届高考数学二轮立体几何专题卷全国通用.docx

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届高考数学二轮立体几何专题卷全国通用

专题限时集训（九）　立体几何

（对应学生用书第99页）

（限时：

120分钟）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．）

1．（广西柳州2017届高三上学期10月模拟）已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2,3,4，则该长方体的外接球的表面积等于________．

29π　[长方体的外接球的直径等于＝，所以外接球的表面积等于4πR2＝（）2π＝29π.]

2．（江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下学期期中）已知一个圆锥的底面面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________．

π　[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

则解得r＝，l＝2，

所以高h＝＝，

所以V＝πr2h＝π×2×＝π.]

3．（2017·江苏省盐城市高考数学二模）α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________（填上所有正确命题的序号）．

①若α∥β，m⊂α，则m∥β；

②若m∥α，n⊂α，则m∥n；

③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；

④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.

①④　[由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：

在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．]

4．（2017·江苏省淮安市高考数学二模）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是________cm.

【导学号：

56394064】

　[设该铁球的半径为r，

∵底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，

∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h＝＝4，

锥体体积V＝×π×32×4＝12π，

圆球体积＝锥体体积V＝πr3＝12π，

解得r＝.]

5．（2017·江苏省无锡市高考数学一模）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为________．

　[如图，正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，PA＝，

设正四棱锥的高为PO，连接AO，则AO＝AC＝.

在直角三角形POA中，PO＝＝＝1.

所以VP－ABCD＝·SABCD·PO＝×4×1＝.]

6．（广东汕头2017届高三上学期期末）已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为2，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于________．

20π　[由题意知三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，∠ACB＝90°，设D，D1分别是AB，A1B1的中点，O是DD1中点，可证O就是三棱柱外接球球心，S△ABC＝×2×1×sin60°＝，V＝S△ABC·h＝×DD1＝2，即DD1＝4，OA＝＝＝，所以S＝4π×OA2＝4π×（）2＝20π.]

7．（2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模）已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为________．

16　[如图所示，

直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，

侧面对角线的长为2，

∴侧棱长为CC1＝＝2，

∴该直四棱柱的侧面积为S＝4×2×2＝16.]

8．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________．

　[由题意得：

πrl：

＝2π⇒l＝2h⇒母线与轴的夹角为.]

9．（江苏省扬州市2017届高三上学期期末）若正四棱锥的底面边长为2（单位：

cm），侧面积为8（单位：

cm2），则它的体积为________（单位：

cm3）．

　[设四棱锥为P－ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连接PE，OE.

则PE⊥CD.OE＝BC＝1.

∵S侧面＝4S△PCD＝4××CD×PE＝8，∴PE＝2.

∴PO＝，

∴正四棱锥体积V＝×22×＝.]

10．（山东枣庄2017届高三上学期期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图9－15，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC－A1B1C1的体积为________．

图9－15

2　[由阳马的定义知，VB－A1ACC1＝×A1A×AC×BC＝AC×BC≤（AC2＋BC2）＝AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时等号成立，所以当阳马B－A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC－A1B1C1的体积为×××2＝2.]

11．（湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考）圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为L2，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是________.

【导学号：

56394065】

　[由题意得轴截面的顶角θ不小于，因为sin＝≥sin＝，所以≤<1.]

12．（2017·江苏省泰州市高考数学一模）如图9－16，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，则三棱锥D1－A1BD的体积为________cm3.

图9－16

　[∵在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，

∴三棱锥D1－A1BD的体积：

VD1－A1BD＝VB－A1D1D＝×S△A1D1D×AB

＝××A1D1×DD1×AB

＝×3×1×3＝（cm3）．]

13．（安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考）如图9－17，四棱锥P－ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为正方形且边长为2，平面PAB⊥平面ABCD，四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．

图9－17

　[由题意球的半径满足＋＝⇒R2＝，所以球的表面积是4πR2＝.]

14．（中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱A1B1，A1C1的中点，则平面BMNC将三棱柱分成的两部分的体积比为________．

7∶5　[设直三棱柱ABC－A1B1C1高为h，底面积为4S，则VB1C1－BMNC＝VC－B1MNC1＋VM－B1BC＝×h×3S＋VA1－B1BC＝hS＋VA－B1BC＝hS＋VB1－ABC＝hS＋×h·4S＝Sh，

所以两部分的体积比为∶Sh＝7∶5.]

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）（2017·江苏省盐城市高考数学二模）如图9－18，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.

图9－18

（1）求证：

CD⊥AP；

（2）若CD⊥PD，求证：

CD∥平面PAB.

【导学号：

56394066】

[证明]　

（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP，2分

又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以AP⊥平面ABCD.4分

因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.6分

（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD.①8分

因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD.

又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD.②

由①②得CD∥AB，12分

因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.14分

16．（本小题满分14分）（2017·江苏省淮安市高考数学二模）如图9－19，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E.

图9－19

求证：

（1）DE∥平面B1BCC1；

（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1.

[证明]　

（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，

∴DE∥BC，2分

∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，

∴DE∥平面B1BCC1；6分

（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴AA1⊥BC，

∵AC⊥BC，AC∩AA1＝A，

∴BC⊥平面A1ACC1，10分

∵BC⊂平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面A1ACC1.14分

17．（本小题满分14分）（2017·江苏省无锡市高考数学一模）如图9－20，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1.

图9－20

（1）求证：

E是AB中点；

（2）若AC1⊥A1B，求证：

AC1⊥BC.

[证明]　

（1）连接BC1，取AB中点E′，

∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，

∴O为AC1的中点，

∵E′是AB的中点，

∴OE′∥BC1；4分

∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

∴OE′∥平面BCC1B1，

∵OE∥平面BCC1B1，

∴E，E′重合，

∴E是AB中点.8分

（2）∵侧面AA1C1C是菱形，

∴AC1⊥A1C，10分

∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，

∵BC⊂平面A1BC，

∴AC1⊥BC.14分

18．（本小题满分16分）（2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模）如图9－21，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°.

图9－21

（1）求证：

AB⊥平面EDC；

（2）若P为FG上任一点，证明：

EP∥平面BCD.

[证明]　

（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，

∴CD⊥AC，

∵平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，

∴CD⊥平面ABC，

又AB⊂平面ABC，

∴CD⊥AB，

∵AC＝BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，

又CE∩CD＝C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，

∴AB⊥平面EDC.8分

（2）连接EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，

∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，

∴EF∥平面BCD，10分

同理可得EG∥平面BCD，且EF∩EG＝E，EF、EG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面BCD，

∵P是FG上任一点，∴EP⊂平面EFG，

∴EP∥平面BCD.16分

19．（本小题满分16分）（河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛）如图9－22，在直

图9－22

三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．

（1）证明：

BC1∥平面A1CD；

（2）若AC＝CB，求证：

A1D⊥CD.

[证明]　

（1）如图，连接AC1，交A1C于点O，连接OD.

据直三棱柱性质知四边形ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点．

又因为D是AB的中点，所以BC1//OD.4分

又因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.6分

（2）因为AC＝BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB.8分

据直三棱柱ABC－A1B1C1性质知AA1⊥平面ABC，又因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.

又因为AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，

所以CD⊥平面ABB1A1.14分

又因为A1D⊂平面ABB1A1，所以CD⊥A1D，即A1D⊥CD.16分

20．（本小题满分16分）（2017·江苏省泰州市高考数学一模）如图9－23，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证：

图9－23

（1）直线PA∥平面BDE；

（2）平面BDE⊥平面PCD.

【导学号：

56394067】

[证明]　

（1）连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．

又因为E为PC的中点，所以OE∥PA.4分

又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

所以直线PA∥平面BDE.6分

（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，

所以OE⊥PD.8分

因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.10分

又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，

所以OE⊥平面PCD.14分

又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.16分