届高考数学高考大题专项突破六高考中的概率统计与统计案例文新人教A版.docx
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届高考数学高考大题专项突破六高考中的概率统计与统计案例文新人教A版
高考大题专项练六 高考中的概率、统计与统计案例
1.（2017陕西渭南二模,文18）我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位:
吨）,用水量不超过x的部分按平价收费,超过x的部分按议价收费,为了了解全市市民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月用水量（单位:
吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值;
（2）已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（单位:
吨）,估计x的值,并说明理由.
2.为迎接即将举行的集体跳绳比赛,高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试,测试成绩（单位:
次/分钟）如下表:
轮次
一
二
三
四
五
六
甲
73
66
82
72
63
76
乙
83
75
62
69
75
68
（1）补全茎叶图,并指出乙队测试成绩的中位数和众数;
（2）试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两个代表队的测试成绩进行分析.
3.（2017河南洛阳一模,文18）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况,抽查东、西两部各5个城市,得到观看该节目的人数（单位:
千人）如下茎叶图所示,其中一个数字被污损.
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率;
（2）随着节目的播出,极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情,从中获益匪浅,现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位:
小时）与年龄（单位:
岁）,并制作了对照表（如下表所示）;
年龄x（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据,试求线性回归方程x+,并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间.
参考公式:
.
4.（2017安徽安庆二模,文19）为响应阳光体育运动的号召,某县中学生足球活动正如火如荼地开展,该县为了解本县中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生（其中男生14000人,女生10000人）中抽取120名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表:
（平均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0,3]）
男生平均每天足球运动的时间分布情况:
平均每天足球运动的时间
[0,0.5）
[0.5,1）
[1,1.5）
[1.5,2）
[2,2.5）
[2.5,3]
人数
2
3
28
22
10
x
女生平均每天足球运动的时间分布情况:
平均每天足球运动的时间
[0,0.5）
[0.5,1）
[1,1.5）
[1.5,2）
[2,2.5）
[2.5,3]
人数
5
12
18
10
3
y
（1）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到0.1）;
（2）若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”.低于2小时的学生为“非足球健将”.
①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断,能否有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关?
足球健将
非足球健将
总计
男生
女生
总计
②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况,求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率.
参考公式:
K2=,其中n=a+b+c+d.
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
〚导学号24190969〛
5.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x（单位:
千元）对年销售量y（单位:
t）和年利润z（单位:
千元）的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2,…,8）数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
（xi-）2
（wi-）2
（xi-）（yi-）
（wi-）（yi-）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=wi.
（1）根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?
（给出判断即可,不必说明理由）
（2）根据
（1）的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
（3）已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据
（2）的结果回答下列问题:
①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:
对于一组数据（u1,v1）,（u2,v2）,…,（un,vn）,其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
6.（2017福建福州一模,文19）在国际风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.在一次国际风帆比赛中,前7场比赛结束后,排名前8位的选手积分如下表:
运动员
比赛场次
总分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
3
2
2
2
4
2
6
21
B
1
3
5
1
10
4
4
28
C
9
8
6
1
1
1
2
28
D
7
8
4
4
3
1
8
35
E
3
12
5
8
2
7
5
42
F
4
11
6
9
3
6
8
47
G
10
12
12
8
12
10
7
71
H
12
12
6
12
7
12
12
73
（1）根据表中的比赛数据,比较A与B的成绩及稳定情况;
（2）从前7场平均分低于6.5的运动员中,随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查,求至少1个运动员平均分不低于5分的概率;
（3）请依据前7场比赛的数据,预测冠亚军选手,并说明理由.
〚导学号24190970〛
7.（2017辽宁抚顺一模,文18）某学校为了了解本校高一学生每周课外阅读时间（单位:
小时）的情况,按10%的比例对该校高一600名学生进行抽样统计,将样本数据分为5组:
第一组[0,2）,第二组[2,4）,第三组[4,6）,第四组[6,8）,第五组[8,10],并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图:
（1）求图中的x的值;
（2）估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间;
（3）为了进一步提高本校高一学生对课外阅读的兴趣,学校准备选拔2名学生参加全市阅读知识竞赛,现决定先在第三组、第四组、第五组中用分层抽样的方法,共随机抽取6名学生,再从这6名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全市竞赛,在此条件下,求第三组中恰有一名学生被抽取的概率.
8.（2017安徽淮南一模,文18）为了弘扬民族文化,某校举行了“我爱国学,传诵经典”考试,并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数,满分100分）进行统计制表,其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生,请根据频率分布表中所提供的数据,用频率估计概率,回答下列问题.
分组
频数
频率
[50,60）
5
0.05
[60,70）
a
0.20
[70,80）
35
b
[80,90）
25
0.25
[90,100]
15
0.15
合计
100
1.00
（1）求a,b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率;
（2）按频率分布表中的成绩分组,采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动,求其中优秀生的人数;
（3）在第
（2）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人,求至少一人的成绩在[90,100]的概率.
9.（2017山东潍坊二模,文16）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度,随机抽取了100名市民,统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数,统计结果如下表所示:
月收入（单位:
百元）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
频数
5
20
30
31
10
4
赞成人数
2
14
24
30
7
3
（1）用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20（百元）和不低于30（百元）的类人群在该项措施的态度上有何不同;
（2）现从上班中月收入在[10,20）和[60,70]的市民中各随机抽取一个进行跟踪调查,求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率.
〚导学号24190971〛
高考大题专项练六 高考
中的概率、统计与统计案例
1.解
（1）由频率分布直方图,可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1,解得a=0.30.
（2）由频率分布直方图可知,100位居民每人月用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12,
由以上样本频率分布,可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12=96000.
（3）∵前6组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73<0.85,
∴2.5≤x<3.
由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73,解得x=2.9,
因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
2.解
（1）补全茎叶图如下:
乙队测试成绩的中位数为72,众数为75.
（2）=72,
[（63-72）2+（66-72）2+（72-72）2+（73-72）2+（76-72）2+（82-72）2]=39;
=72,
[（62-72）2+（68-72）2+（69-72）2+（75-72）2+（75-72）2+（83-72）2]=44,
因为,所以甲、乙两队水平相当,但甲队发挥较稳定.
3.解
（1）设被污损的数字为a,则a有10种情况.
令88+89+90+91+92>83+83+87+90+a+99,则a<8,
故东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数,有8种情况,
其概率为.
（2）=35,=3.5,.
∴x+.
当x=50时,=4.55小时.
4.解
（1）男生抽取的人数为120×=70,女生抽取人数为120-70=50,
∴x=5,y=2,
∴该校男生平均每天足球运动的时间约为≈1.6（小时）;
（2）①由表格可知
足球健将
非足球健将
总计
男生
15
55
70
女生
5
45
50
总计
20
100
120
∴K2=≈2.743>2.706,
∴能有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关;
②记不足半小时的两人为a,b,足球运动时间在[0.5,1）内的3人为1,2,3,则总的基本事件有10个,取2名代表都是足球运动时间不足半小时的是ab,故概率为.
5.解
（1）由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
（2）令w=,先建立y关于w的线性回归方程.
由于=68,
=563-68×6.8=100.6,
所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.
（3）①由
（2）知,当x=49时,年销售量y的预报值
=100.6+68=576.6,
年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.
②根据
（2）的结果知,年利润z的预报值
=0.2（100.6+68）-x=-x+13.6+20.12.
所以当=6.8,即x=46.24时,取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
6.解
（1）由表格中的数据,我们可以分别求出运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差,作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据.
运动员A的平均分×21=3,
方差[（3-3）2+（2-3）2+（2-3）2+（2-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（6-3）2]=2;
运动员B的平均分×28=4,
方差[（1-4）2+（1-4）2+（3-4）2+（5-4）2+（10-4）2+（4-4）2+（4-4）2]=8,
从平均分和积分的方差来看,运动员A的平均积分及积分的方差都比运动员B的小,
也就是说,在前7场比赛过程中,运动员A的成绩较为优秀,且表现也较为稳定.
（2）表中平均分低于6.5分的运动员共有5个,其中平均分低于5分的运动员有3个,
平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个,
从这5个数据中任取2个,基本事件总数n=10,从3个运动员中任取2人的事件数为3,
至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分,
∴至少1个运动员平均分不低于5分的概率P=1-.
（3）尽管此时还有4场比赛没有进行,但这里我们可以假设每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同,因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本,并由此估计每位运动员最后的成绩,从已结束的7场比赛的积分来看,运动员A的成绩最为出色,而且表现最为稳定,故预测A运动员获得最后的冠军,而运动员B和C平均分相同,但运动员C得分整体呈下降趋势,所以预测运动员C将获得亚军.
7.解
（1）由题设可知,（0.150+0.200+x+0.050+0.025）×2=1,
解得x=0.075.
（2）估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间为:
=1×0.3+3×0.4+5×0.15+7×0.1+9×0.05=3.40（小时）.
（3）由题意知从第三组、第四组、第五组中依次分别抽取3名学生,2名学生和1名学生,
设第三组抽到的3名学生是A1,A2,A3,第四组抽取的学生是B1,B2,第五组抽到的学生是C1,则一切可能的结果组成的基本事件空间为:
Ω={（A1,A2）,（A1,A3）,（A2,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,C1）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,C1）,（A3,B1）,（A3,B2）,（A3,C1）,（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1）},共由15个基本事件组成,
设“第三组中恰有一名学生被抽取”为事件A,则A中有9个基本事件,
故第三组中恰有一名学生被抽取的概率P（A）=.
8.解
（1）由频率分布表得,解得a=20,b=0.35,
由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为:
P=0.25+0.15=0.4.
（2）按成绩分层抽样抽取20人时,优秀生应抽取20×0.4=8（人）.
（3）8人中,成绩在[80,90）的有20×0.25=5（人）,成绩在[90,100]的有20×0.15=3（人）,
从8个人中选2个人,结果共有n=28种选法,
其中至少有一人成绩在[90,100]的情况有两种:
可能有1人成绩在[90,100],也可能有2人成绩在[90,100],所以共有5×3+3=18（种）,
故至少一人的成绩在[90,100]的概率P=.
9.解
（1）由表知,样本中月收入低于20（百元）的共有5人,
其中持赞成态度的共有2人,赞成人数的频率p1=,
月收入不低于30（百元）的共有75人,其中持赞成态度的共有64人,赞成人数的频率p2=.
∵,∴根据样本估计总体思想可知月收入不低于30（百元）的人群对该措施持肯定态度的比月收入低于20（百元）的人群中持肯定态度的比例要高.
（2）将月收入在[10,20）中,不赞成的3人记为a1,a2,a3,赞成的2人记为a4,a5,月收入在[60,70）中不赞成的1人记为b1,赞成的3人记为b2,b3,b4,
从月收入在[10,20）和[60,70]的人中各随机抽取1人,
基本事件总数:
n=5×4=20,
其中事件A“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”共包含:
（a1,b2）,（a1,b3）,（a1,b4）,（a2,b2）,（a2,b3）,（a2,b4）,（a3,b2）,（a3,b3）,（a3,b4）,（a4,b1）,（a5,b1）,共11个,
∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率P=.
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