数学实验报告1.docx
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数学实验报告1
数学实验报告
―――缉私艇追赶走私船模型实验
学院:
理学院
班级:
宗濂91
组员:
王超君(09200016)
张静(09200024)
胡诗倩(09200005)
一、实验目的
1.学会用MATLAB软件求解微分方程的初值问题。
2.了解微分方程数值解思想,掌握两种简单的微分方程数值解方法。
3.学会根据实际问题建立简单微分方程数学模型。
4.了解计算机数据仿真、数据模拟的基本方法。
二、实验问题
如图所示,有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方向距离它200米的地方O处,此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去,假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑,按要求完成下面的实验:
⑴问猎狗能追上兔子的最小速度是多少?
⑵选取猎狗的速度分别为15、18米/秒,计算猎狗追上兔子时跑过的路程和时间。
⑶画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。
三、数学推导
用计算机仿真法对上述问题进行模拟、分析和研究。
⑴设置时间步长为dt,兔子速度为8米/秒,猎狗速度为b(b在程序中输入一设定值,我们先选用了18),兔子的初始位置在坐标原点,猎狗的初始位置在(-100
,-100
)。
⑵
由t1时兔子和猎狗的位置坐标计算兔子和猎狗在t2=t1+dt时的坐标(x1,y1)和(x2,y2):
x1=-4
t
y1=4
t
x2=x2(t1)+bdt
y2=y2(t1)+bdt
⑶计算兔子与猎狗之间的距离
d=
如果d小于事先设定的距离,则退出循环,否则让时间产生一个步长,返回到第二步继续进入下一次循环。
⑷当循环成功退出后,说明点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离小于设定的猎狗追上兔子的距离,循环终止时的时间t即为猎狗追上兔子所用的时间。
说明:
在回答第一小问时,通过多次输入b的值,直至找到使t等于15的b(15=120/8,为兔子跑到洞口所需的时间,此时的b为猎狗的最小速度)。
四、实验程序及结果
b=16.75
D=0.5
dt=0.2
t=0
holdon
ezplot('x',[-100*sqrt
(2),0])
ezplot('-x',[-60*sqrt
(2),0])
axis([-100*sqrt
(2)0-100*sqrt
(2)60*sqrt
(2)])
axisequal
x1=0;y1=0;x2=-100*sqrt
(2);y2=-100*sqrt
(2)
whilesqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)>D
t=t+dt
x1=-4*sqrt
(2)*t
y1=4*sqrt
(2)*t
x2=x2+b*dt*(-4*sqrt
(2)*t-x2)/sqrt((-4*sqrt
(2)*t-x2)^2+(4*sqrt
(2)*t-y2)^2)
y2=y2+b*dt*(4*sqrt
(2)*t-y2)/sqrt((-4*sqrt
(2)*t-x2)^2+(4*sqrt
(2)*t-y2)^2)
plot(x1,y1,'r.',x2,y2,'g.')
pause(0.1)
end
b
t
s=t*b
运行结果:
(1)b=
16.7500
D=
2
dt=
0.2000
t=
0
……
t=
15.0000
经试验得,狗的速度为16.75时,追赶上兔子的时间为15s,正好是兔子跑到洞口的时间。
即狗的最小速度为16.75m/s
(2)将b=15带入输入程序计算,则时间为正无穷,即此速度下猎狗追不到兔子
(3)将b=18输入程序计算,结果如下
b=
18
D=
2
dt=
0.2000
t=
0
y2=
-141.4214
t=
0.2000
t=
0.4000
t=
0.6000
t=
0.8000
t=
1
t=
1.2000
t=
1.4000
t=
1.6000
t=
1.8000
t=
2.0000
t=
2.2000
t=
2.4000
t=
2.6000
t=
2.8000
t=
3.0000
t=
3.2000
t=
3.4000
t=
3.6000
t=
3.8000
t=
4.0000
t=
4.2000
t=
4.4000
t=
4.6000
t=
4.8000
t=
5.0000
t=
5.2000
t=
5.4000
t=
5.6000
t=
5.8000
t=
6.0000
t=
6.2000
t=
6.4000
t=
6.6000
t=
6.8000
t=
7.0000
t=
7.2000
t=
7.4000
t=
7.6000
t=
7.8000
t=
8.0000
t=
8.2000
t=
8.4000
t=
8.6000
t=
8.8000
t=
9
t=
9.2000
t=
9.4000
t=
9.6000
t=
9.8000
t=
10.0000
t=
10.2000
t=
10.4000
t=
10.6000
t=
10.8000
t=
11.0000
t=
11.2000
t=
11.4000
t=
11.6000
t=
11.8000
t=
12.0000
t=
12.2000
t=
12.4000
t=
12.6000
t=
12.8000
t=
13.0000
t=
13.2000
t=
13.4000
b=
18
t=
13.4000
s=
241.2000
此时追赶时间为13.4s,猎狗跑过的距离为241.2m
⑷猎狗追赶兔子曲线图如下(b等于18):
五、实验心的
在解决实际问题时首先应该建立合适的数学模型,然后求解。
在解决本次实验问题时,我们首先仿照缉私艇追击走私船的例子建立了数学模型,我们第一次尝试的方法是求解析解,但是发现用这种方法时,建立的二阶微分方程十分复杂,后续的推导和计算都比较困难,所以我们采用了计算机仿真法。
经过多次分析,修改,最终得出结论。