数学实验报告1.docx
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数学实验报告1
数学实验报告
―――缉私艇追赶走私船模型实验
学院：
理学院
班级：
宗濂91
组员：
王超君（09200016）
张静（09200024）
胡诗倩（09200005）
一、实验目的
1.学会用MATLAB软件求解微分方程的初值问题。
2.了解微分方程数值解思想，掌握两种简单的微分方程数值解方法。
3.学会根据实际问题建立简单微分方程数学模型。
4.了解计算机数据仿真、数据模拟的基本方法。
二、实验问题
如图所示，有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方向距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，按要求完成下面的实验：
⑴问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
⑵选取猎狗的速度分别为15、18米/秒，计算猎狗追上兔子时跑过的路程和时间。
⑶画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。
三、数学推导
用计算机仿真法对上述问题进行模拟、分析和研究。
⑴设置时间步长为dt，兔子速度为8米/秒，猎狗速度为b（b在程序中输入一设定值，我们先选用了18），兔子的初始位置在坐标原点，猎狗的初始位置在（－100
，－100
）。
⑵
由t1时兔子和猎狗的位置坐标计算兔子和猎狗在t2＝t1+dt时的坐标（x1,y1）和（x2,y2）:
x1=-4
t
y1=4
t
x2=x2（t1）+bdt
y2=y2（t1）+bdt
⑶计算兔子与猎狗之间的距离
d=
如果d小于事先设定的距离，则退出循环，否则让时间产生一个步长，返回到第二步继续进入下一次循环。
⑷当循环成功退出后，说明点（x1,y1）和（x2,y2）之间的距离小于设定的猎狗追上兔子的距离，循环终止时的时间t即为猎狗追上兔子所用的时间。
说明：
在回答第一小问时，通过多次输入b的值，直至找到使t等于15的b（15＝120/8，为兔子跑到洞口所需的时间，此时的b为猎狗的最小速度）。
四、实验程序及结果
b=16.75
D=0.5
dt=0.2
t=0
holdon
ezplot（'x',[-100*sqrt
（2）,0]）
ezplot（'-x',[-60*sqrt
（2）,0]）
axis（[-100*sqrt
（2）0-100*sqrt
（2）60*sqrt
（2）]）
axisequal
x1=0;y1=0;x2=-100*sqrt
（2）;y2=-100*sqrt
（2）
whilesqrt（（x1-x2）^2+（y1-y2）^2）>D
t=t+dt
x1=-4*sqrt
（2）*t
y1=4*sqrt
（2）*t
x2=x2+b*dt*（-4*sqrt
（2）*t-x2）/sqrt（（-4*sqrt
（2）*t-x2）^2+（4*sqrt
（2）*t-y2）^2）
y2=y2+b*dt*（4*sqrt
（2）*t-y2）/sqrt（（-4*sqrt
（2）*t-x2）^2+（4*sqrt
（2）*t-y2）^2）
plot（x1,y1,'r.',x2,y2,'g.'）
pause（0.1）
end
b
t
s=t*b
运行结果：
（1）b=
16.7500
D=
2
dt=
0.2000
t=
0
……
t=
15.0000
经试验得，狗的速度为16.75时，追赶上兔子的时间为15s，正好是兔子跑到洞口的时间。
即狗的最小速度为16.75m/s
（2）将b=15带入输入程序计算，则时间为正无穷，即此速度下猎狗追不到兔子
（3）将b=18输入程序计算，结果如下
b=
18
D=
2
dt=
0.2000
t=
0
y2=
-141.4214
t=
0.2000
t=
0.4000
t=
0.6000
t=
0.8000
t=
1
t=
1.2000
t=
1.4000
t=
1.6000
t=
1.8000
t=
2.0000
t=
2.2000
t=
2.4000
t=
2.6000
t=
2.8000
t=
3.0000
t=
3.2000
t=
3.4000
t=
3.6000
t=
3.8000
t=
4.0000
t=
4.2000
t=
4.4000
t=
4.6000
t=
4.8000
t=
5.0000
t=
5.2000
t=
5.4000
t=
5.6000
t=
5.8000
t=
6.0000
t=
6.2000
t=
6.4000
t=
6.6000
t=
6.8000
t=
7.0000
t=
7.2000
t=
7.4000
t=
7.6000
t=
7.8000
t=
8.0000
t=
8.2000
t=
8.4000
t=
8.6000
t=
8.8000
t=
9
t=
9.2000
t=
9.4000
t=
9.6000
t=
9.8000
t=
10.0000
t=
10.2000
t=
10.4000
t=
10.6000
t=
10.8000
t=
11.0000
t=
11.2000
t=
11.4000
t=
11.6000
t=
11.8000
t=
12.0000
t=
12.2000
t=
12.4000
t=
12.6000
t=
12.8000
t=
13.0000
t=
13.2000
t=
13.4000
b=
18
t=
13.4000
s=
241.2000
此时追赶时间为13.4s，猎狗跑过的距离为241.2m
⑷猎狗追赶兔子曲线图如下（b等于18）：
五、实验心的
在解决实际问题时首先应该建立合适的数学模型，然后求解。
在解决本次实验问题时，我们首先仿照缉私艇追击走私船的例子建立了数学模型，我们第一次尝试的方法是求解析解，但是发现用这种方法时，建立的二阶微分方程十分复杂，后续的推导和计算都比较困难，所以我们采用了计算机仿真法。
经过多次分析，修改，最终得出结论。
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