点评：
在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766~1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数／万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）,用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：
（1）设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.
由55196（1+r1）=56300，
可得1951年的人口增长率为r1≈0.0200.
同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r=（r1+r2+…+r9）÷9≈0.0221.
令y0=55196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t,t∈N.
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象（图3-2-2-4）.
图3-2-2-4
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t,
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
变式训练
一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.
（1）求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
（2）由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）.（精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771）
解：
（1）最初的质量为500g.
经过1年后,ω=500（1－10%）=500×0.91;
经过2年后,ω=500×0.9（1－10%）=500×0.92;
由此推知,t年后,ω=500×0.9t.
（2）解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,
所以t==≈6.6（年）,
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
知能训练
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.
（1）求1997年每台A型电脑的生产成本;
（2）以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.（精确到0.01,以下数据可供参考:
=2.236,=2.449）
活动：
学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.
出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.
解：
（1）设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得
x（1+50%）=5000×（1+20%）×80%,解得x=3200（元）.
（2）设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000（1－y）4=3200,
解得y1=1－,y2=1+（舍去）.
所以y=1－≈0.11=11%,
即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.
点评：
函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系.
拓展提升
某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调
彩电
冰箱
每台所需工时
每台产值（千元）
4
3
2
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？
最高产值是多少?
（以千元为单位）
解：
设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，
则f=4x+3y+2z，
其中
由①②可得y=360-3x,z=2x,
代入③得
则有30≤x≤120.
故f=4x+3（360-3x）+2·2x=1080-x,
当x=30时，fmax=1080-30=1050.
此时y=360-3x=270,z=2x=60.
答:
每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1050千元.
点评：
函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.
课堂小结
本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.
活动：
学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：
从基本知识和基本技能两方面来总结.
作业
课本P107习题3.2A组5、6.
设计感想
本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型.接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活,学生非常感兴趣的问题,很容易引起学生的共鸣.
（设计者：
林大华）
2019-2020年高中数学（2.2函数模型的应用举例第2课时）示范教案新人教A版必修1
导入新课
思路1.（事例导入）
一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v0,加速度为a,那么经过t小时它的速度为多少？
在这t小时中经过的位移是多少？
试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？
v=v0+at,s=v0t+at2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型.
不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例.
思路2.（直接导入）
前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.
推进新课
新知探究
提出问题
①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：
进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长.已知xx年为第一年，头4年年产量f（x）（万件）如下表所示：
x
1
2
3
4
f（x）
4.00
5.58
7.00
8.44
1°画出xx～xx年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之.
2°xx年（即x＝7）因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定xx年的年产量应该约为多少？
②什么是函数拟合？
③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程.
讨论结果：
①1°如图3-2-2-5，
设f（x）＝ax＋b,代入（1，4）、（3，7）,得解得a=，b=.
∴f（x）=x+.
检验：
f
（2）＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1；
f（4）＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1.
∴模型f（x）=x+能基本反映产量变化.
2°f（7）＝13，13×70%＝9.1，xx年年产量应约为9.1万件.
图3-2-2-5
②函数拟合：
根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程.
③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：
图3-2-2-6
应用示例
思路1
例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
解：
根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为
480－40（x－1）=520－40x（桶）.
由于x＞0,且520－40x＞0,即0＜x＜13,
于是可得
y=（520－40x）x－200=－40x2+520x－200,0＜x＜13.
易知,当x=6.5时,y有最大值.
所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.
变式训练
某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？
最大生产总量是多少？
解：
（1）设在原来基础上增加x台，则每台生产数量为384-4x件，机器台数为80+x，
由题意有y=（80+x）（384-4x）.
（2）整理得y=-4x2+64x+30720，
由y=-4x2+64x+30720,得y=-4（x-8）2+30976，
所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30976件.
点评：
二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.
例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:
身高∕cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重∕kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？
试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
活动：
学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系.
解：
（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图3-2-2-7）.根据点的分布特征，可以考虑用y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型.
如果取其中的两组数据（70，7.90）,（160,47.25）,代入y=a·bx,得
用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：
y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3-2-2-8），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2,
所以这个男生偏胖.
图3-2-2-7图3-2-2-8
变式训练
九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：
使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·bx+c（其中a、b、c为常数），且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
解：
（1）若以f（x）=px2+qx+r作模拟函数，
则依题意得
解得
所以f（x）=x2+x.
（2）若以g（x）=a·bx+c作模拟函数，则
解得
所以g（x）=·（）x-3.
（3）利用f（x）、g（x）对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：
f（5）=15可比单位，g（5）=17.25可比单位，
∵|f（5）－16|<|g（5）－16|,
故选f（x）=x2+x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.
思路2
例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t吨,其中0≤t≤24.
（1）从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?
最少水量是多少吨?
（2）若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:
在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?
活动：
学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.
思路分析：
首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题.
解：
设供水t小时，水池中存水y吨，则
（1）y=400+60t-120=60（）2+40（1≤t≤24）,
当t=6时，ymin=40（吨）,
故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨.
（2）依条件知60（）2+40<80,1≤t≤24,
解得故一天24小时内有8小时出现供水紧张.
例2xx泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0（1）写出y与x的关系式；
（2）为使日利润有所增加，求x的取值范围.
解：
（1）由题意得
y=［60×（1+0.5x）-40×（1+x）］×1000×（1+0.8x）
=2000（-4x2+3x+10）（0（2）要保证日利润有所增加，当且仅当
即解得0所以为保证日利润有所增加，x应满足0点评：
函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体.
知能训练
xx广东韶关统考，文18某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.
解：
（1）设该厂应隔x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1，
∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元）.
∴x天饲料的保管与其他费用共有
6（x-1）+6（x-2）+…+6=3x2-3x（元）.
从而有y1=（3x2-3x+300）+200×1.8
=+3x+357,
可以证明y1=+3x+357,在（0，10）上为减函数，在（10，+∞）上为增函数.
∴当x=10时，y1有最小值417,
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则
y2=（3x2-3x+300）+200×1.8×0.85=+3x+303（x≥25）.
∵函数y2在［25,+∞）上是增函数,
∴当x=25时，y2取得最小值为390.而390<417,
∴该厂应接受此优惠条件.
拓展提升
如何用函数模型解决物理问题？
例：
在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,…,an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：
与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,a3,…,an推出的a=________.
活动：
学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题.
解：
由题意可知，所求a应使y=（a-a1）2+…+（a-an）2最小,
由于y=na2-2（a1+a2+…+an）2a+（a12+a22+…+an2）.
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.
因为n>0，二次函数f（a）图象开口方向向上,
当a=（a1+a2+…+an）时，y有最小值,
所以a=（a1+a2+…+an）即为所求.
点评：
此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=（a-a1）2+（a-a2）2+…+（a-an）2,然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函
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