．
∴当x＝130时，w3有最大值4680元．
答：
当产量为110kg时，有最大利润为4840元．10分
【知识点】一次函数的实际应用，二次函数的实际应用
3.（2018贵州省毕节市，25，12分）某商店销售一款进价为每件40元的护肤品,调查发现,销售单价不
低于40元且不高于80元时,该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系,当销售单价为44元时,日销售量为72件；当销售单价为48元时,日销售量为64件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元）,当销售单价x为多少时,日销售利润w最大,最大日销售利润是多少?
【思路分析】
（1）用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）由公式“利润＝销售量×单件利润”得出w与x之间的二次函数关系式，再将其化为顶点式即可求出商场获得的最大利润．
【解题过程】解：
由题意可设y与x之间的函数关系式为
，∵当销售单价为44元时,日销售量为72件；当销售单价为48元时,日销售量为64件，∴
，解得
，故y与x之间的函数关系式为
；
（2）
＝
＝
（40≤x≤80），∴当x＝60时，w有最大值，且w的最大值为13600元．
【知识点】一次函数关系式；二次函数关系式；顶点式；最值
4.（2018年黔三州，24,14）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）.
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少？
（收益=售价-成本）
（2）那个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？
简单说明理由.
（3）已知市场部销售该种蔬菜4,5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份
的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
（1）【思路分析】观察图1与图2中信息，结合收益=售价-成本即可得到结果.
【解题过程】由图可知，6月份蔬菜每千克的售价是3元，每千克的成本是1元.所以每千克的收益是3-1=2元；
【知识点】函数图象，数形结合思想
（2）【思路分析】先根据图1信息求出销售单价y1与销售月份x之间的函数关系式，根据图2所示，成本y2与销售月份x之间的函数关系式，再由“收益=售价-成本”，得到关于收益与成本直径二次函数关系式，最后根据二次函数性质求最大值.
【解题过程】设y1=kx+b.∵图象过（3,5），（6,3），
∴解得
∴y1=x+7.
由题意，抛物线的顶点为（6,1），
∴设y2=a（x-6）2+1，解得，a=.
∴y2=（x-6）2+1.
设当月收益为w，则w=y1-y2=（x+7）-[（x-6）2+1]=（x-5）2+.
∴当x=5时，y最大值=.即5月份出售这种蔬菜，收益最大.
【知识点】待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数最大值计算
（3）【思路分析】将x=4、5分别代入求总收益w=（x-5）2+.然后设4月份销售了m万千克，根据题意列方程求解.
【解题过程】当x=4时，w=（4-5）2+=2，
当x=5时，w=（5-5）2+=,
设4月份销售了m万千克，则5月份销售了（m-2）万千克.
由题意，列方程2m+（m+2）=22,解得m=4，所以m+2=6.
答：
4、5两个月的销售量分别是4万千克、6万千克.
【知识点】构建一元一次方程解题
5.（2018江苏扬州，26，10）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量
（件）与销售单价
（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【思路分析】
（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将
（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【解题过程】解：
（1）由题意得：
，解得：
．
∴
，即：
与
之间的函数关系式为
．
（2）设利润为
元，由题意，则w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），
w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
答：
当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10（x﹣50）2=﹣250，x﹣50=±5，x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
答：
单价的范围是45元到55元．
【知识点】二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用
6.（2018辽宁葫芦岛，24，12分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售．每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价x（元）
3.5
5.5
销售量y（袋）
280
120
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获利160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？
最大利润是多少元？
【思路分析】
（1）根据题意用待定系数法可求得y与x之间的函数关系式；
（2）每天的利润＝每袋的利润×每天的销售量－80，据此等量关系列、解方程可得；
（3）根据题中的等量关系列式，化为顶点式可解决问题．
【解答过程】
（1）y＝－80x＋560．
（2）根据题意，得160＝（x－3）（－80x＋560）－80，解得x1＝4，x2＝6．
∵3.5≤x≤5.5，∴x＝4（元）．
答：
如果每天获利160元的利润，销售单价为4元．
（3）根据题意，得w＝（x－3）（－80x＋560）－80＝－80（x－5）2＋240．
答：
设每天的利润为w元，当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
7.（2018四川巴中，24，14分）某种意菜的留售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间关系如图2所示（图1图象是线段，图2的图象是抛物线）.
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克
的收益是多少元？
（收益－售价＝成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大?
简单说明理由.
（3）己知市场部销售该种藏菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
【思路分析】
（1）找出当x＝6时，y1、y2的值，二者作差即可得出结论；
（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式，二者做差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）求出当x＝4时，y1﹣y2的值，设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t＋2）万千克，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答过程】
（1）当x＝6时，y1＝3，y2＝1，∵y1﹣y2＝3﹣1＝2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．
（2）设y1＝mx＋n，y2＝a（x﹣6）2＋1．将（3，5）、（6，3）代入y1＝mx＋n，
，解得：
，
∴y1＝﹣
x＋7；
将（3，4）代入y2＝a（x﹣6）2＋1，4＝a（3﹣6）2＋1，解得：
a＝
，∴y2＝
（x﹣6）2＋1＝
x2﹣4x＋13．
∴y1﹣y2＝﹣
x＋7﹣（
x2﹣4x＋13）＝﹣
x2＋
x﹣6＝﹣
（x﹣5）2＋
．∵﹣
＜0，∴当x＝5时，y1﹣y2取最大值，最大值为
，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．
（3）当t＝4时，y1﹣y2＝﹣
x2＋
x﹣6＝2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t＋2）万千克，根据题意得：
2t＋
（t＋2）＝22，解得：
t＝4，∴t＋2＝6．
答：
4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．
8.（2018贵州贵阳，22，10分）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：
㎝）与滑行时间x（单位：
s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示.
滑行时间x/s
0
1
2
3
…
滑行距离y/cm
0
4
12
24
…
（1）根据表中数据求出二次函数的表达式，现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？
（2）将得到的二次函数图象补充完整后（这里应当有图？
），向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式.
【思路分析】
（1）用用待定系数法，将表中x，y对应数据代入y＝ax2+bx+c，构建方程组即可求解，然后将y＝800代入所求表达式，进一步求出x值（解一元二次方程）；
（2）将
（1）中表达式转化成形如y＝a（x-h）2+k形式，再结合图象平移特点求新表达式.
【解析】
（1）设这个二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，由于（1，4）（2，12），（3，24）在该抛物线上，于是
解此方程组，得所以该抛物线表达式为y＝2x2+2x.
当y＝800m＝80000cm时，得80000＝2x2+2x，解此方程，得x1＝，x2＝（舍去，不符合题意）.
∴滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要200s才能到达终点;
（2）∵y＝2x2+2x＝2（x-）2-，
∴当抛物线y＝2（x-）2-向左平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线
y＝2（x-）2-+5＝y＝2（x-）2-+5＝2（x+）2+.
9.（2018湖北十堰，22，8分）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房，根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？
最大利润是多少？
【思路分析】
（1）根据图象确定函数图象上的两点的坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据“总利润＝每间游客居住房的利润×游客居住的房间数”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答过程】
（1）依题意，函数图象上的两点的坐标分别为（70，75），（80，70）
设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
则：
，解得：
即y与x的函数关系式为：
y＝－x＋110
（2）设利润为W，
则由题意知：
W＝（x－20）y＝（x－20）（－x＋110）＝－（x－120）2＋5000
当x＝120时，W最大＝5000
即当房价为120元时，合作社每天获利最大，最大值为5000元．
10.（2018辽宁省抚顺市，题号24，分值12）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为y本，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？
最大利润是多少元？
【思路分析】
（1）由题意可知，每天的销售量=300-高出44元时少卖出的本数，即可写出函数关系式；由销售单价不低于44元，且获利不高于30%求出自变量的取值范围；
（2）可根据每天的获利=（销售单价-成本价）×每天的销售量，列出关系式，将获利2400代入关系式即可求出销售单价；
（3）根据
（2）列出的函数关系式，进行配方，得出要求的结论.
【解题过程】解：
（1）y=-10x+740（44≤x≤52）.
理由：
由题意可知，每天的销售量=300-高出44元时少卖出的本数，
∴y=300-（x-44）×10，整理，得y=-10x+740.
∵销售单价不低于44元，∴x≥44.
∵获利不高于30%，∴（x-40）÷40≤30%，解得x≤52.
∴自变量x的取值范围是44≤x≤52.
（2）可根据每天的获利=（销售单价-成本价）×每天的销售量，得
W=（x-40）y=（x-40）（-10x+740）.
当w=2400时，解2400=（x-40）（-10x+740），
解得x=50或x=64（舍）.
答：
当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元.
（3）由
（2）可知，W=（x-40）（-10x+740）=-10（x-57）²+2890，
∵-10＜0，∴x≤57时，函数是增函数.∵x≤52，∴当x=52时，获得的利润最大.
将x=52代入W=-10（x-57）²+2890=-10×25+2890=2640（元）
答：
足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大.最大利润是2640元.
【知识点】一次函数的应用，二次函数的应用，求最大利润问题.
11.（2018四川眉山，24，9分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？
最大利润是多少元？
（利润＝出厂价－成本）
【思路分析】
（1）观察，分析题意可以发现，前六天中第6天生产粽子数量最多共34×6＝204只，所以只能讲280代入第二个解析式即可．
（2）依据函数图象分别求出p与x的函数关系式，根据公式w＝（4－p）y，将p、y代入函数解析式，得w与x的二次函数关系，最后依据二次函数的性质求出最大值．
【解答过程】
（1）∵6×34＝204，∴前六天中第6天生产的粽子最多达到204只，将280代入20x＋80得：
20x＋80＝280，∴x＝10答：
第10天生产的粽子数量为280只．
（2）当0≤x＜10时，p＝2，当10≤x≤20时，设p＝kx＋b，将（10，2）和（20，3）代入得：
解得：
，∴p＝
x＋1；
当0≤x≤6时，w＝（4－2）×34x＝68x，w随x的增大而增大，∴当x＝6时最大值为408元；
当6＜x≤10时，w＝（4－2）×（20x＋80）＝40x＋160，w随x的增大而增大，∴当x＝10时最大值为560元；
当10＜x≤20时，w＝（4－
x－1）（20x＋80）＝－2x2＋52x＋240，对称轴为：
直线x＝13，在10＜x≤20内，将x＝13代入得w＝578元．
综上所述，w与x的函数表达式为
第13天的时候利润最大，最大利润为578元．
12.（2018年浙江省义乌市，20，8）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；
（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．
【思路分析】
（1）根据图2判断出绘制直线，根据两点间的距离公式可得答案；
（2）根据图2判断出绘制抛物线，利用待定系数法求解可得．
【解题过程】解：
（1）∵P1（4，0），P2（0，0），4﹣0=4＞0，∴绘制线段P1P2，P1P2=4；
（2）∵P1（0，0），0﹣0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x﹣4），
把（6，6）代入得：
6=12a，
解得：
a=
，
∴y=
x（x﹣4）=
x2﹣2x．
【知识点】二次函数的应用
13.（2018辽宁锦州，23，10分）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，，某部分数据如下表所示：
每个商品的售价x（元）
……
30
40
50
……
每天的销售量y（个）
……
100
80
60
……
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
【思路分析】
（1）每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，用待定系数法求解。
（2）根据利润的表达式利润＝售价-进价求解。
（3）根据
（2）的表达式是二次函数数，利用二次函数的最值求解.
【解答过程】
（1）设y=kx+b,由表中数据可得
解得
∴y=-2x+160（20≤x≤60）
（2）w=（x-20）（-2x+160）=-2x2+100x-3200
（3）w==-2x2+100x-3200=-2（x-50）2+1800
∴当x=50,w最大＝1800元.
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