高考数学理一轮讲义第25讲 平面向量基本定理及坐标运算.docx

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高考数学理一轮讲义第25讲平面向量基本定理及坐标运算

第25讲　平面向量基本定理及坐标运算

考纲要求

考情分析

命题趋势

1．了解平面向量的基本定理及其意义．

2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

2017·全国卷Ⅱ，12

2017·全国卷Ⅲ，12

2017·江苏卷，12

2016·四川卷，10

　　对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用．

分值：

5分

1．两个向量的夹角

（1）定义

已知两个__非零__向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

（2）范围

向量夹角θ的范围是！

！

！

　[0，π]　###，a与b同向时，夹角θ＝！

！

！

　0°　###；a与b反向时，夹角θ＝！

！

！

　180°　###.

（3）向量垂直

若向量a与b的夹角是！

！

！

　90°　###，则a与b垂直，记作！

！

！

　a⊥b　###.

2．平面向量基本定理及坐标表示

（1）平面向量基本定理

定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a＝！

！

！

　λ1e1＋λ2e2　###.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__基底__.

（2）平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量正交分解．

（3）平面向量的坐标表示

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，把有序数对__（x，y）__叫做向量a的坐标，记作a＝__（x，y）__，其中__x__叫做a在x轴上的坐标，__y__叫做a在y轴上的坐标．

②设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是__终点A的坐标__，即若＝（x，y），则A点坐标为__（x，y）__，反之亦成立（O为坐标原点）．

3．平面向量的坐标运算

向量的加法、减法

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

则a＋b＝__（x1＋x2，y1＋y2）__，

a－b＝__（x1－x2，y1－y2）__

向量的数乘

设a＝（x，y），λ∈R，则λa＝__（λx，λy）__

向量坐标的求法

设O（0,0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则①＝__（x1，y1）__，

②＝__（x2－x1，y2－y1）__

4．向量共线的坐标表示

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔__x1y2－x2y1__＝0，特别地，若x2，y2≠0，则a∥b⇔＝.

5．三点共线定理

若，是平面内不共线的向量，则存在实数λ1，λ2使＝λ1＋λ2，则当λ1＋λ2＝1时，A，B，C三点共线，特别地，当λ1＝λ2＝时，C是A与B的中点．

解析　

（1）正确．由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移，其坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变．

（2）正确．由基底的定义可知，只要两向量不共线均可作为一组基底．

（3）错误．两向量的夹角，关键要看起点与方向，与的夹角应为∠ABC的补角．

（4）正确．由平面向量基本定理可知存在唯一实数对λ，μ使a＝λe1＋μe2故其表现形式唯一．

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．（　√　）

（2）平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底．（　√　）

（3）向量与的夹角为∠ABC.（　×　）

（4）在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的．（　√　）

2．若向量＝（1,2），＝（3,4），则＝（　A　）

A．（4,6）　　　B．（－4，－6）　　　

C．（－2，－2）　　　D．（2,2）

解析　∵＝＋，∴＝（1,2）＋（3,4）＝（4,6）．

3．已知向量a＝（2,1），b＝（x，－2），若a∥b，则a＋b＝（　A　）

A．（－2，－1）　　　B．（2,1）　　　

C．（3，－1）　　　D．（－3,1）

解析　由a∥b可得2×（－2）－1×x＝0，故x＝－4，

所以a＋b＝（－2，－1）．

4．已知两点A（4,1），B（7，－3），则与同向的单位向量是（　A　）

A．　　　B．

C．　　　D．

解析　∵A（4,1），B（7，－3），∴＝（3，－4），

∴与同向的单位向量为＝.

5．梯形ABCD中，AB∥CD,AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设＝a，＝b.若＝ma＋nb，则＝__－4__.

解析　∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，

∴m＝，n＝－1，∴＝－4.

一　平面向量基本定理的应用

（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

【例1】

（1）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝！

！

！

　　###.

第

（1）题图

第

（2）题图

（2）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则mn的最大值为__1__.

解析　

（1）选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，

又＝λ＋μ＝＋，

于是得即故λ＋μ＝.

（2）∵点O是BC的中点，∴＝（＋）．又∵＝m，＝n，∴＝＋.又∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，即m＋n＝2，∴mn≤2＝1，

当且仅当m＝n＝1时取等号，故mn的最大值为1．

二　平面向量共线的坐标表示

（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

【例2】

（1）已知点A（0,1），B（3,2），向量＝（－4，－3），则向量＝（　A　）

A．（－7，－4）　　　B．（7,4）

C．（－1,4）　　　D．（1,4）

（2）若向量a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（－1,2），则c＝（　B　）

A．－a＋b　　　B．a－b

C．a－b　　　D．－a＋b

解析　

（1）设C（x，y），则＝（x，y－1）＝（－4，－3），所以从而＝（－4，－2）－（3,2）＝（－7，－4）．

（2）设c＝λ1a＋λ2b，则（－1,2）＝λ1（1,1）＋λ2（1，－1）＝（λ1＋λ2，λ1－λ2），∴解得所以c＝a－b.

三　平面向量的坐标运算

向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

【例3】

（1）如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为__6__.　

第

（1）题图

第

（2）题图

（2）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为__2__.

解析　

（1）如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.

在Rt△OCB1中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，

所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，而|OA1|＝|B1C|＝4，

所以＝4＋2，则λ＝4，μ＝2，即λ＋μ＝6.

（2）以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（1,0），B，

设∠AOC＝α，

则C（cosα，sinα），由＝x＋y，

得

所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.

1．已知向量a＝（3，－2），b＝（x，y－1）且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是（　B　）

A．24　　　B．8　　　　

C．　　　D．

解析　∵a∥b，∴－2x－3（y－1）＝0，即2x＋3y＝3，

∴＋＝×（2x＋3y）＝≥＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立．

∴＋的最小值是8，故选B．

2．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝（　C　）

A．－　　　B．－

C．－＋　　　D．－＋

解析　＝＋＝＋

＝－＋

＝－＋

＝－＋＋＋（＋＋）

＝－＋.

3．（2018·北京海淀模拟）已知向量a＝（1,1），点A（3,0），点B为直线y＝2x上的一个动点．若∥a，则点B的坐标为（－3，－6）．

解析　设B（x,2x），则＝（x－3,2x）．

∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B（－3，－6）．

4．（2017·江苏卷）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n（m，n∈R），则m＋n＝__3__.　

解析　以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（1,0），由tanα＝7，α∈，

得sinα＝，cosα＝，

设C（xC，yC）．B（xB，yB），则xC＝||cosα＝×＝，

yC＝||sinα＝×＝，即C.

又cos（α＋45°）＝×－×＝－，

sin（α＋45°）＝×＋×＝，

则xB＝||cos（α＋45°）＝－，yB＝||sin（α＋45°）＝，

即B，由＝m＋n，

可得解得所以m＋n＝＋＝3.

易错点　不会正确选用基向量

错因分析：

基向量通常取整个图形中从同一点出发的两边所对应的向量．

【例1】在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于M，设＝a，＝b，试用a与b表示.

解析　如图，A，M，D三点共线⇔＝α＋（1－α）＝α＋；

B，M，C三点共线⇔＝β＋（1－β）＝β＋.

于是有解得所以＝a＋b.

【跟踪训练1】（2017·全国卷Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（＋）的最小值是（　B　）

A．－2　　　B．－　　　　

C．－　　　D．－1

解析　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1,0），C（1,0），设P（x，y），则＝（－x，－y），＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），所以·（＋）＝（－x，－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·（＋）取得最小值为－，故选B．

课时达标　第25讲

[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．

一、选择题

1．若向量＝（2,4），＝（1,3），则＝（　B　）

A．（1,1）　　　B．（－1，－1）

C．（3,7）　　　D．（－3，－7）

解析　因为＝（2,4），＝（1,3），所以＝－＝（1,3）－（2,4）＝（－1，－1），故选B．

2．已知向量m＝（a，－2），n＝（1,1－a），且m∥n，则实数a＝（　B　）

A．－1　　　B．2或－