当x>x2时，f（x）>g（x），且g（x）在（0，＋∞）上是增函数．
∴f（2016）>g（2016）>g（8）>f（8）．
三种函数模型的表达形式及其增长特点：
（1）指数函数模型：
能用指数型函数f（x）＝abx＋c（a，b，c为常数，a>0，b>1）表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.
（2）对数函数模型：
能用对数型函数f（x）＝mlogax＋n（m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1）表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.（3）幂函数模型：
能用幂型函数f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0，α≠1）表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
[再练一题]
1.函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图像如图3 6 2所示．
图3 6 2
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图像交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
【解】
（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，
C2对应的函数为f（x）＝lgx.
（2）当xf（x）；
当x1g（x）；
当x>x2时，g（x）>f（x）；
当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）.
建立函数模型解决实际问题
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：
每天回报40元；
方案二：
第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：
第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【精彩点拨】 首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．
【尝试解答】 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：
y＝40（x∈N＋）；
方案二：
y＝10x（x∈N＋）；
方案三：
y＝0.4×2x－1（x∈N＋）．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
天数累积收益方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
…
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
…
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
…
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．
解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.
[再练一题]
2.有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：
栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：
栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：
十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）
【解】 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a（1＋20%）5（1＋10%）5＝a（1.2×1.1）5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为
y2＝2a（1＋20%）5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a<0，
因此，乙方案能获得更多的木材．
[探究共研型]
选择函数模型的实际问题
探究 如图3 6 3给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是？
图3 6 3
【提示】 由题中图像可知，该函数模型为指数函数．
20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：
全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x（即当年数与1989年的差）的关系，模拟函数可选用二次函数f（x）＝px2＋qx＋r（其中p，q，r为常数），或g（x）＝abx＋c（a，b，c为常数且b>0，b≠1）．
（1）根据题目中的数据，求f（x），g（x）的解析式；
（2）如果1994年大气中CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？
并说明理由．
【精彩点拨】
（1）列出方程组求系数，从而求解析式；
（2）由x＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数．
【尝试解答】
（1）由题目中的数据得
解得
由
解得
所以f（x）＝
x2＋
x,g（x）＝
·
x－3.
（2）因为f（5）＝15，g（5）＝17.25，f（5）更接近16，
所以选用f（x）＝
x2＋
x作为模拟函数好．
解决函数应用题时的常用方法：
（1）先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.
（2）将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.
[再练一题]
3.某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：
元/102kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【解】
（1）由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，
故只能选择Q＝at2＋bt＋c，
即
解得Q＝
t2－
t＋
.
（2）Q＝
（t－150）2＋
－
＝
（t－150）2＋100，
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.
1.以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．一定存在x0，使x＞x0，总有ax0＞xn＞logax
【解析】 对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．
【答案】 D
2.下列函数中，随着x的增长，函数值增长速度最快的是（ ）
A．y＝50 B．y＝1000x
C．y＝0.4·2x－1D．y＝
lnx
【解析】 随着x的增大，函数值增长速度最快的是指数型函数，故选C.
【答案】 C
3.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和（本金加利息）为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．
【解析】 已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a（1＋r），2期后本利和为y＝a（1＋r）＋a（1＋r）r＝a（1＋r）2,3期后本利和为y＝a（1＋r）3，…，x期后本利和为y＝a（1＋r）x，x∈N＋.
【答案】 y＝a（1＋r）x，x∈N＋
4.三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6633
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是____________________________________________________________________．
呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．
【解析】 由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．
【答案】 y3 y2 y1
5.用模型f（x）＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f（x）（亿元）和生产成本投入x（亿元）的关系．统计表明，当每季度投入1（亿元）时利润y1＝1（亿元），当每季度投入2（亿元）时利润y2＝2（亿元），当每季度投入3（亿元）时利润y3＝2（亿元）．又定义：
当f（x）使[f
（1）－y1]2＋[f
（2）－y2]2＋[f（3）－y3]2的数值最小时为最佳模型．
（1）当b＝
时，求相应的a使f（x）＝ax＋b成为最佳模型；
（2）根据题
（1）得到的最佳模型，请预测每季度投入4（亿元）时利润y4（亿元）的值.
【导学号：
04100067】
【解】
（1）b＝
时，[f
（1）－y1]2＋[f
（2）－y2]2＋[f（3）－y3]2
＝14
2＋
，
∴a＝
时，f（x）＝
x＋
为最佳模型．
（2）f（x）＝
＋
，则y4＝f（4）＝
.
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