数学发展简史.docx
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数学发展简史
《数学发展简史》
主讲教师：
王幼军
目录
导言：
为什么学习数学史
第一讲：
早期文明中的数学
1．古埃及的数学
2．巴比伦的数学
3．中国早期的数学
第二讲：
古希腊的数学
1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大
2．亚历山大时期
第三讲：
中国古代的数学
1．汉以前的中国数学
2．从魏晋到隋唐时期的中国数学
3．十二、三世纪的宋元数学
第四讲：
印度与阿拉伯的数学
1．印度的数学
2．阿拉伯数学
第五章：
数学的复兴
1．中世纪的欧洲数学
2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响
3．三次、四次方程的求根公式的解决
4．三角学的历史
第六讲：
近代数学的兴起
1．对数
2．解析几何的诞生
3．微积分的产生与发展
4．概率论的产生
第七讲：
近代数学的发展
1．几何学的发展
2．代数学的发展
3．分析学的发展
4．公理化运动
第八讲：
现代数学概观
1．集合论悖论与数学基础的研究
2．纯数学的发展
3．应用数学的发展
4．六十年代以后的数学
导言：
为什么学习数学史
1．为了更全面、更深刻地了解数学
每一门学科都有它的历史，文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。
数学有它自己的发展过程，有它的历史。
它是活生生的、有血有肉的。
无论是概念还是体系，无论是内容还是方法，都只有在与其发展过程相联系时，才容易被理解。
可以说，不懂得数学史，就不能真心地理解数学。
数学课本上的数学，经过多次加工，已经不是原来的面貌；刀斧的痕迹，清晰可见。
数学教师要把课本上的内容放到历史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能帮助学生理解。
2．为了总结经验教训，探索发展规律
我国自古以来就非常重视历史、“前事之不忘，后事之师”（《战国策·赵策一》）早已成为人们的共识。
英国哲学家培根（FrancisBacon，1561—1626）的名言“历史使人明智”（Historiesmakemenwise）也是尽人皆知的成语。
数学有悠久的历史，它的成长道路是相当曲折的。
有时兴旺发达，有时衰败凋残。
探索它的发展规律，可以指导当前的工作，使我们少走或不走弯路，更好地做出正确的判断，制定合理的政策。
3．为了教育的目的
（1）激发兴趣，开阔眼界，启发思维，
经验证明，在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。
任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它有浓厚的兴趣。
教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课堂空气会立刻活跃起来。
教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。
学生开阔了眼界．知道一个定理的发现过程竟如此曲折，印象会非常深刻。
讲述定理的来龙去脉，可以开拓学生的思维，使他们从多个方面去思考问题。
（如果不是专门的数学史课，史料的加入宜适而止，否则会喧宾夺主，冲淡了主题）
（2）表彰前贤，鼓励后进。
数学是人类智慧的结晶，是全世界人民宝贵的精神财富。
今天数学的繁荣昌盛，实得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动。
饮水必须思源，数典不可忘祖，他们的丰功伟绩，理应载人史册。
数学史的主要内容之一，就是记述他们的生平事迹和重要贡献，以供后人参考借鉴。
其目的在于总结先辈的经验教训，学习他们不畏艰苦的创业精神。
表彰前贤，足以鼓励后进。
4．文化的目的
数学是文明的一个组成部分。
数学不仅仅是形式化、演绎化的思维训练，也不仅仅是一门严肃的、抽象的学科，数学其实是丰富多彩的文化的产物，数学中的几乎每一步进展都反映了推进者的个人背景、时间和地点的影响，也受到当时流行的价值观、社会思想和当时所有的资源的影响。
所以，数学不仅是一种单纯的知识活动，它也拥有丰富的历史文化向度，人类丰富多彩的文化为它染上了浓重眩目的文化色彩。
几乎任何一门数学分支的发展都反映了一定时代和地域所流行的价值观和各种因素的影响，这些因素包括游戏娱乐、美学欣赏、宗教信仰、哲学思考和实用价值探索等，在数学中它们是如此紧密地交织在一起，只要拆散和剔除其中的任何一个方面都将给数学带不可估量的损失。
为了探索及揭露数学发展的规律，也为了叙述的方便，常常将整个发展史划分为若干个阶段，这就是数学史的分期。
分期的标准主要有两种，一种是根据数学本身的特点（通常叫做“内史”，另一种是根据社会的历史背景（“外史”），三是根据所接受的对象。
本课程综合上述看法，采取下面的分期。
1早期文明中的数学，2．初等数学的发展，4近代数学的兴起，5近现代数学发展，6现代数学发展概述。
学习资源：
1.李文林．数学史教程．北京：
高等教育出版社，20020
2.梁宗巨，王青建，孙宏安，《世界数学通史》（上下册），辽宁教育出版社，2004
3.王青建，《数学史简编》，科学出版社，2004
4.张奠宙．数学史选讲．上海：
上海科学技术出版社，1997
5.J.F.斯科特著，《数学史》，侯德润张兰译，广西师范大学出版社，2002
6.（美国）卡茨著，《数学史通论》，李文林等译，高等教育出版社，2004
7.[美]H.伊夫斯，《数学史概论》（修订本），欧阳绛译，山西经济出版社，1986
8.刘钝（1993），《大哉言数》，沈阳：
辽宁教育出版社
9.M·克莱茵.数学：
《确定性的丧失》，李宏魁译.长沙:
湖南科学技术出版社,1999.
10.李迪主编，《中外数学史教程》，福建教育出版社，1993
11.汪晓勤，韩祥临．中学数学中的数学史．北京：
科学出版社，2002
12.http:
//math.ntu.edu.tw
13.http:
//math.ntnu.edu.tw/~horng
14.http:
//www-history.mcs.st-and.ac.uk/
15.http:
//math.clarku.edu/~djoyce
第一讲：
早期文明中的数学
数学最早起源于适合人类生存的大河流域，例如尼罗河流域的埃及、两河流域的巴比伦、黄河长江流域的中国等。
伴随着这些早期文明的发展，数学也开始了它的萌芽和进程。
在有文字记载之前人类就已经有了数概念。
起初人们只能认识“有”还是“没有”，后来又渐渐有了“多”与“少”的朦胧意识。
而“多”与“少”的意识原始人是在一一对应的过程中建立的。
即把两组对象进行一一比较，如果两组对象完全对应，则这两个组的数量就相等，如果不能完全一一对应，就会出现多少。
例如，据古希腊荷马史诗记载：
波吕斐摩斯被俄底修斯刺伤后，以放羊为生。
他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子儿；晚上母羊返回山洞，进去一只，他就扔掉一颗石子儿，当把早晨捡起的石子儿全部扔完后，他就放心了，因为他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。
另一个方面，在长期的采集、狩猎等生产活动中原始人逐渐注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异。
通过一只羊、一头狼与许多羊、整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树……之间存在着某种共同的东西，即它们的单位性。
由此抽象出数“1”这个概念。
数“1”可以说是这类具有单个元素的集合的特征。
可以认为，在人类发展的一个相当长的阶段上，人们最早具有的数的概念是“1”，与之相对应的是一个比较确定的观念——“多”。
如上面的“数羊”，人们把一些被数物品用另外某些彼此同类的物品或标记来代替，如用手指、小石块、绳结、树枝、刻痕等。
根据彼此一一对应的原则进行这种计算，也就是给每个被数物品选择一个相应的东西作为计算工具，这就是早期的记数。
最早可能是手算，即用手指计数。
一只手上的5个指头可以被现成的用来表示5个以内事物的集合。
两只手上的指头合在一起，可以数到10，再和脚趾联合在一起，可以数到20。
有人认为，现在的罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分别是1——4个手指的形象，Ⅴ是四指并拢拇指张开形象，10则画成ⅤⅤ，表示双手，后来又画成X，是ⅤⅤ的对顶形式。
古代俄国把1叫做“手指头”，10则称为“全部”。
这些都是古代手指计数的痕迹。
亚里士多德曾经指出，今天10进制的广泛采用，只不过是人类绝大多数人生来就具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。
手算能表示出的数目毕竟有限，即使再借助于脚趾，也不过数到20。
当指头不敷用时，数到10时，摆一块小石头，双手就解放了，还可以继续数更大的数目。
自然地人们会想到，可以不用手，直接用石头记数。
但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数。
我国有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。
“结绳而治”一般解释为“结绳记事”或“结绳记数”。
“书契”就是在物体上刻痕，以后逐渐发展成为文字。
结绳记事、记数，并不限于中国，世界各地都有，有些地方甚至到19世纪还保留这种方法，有些结绳事物甚至保存下来。
例如，美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人们称之为基普：
在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。
结绳毕竟不甚方便，以后在实物（石、木、骨等）上刻痕以代替结绳。
从现在的考古资料看，几乎所有的文明古国都经历过一个刻痕记数的阶段，只是各自的形式不同而已。
无论手算、结绳还是刻痕所记下来的数还不是现在意义上的数，只是物体集合蕴涵着的数量特性从一个物体集合转移到另一个物体集合上。
也就是说，人们还不能脱离具体的物的集合来认识“数量”。
但是，当人们可以任意选用这种随手可得的东西来记数时，就离形成数的概念为期不远了。
总之，在人类几万年的原始文明中，只限于一些零碎的、片断的、不完整的知识，有些人只能分辨一、二和许多，有些能够把数作为抽象的概念来认识，并采用特殊的字或记号来代表个别的数，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数，进行简单的运算。
此外，古人也认识到最简单的几何概念，如，直线、圆、角等。
直到公元前三千年左右巴比伦和埃及的数学出场，数学开始取得更多的进展。
1，古埃及的数学
背景非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。
在公元前3500—3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。
目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是约成书于公元前1650年的兰德（Rhind）纸草书，又称阿默士（Ahmes）纸草书。
阿默士纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。
古埃及人将所有的分数都化成单位分数（分子为1的分数之和），在阿默士纸草书中，有很大一张分数表，把
状分数表示成单位分数之和
古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。
例如，在兰德纸草书上有一个关于“堆算”的特殊篇章。
这部分从本质上来说，包含的是用一元一次方程来解的问题。
古代埃及人把未知数称为“堆”，它本来的意思是指数量是未知数的谷物的堆。
其中一个方程式这样的：
“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33”用现在的形式写出来就是：
埃及人还发展了卓越的几何学。
有一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。
大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。
古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约于公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达146.5米，塔基每边平约宽230米，任何一边与此数值相差不超过0.16米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。
与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。
其中卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米。
这些宏伟建筑的落成，也离不开几何学知识。
埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱锥、圆锥、圆柱体及半球的体积。
其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。
2，巴比伦的数学
底格里斯河和幼发拉底河流域，希腊人称之为美索不达米亚（Mesopotamia），原意为两河之间的地方，统称为两河流域。
在历史上两河流域一直是许多城邦以及定居的部族和游牧部族之间竞争角逐的场所。
在两河流域的历史上，征服者和被征服者就像走马灯一样来来去去，其情形是极其复杂的。
但是，两河流域是个大熔炉，在这里，许多不同的部族都是由竞争角逐而趋于融合，所以各个部族的文化和技术相互融合，从而使这个地区成了西亚的先进地区。
古代巴比伦国家的位置在美索不达米亚最靠近底格里斯河和幼发拉底河河床的地方。
巴比伦城位于幼发拉底河河岸上，“巴比伦人”这个名称包括许多同时或先后居住在底格里斯河和幼发拉底河之间及其流域上的一些民族。
其中苏美尔人（Sumerians）是两河流域古文明的奠基者）。
公元1700年左右，阿摩利人汉默拉比Hammurabi王统治时期，文化得到高度的发展，这位君主以制定一部著名的法典而著称（《汉默拉比法典》），这个时期就是所称的古巴比伦王国。
公元前八世纪，这个地区为原来住在底格里斯河上游的亚述人（Assyrians）所统治。
亚述人尚武轻文，在文化方面很少有创造性的贡献，然而，亚述帝国的政治统一却也促进了文化的交流，使古代东方各地的文化得以融于一炉。
对两河流域的古文化，亚述人也做过一些保存和整理工作。
亚述帝国的最后一个名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾经在尼尼微的宫殿里建了一座图书馆，那里收藏了二万二千块刻着楔形文字的泥板。
一个世纪以后，亚述帝国为伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所灭，在历史上美索不达米亚的这段时期（公元前7世纪）通常称为伽勒底时期，也称为新巴比伦帝国。
公元前540年左右，新巴比伦帝国为居鲁士（Cyrus）统治下的波斯人所征服。
公元前330年，希腊军事领袖亚历山大大帝（AlexandertheGreat）征服了这个地区。
历史中所讲的巴比伦数学也到此为止。
从十九世纪前期开始，在美索不达米亚工作的考古学家们进行了系统的发掘工作，发现了大约五十万块刻着文字的泥板，仅仅在古代尼普尔旧址上就挖掘出五万块。
在巴黎、柏林和伦敦的大博物馆中，在耶鲁、哥伦比亚河宾夕法尼亚大学的考古展览馆中，都珍藏着许多这类书板，书板有大有小，小的只有几平方英寸，最大的和一般的教科书大小差不多，中心大约有一英寸半厚。
有的只是书板的一面有字，有时两面都有字，并且往往在其四边上也刻有字。
在公元前3500年以前，苏美尔人就已经发明了文字。
苏美尔人用削尖了的芦苇管做笔，把这种文字刻在泥板砖的怌块上，在日光下或火炉上烘干，这种带有文字的泥板就称为泥板书。
因为这种文字是刻在泥板上的，落笔处比较重，收笔处比较纤细，呈尖劈形，所以被称为“楔形文字”（Cuneiform）。
在五十万块书板中，约有300块是被鉴定为载有数字表和一大批问题的纯数学书板。
直到1935年，由于美国学者诺伊格包尔（OttoNeugebaur）和法国学者蒂罗。
丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。
他们解释了一部分数学泥板，由于这些工作还在进行，或许不久的将来还会有新的发现。
古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。
巴比伦人书写数字的方法更值得我们注意。
他们引入了以60为基底的位值制（60进制），希腊人、欧洲人直到16世纪还于数学计算和天文学计算中运用这个系统，直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。
3．中国早期的数学
中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千年．《周易·系辞下》中说：
“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。
百官以治，万民以察。
”《说文解字·叙》记载：
“及神农氏结绳而治而统其事。
”《周易》郑玄注：
“结绳为约，事大，大结其绳；事小，小结其绳。
”《九家易》：
“古者无文字，其有誓约之事，事大，大其绳；事小，小其绳。
结之多少，随物众寡，各执以相考，亦足以相治也。
”据此可知：
结绳是神农或神农以前上古时期的一种记事方法，以绳结的大小约定事的大小，以绳结的多少约定物的多少。
契刻是较结绳晚出的一种记事方法，其作用主要是用于记数或作为契约的记数凭证。
在许多古代典籍中都有关这方面的记载，《墨子·备城门》中曰：
“守城之法：
必数城中之木，十人之所举为十挈（契），五人之所举为五挈。
凡轻重以挈为人数。
”《周易》郑玄注：
“书之于木，刻其侧为契，各持其一，后以相考合。
”
《列子·说符篇》说：
“宋人有游于道得人遗契者，归而藏之，密数其齿，告邻人曰：
‘吾富可待也。
’”
在距今约五至六千年前的仰韶文化时期出土的陶器上还刻有表示数目的符号，说明此时已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形等各种对称和复杂的几何图案，半坡村遗址上有圆形和正方形的屋基。
《史记》中记载：
夏禹治水，“左规矩，右准绳”。
这可以看作是中国古代几何学的起源。
在殷商（月公元前13世纪）的甲骨文中已经使用了十进制记数法，共有13个独立的符号，出现的最大数字为三万。
商代还用10个天干和12个地支组成甲子、乙丑等60个名称来记60十天的日期。
春秋战国时代又出现了十进位值制筹算记数法．而战国时代的《考工记》、《墨经》、《庄子》等著作中则探讨了许多抽象的数学概念，并记载了大量实用几何知识．
在记述中国古代早期数学内容的典籍中，《周易》是包含数学内容最丰富的著作，因而对中国古代数学家产生了极大的影响。
比如，刘徽在《九章算术注》的序中就写道：
“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。
作九九之数，以合六爻之变。
”实际上就把数学方法与《周易》中的六爻、八卦等内容联系起来了。
《周易》中的另一重要概念是太极。
《周易》写道：
“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。
”太极即太一，这段话讲的是八卦产生的原理，也试图解释天地造分、化成万物的原理。
到周代（公元前11至公元前3世纪）又发展成64卦，表示64种事物。
后经宋代陈抟的发展，便有了太极图。
《周易》中另一个与数学相关的内容是“河图洛书”。
《周易》中有“河出图，洛出书，圣人则之”的记载。
以后，有人又把河图洛书与八卦及九数联系起来。
例如，孔安国认为：
“河图者，伏羲氏王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦。
洛书者，禹治水时，神龟负文，而列于背，有数至九，禹遂因而第之，以成九类。
”也就是说，在古人看来，八卦与九数实出于河图洛书。
西周初期能用炬测量高、深、广、远，知道勾股形中的勾三、股四、弦五及环炬为圆等知识。
西周青铜器上的金文数字与商代数字基本一致，是我们今天文字的源泉。
此时，已有整数和分数的四则远算，《韩诗外传》中还记载了公元前7世纪齐桓公招贤纳士之事，将会背“九九”乘法口诀的人当作贵客款待。
卜筮是原始人类共有的社会现象。
中国古代常用龟甲和兽骨作为占卜工具，以决定事情的吉凶。
筮，是按一定的规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶。
《周礼》称：
“凡国之大事，先筮后卜。
”《史记·龟策列传》则说：
“王者决定诸疑，参与卜筮，断以蓍龟，不易之道也。
”筮的工具起初是竹棍（以后出现的筹算数码则形成了中国古代用竹棍表示数字的传统），后来改用蓍草----一种有锯齿的草本植物。
公元前500年左右的战国时代，算筹已得到普遍使用，算筹大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制作的。
算筹的记数法采用十进位制。
《墨经》（约公元前4世纪）中说：
“一少于二而多余五，说在建位。
”即一在个位小于二，在十位就大于五，每个数字的大小除由它本身表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。
《孙子算经》（约公元4世纪）中描述了对筹算数字的摆放方法：
“凡算之法，先识其位。
一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当”即：
个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位又用纵式，如此纵横相间，以免发生误会。
并规定用空位表示零。
说明有纵横两式：
总之，在人类早期的文明中，数学还处于萌芽时期，主要包括计数、算术、初步的代数和几何等知识。
此时所呈现的数学更多的是经验、直观、零碎、片断的知识，还没有形成系统的理论体系、抽象的思维方法等。
第二讲：
古希腊的数学
数学作为一门独立和理性的学科开始于公元前600年左右的古希腊。
古希腊是数学史上一个“黄金时期”，在这里产生了众多对数学主流的发展影响深远的人物和成果，泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德等数学巨匠不胜枚举。
此外，在初等数学时期，东方的中国、印度与阿拉伯等地区也发展出了独具特色的数学知识。
在中世纪后期的欧洲，在独特的中世纪文化中，东西方数学知识逐渐融合，为下一个阶段数学的快速发展奠定了基础。
1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大
古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。
这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（AlexandertheGreat）征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（Alexandria）。
亚历山大大帝死后（323B.C.），他创建的帝国分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。
统治了埃及的托勒密一世（PtolemytheFirst）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！
希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为古典时期和亚历山大时期两个阶段。
一、古典时期（600B.C.-300B.C.）
这一时期始于泰勒斯（Thales）为首的爱奥尼亚学派（Ionians），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。
稍后有毕达哥拉斯（Pythagoras）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。
公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。
埃利亚学派的芝诺（Zeno）提出四个著名的悖论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。
智人学派提出几何作图的三大问题：
化圆为方、倍立方体、三等分任意角。
希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。
正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：
圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。
哲学家柏拉图（Plato）在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。
欧多克斯（Eudoxus）是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。
柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle）是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
（1）泰勒斯﹝TalesofMiletus，约公元前625-前547﹞
古希腊哲学家、自然科学家。
生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地。
泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为“希腊七贤”之首。
而他更是以数学上的发现而出名的第一人。
他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。
泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。
在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏
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