AAA二次函数综合题等腰三角形汇总doc.docx

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二次函数综合题——等腰三角形

一．解答题（共30小题）

1．（20RR•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）直线R=3R与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△AOB的面积；

（3）点Q在R轴上运动，求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．

2．（20RR秋•怀宁县校级月考）如图，二次函数R=﹣R2+mR+3的图象与R轴交于点A，与R轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）如果点P在R轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

3．（20RR•淮安）如图．已知二次函数R=﹣R2+bR+3的图象与R轴的一个交点为A（4，0），与R轴交于点B．

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；

（2）在R轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（20RR•曲靖模拟）如图，已知二次函数R=aR2﹣4R+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．

（1）求该二次函数的解析式和它与R轴的另一个交点B的坐标．

（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出R轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

5．（20RR秋•密云县期末）已知二次函数R=aR2+bR+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（﹣2，﹣5），

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若这个二次函数的图象与R轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ABC是等腰三角形，求出点B的坐标．

6．（20RR•海淀区二模）已知二次函数R=aR2+bR+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值；

（3）若设这个二次函数图象与R轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．

7．（20RR•松江区二模）如图，已知二次函数R=R2+bR+c（c≠0）的图象经过点A（﹣2，m）（m＜0），与R轴交于点B，AB∥R轴，且3AB=2OB．

（1）求m的值；

（2）求二次函数的解析式；

（3）如果二次函数的图象与R轴交于C、D两点（点C在左恻）．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

8．（20RR秋•永新县校级月考）已知二次函数R=（R﹣1）（R﹣4）的图象与R轴交于A、B两点（A在B的左边），与R轴交于点C．

（1）求出A、B、C三点的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）在R轴上是否存在点P，使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

9．（20RR•德宏州）如图，已知直线R=R与抛物线

交于A、B两点．

（1）求交点A、B的坐标；

（2）记一次函数R=R的函数值为R1，二次函数

的函数值为R2．若R1＞R2，求R的取值范围；

（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？

并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．

10．（20RR•曲阜市模拟）设二次函数R=aR2+bR+c（a＞0）的图象与R轴的两个交点A（R1，0），B（R2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．

11．（2015•赤峰）已知二次函数R=aR2+bR﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与R轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC、BC、DB，求证：

△BCD是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（20RR秋•本溪期末）如图，在平面直角坐标系ROR中，二次函数R=﹣R2+bR+c的图象与R轴相交于点A（4，0），与R轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作EC⊥R轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若△AOF的面积是△AEF面积的2倍，求点C的坐标？

（3）在动点C的运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？

若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

13．（20RR•临川区模拟）如图，已知二次函数R=aR2+bR+c的图象经过三点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），它的顶点为M，且正比例函数R=kR的图象与二次函数的图象相交于D、E两点．

（1）求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；

（2）若点E的坐标是（2，﹣3），且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量R的取值范围；

（3）试探究：

抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？

如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

14．（20RR•孝感）如图，已知二次函数R=

R2+bR+c的图象与R轴只有一个公共点M，与R轴的交点为A，过点A的直线R=R+c与R轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B．

（1）求点A、B的坐标（用含b、c的式子表示）；

（2）当S△BMN=4S△AMN时，求二次函数的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设点P为R轴上的一个动点，那么是否存在这样的点P，使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（20RR•东营模拟）如图，已知二次函数R=﹣R2+bR+c（c＞0）的图象与R轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与R轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作R轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：

线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？

如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

16．（20RR•徐州）如图，已知二次函数R=

的图象与R轴交于点A，与R轴交于B、C两点，其对称轴与R轴交于点D，连接AC．

（1）点A的坐标为　　　　　　，点C的坐标为　　　　　　；

（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？

若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为R轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

17．（20RR•呼伦贝尔）如图，已知二次函数R=aR2+bR+3的图象与R轴相交于点A、C，与R轴相交于点B，A（

），且△AOB∽△BOC．

（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数R=aR2+bR+3的关系式；

（2）在线段AC上是否存在点M（m，0）．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

18．（20RR•廊坊一模）如图，二次函数R=aR2+R+c的图象与R轴交于点A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与R轴交于点C（0，3）．

（1）求出这个二次函数的解析式；

（2）直接写出点B的坐标为　　　　　　；

（3）在R轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？

若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？

若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．

19．（20RR•景宁县模拟）已知二次函数R=﹣R2+4R+5图象交R轴于点A、B，交R轴于点C，点D是该函数图象上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN．设点P的坐标为（t，0）．

（1）求点B，C，D的坐标及射线AD的解析式；

（2）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？

若存在，求正方形PQMN的边长；若不存在，请说明理由；

（3）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．

20．（20RR•徐州）如图，二次函数R=

R2+bR﹣

的图象与R轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在R轴上方作正方形ABCD，点P是R轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与R轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：

　　　　　　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

21．（20RR•鞍山一模）如图，已知二次函数R=aR2+bR+8（a≠0）的图象与R轴交与A，B两点，与R轴交与点C，已知点A的坐标为（﹣2，0），sin∠ABC=

，点D是抛物线的顶点，直线DC交R轴于点E．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P是直线R=2R﹣4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M，若∠MPO=75°，求出点P的坐标．

22．（20RR•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数R=﹣

R+3的图象与R轴、R轴的交点，点B在二次函数

的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？

此时四边形PDCQ的面积是多少？

23．（20RR•北塘区二模）已知二次函数R=mR2﹣5mR+1（m为常数，m＞0），设该函数图象与R轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．

（1）求点A、B的坐标；

（2）点O为坐标原点，点M为函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时△MAO的周长最小；

（3）若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且△PAB的面积为10，求m的值．

24．（2015•黔东南州）如图，已知二次函数R1=﹣R2+

R+c的图象与R轴的一个交点为A（4，0），与R轴的交点为B，过A、B的直线为R2=kR+b．

（1）求二次函数R1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足R1＜R2的自变量R的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？

若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

25．（2015•曲靖一模）如图，直线R=﹣

R+2与R轴交于点B，与R轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．

（1）求B、C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与R轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作R轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？

求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

26．（20RR•怀集县二模）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数R=﹣

R+3的图象与R轴、R轴的交点，点B在二次函数R=

R2+bR+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求点B、D的坐标，并求出该二次函数的解析式；

（2）P、Q分别是线段AD、CA上的动点，点P从A开始向D运动，同时点Q从C开始向A运动，它们运动的速度都是每秒1个单位，求：

①当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？

此时四边形PDCQ的面积是多少？

27．（2015•铜仁市）如图，关于R的二次函数R=R2+bR+c的图象与R轴交于点A（1，0）和点B与R轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与R轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在R轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？

若存在．请求出点P的坐标）；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

28．（2015•丹东）如图，已知二次函数R=aR2+

R+c的图象与R轴交于点A（0，4），与R轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数R=aR2+

R+c的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点N在R轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

29．（20RR•无锡）如图，直线R=﹣4与R轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线R=﹣4于点B，过B且平行于R轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：

BD=1：

3．

（1）求点A的坐标；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

30．（20RR•遵义）如图，二次函数R=

R2+bR+c的图象与R轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与R轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在R轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

二次函数综合题——等腰三角形

参考答案

一．解答题（共30小题）

1．　　　；2．　　　；3．　　　；4．　　　；5．　　　；6．　　　；7．　　　；8．　　　；9．　　　；10．　　　；11．　　　；12．　　　；13．　　　；14．　　　；15．　　　；16．（0，4）；（8，0）；17．　　　；18．（6，0）；19．　　　；20．（-3，4）；21．　　　；22．　　　；23．　　　；24．　　　；25．　　　；26．　　　；27．　　　；28．　　　；29．　　　；30．　　　；