人教A高考文科数学高考大题专项六 概率与统计.docx
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人教A高考文科数学高考大题专项六概率与统计
高考大题专项（六） 概率与统计
1.（2019河北唐山摸底考试,18）某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件,尺寸在[223,228]内（单位:
mm）的零件为一等品,其余为二等品.在两种工艺生产的零件中,各随机抽取10个,其尺寸的茎叶图如图所示.
（1）分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数;
（2）已知甲工艺每天可生产300个零件,乙工艺每天可生产280个零件,一等品利润为30元/个,二等品利润为20元/个.视频率为概率,试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高?
2.（2019湖北武汉调研,19）从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值.经数据处理后得到该样本的频率分布直方图,其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示,以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率.
（1）求图中a,b,c的值;
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（说明:
①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;②方差的计算只需列式正确）;
（3）根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定?
3.为响应阳光体育运动的号召,某县中学生足球活动正如火如荼地开展,该县为了解本县中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生（其中男生14000人,女生10000人）中抽取120名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表:
（平均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0,3]）
男生平均每天足球运动的时间分布情况:
平均每天足球
运动的时间
[0,
0.5）
[0.5,
1）
[1,
1.5）
[1.5,
2）
[2,
2.5）
[2.5,
3]
人数
2
3
28
22
10
x
女生平均每天足球运动的时间分布情况:
平均每天足球
运动的时间
[0,
0.5）
[0.5,
1）
[1,
1.5）
[1.5,
2）
[2,
2.5）
[2.5,
3]
人数
5
12
18
10
3
y
（1）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到0.1）;
（2）若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”.低于2小时的学生为“非足球健将”.
①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断,能否有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关?
足球健将
非足球健将
总计
男生
女生
总计
②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况,求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率.
参考公式:
K2=
其中n=a+b+c+d.
P（K2≥
k）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
4.（2019全国大联考,19）2018年8月8日是我国第十个全民健身日,其主题是:
新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:
[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
（2）①若从样本中年龄在[50,70）的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000,若18岁以上（含18岁）为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
5.在国际风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.在一次国际风帆比赛中,前7场比赛结束后,排名前8位的选手积分如下表:
运动
员
比赛场次
总分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
3
2
2
2
4
2
6
21
B
1
3
5
1
10
4
4
28
C
9
8
6
1
1
1
2
28
D
7
8
4
4
3
1
8
35
E
3
12
5
8
2
7
5
42
F
4
11
6
9
3
6
8
47
G
10
12
12
8
12
10
7
71
H
12
12
6
12
7
12
12
73
（1）根据表中的比赛数据,比较A与B的成绩及稳定情况;
（2）从前7场平均分低于6.5的运动员中,随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查,求至少1个运动员平均分不低于5分的概率;
（3）请依据前7场比赛的数据,预测冠亚军选手,并说明理由.
6.（2019四川成都石室中学入学考试,19）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位:
件）进行了统计,制成频率分布直方图如下:
（1）若将上述频率视为概率,已知该服装店过去100天的销售中,实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24,求过去100天的销售中,实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数;
（2）若将上述频率视为概率,已知该服装店实体店每天的人工成本为500元,门市成本为1200元,每售出一件利润为50元,求该门市一天获利不低于800元的概率;
（3）根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）.
7.（2019福建莆田二模,19）随着新课程改革和高考综合改革的实施,高中教学以发展学生学科核心素养为导向,学习评价更关注学科核心素养的形成和发展.为此,我市于2018年举行第一届高中文科素养竞赛,竞赛结束后,为了评估我市高中学生的文科素养,从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位:
分）作为样本进行估计,将抽取的成绩整理后分成五组,从左到右依次记为[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）;
（2）采用分层抽样的方法从这1000名学生的成绩中抽取容量为40的样本,再从该样本成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查,求至少有一名学生成绩不低于90分的概率;
（3）我市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰,授予“文科素养优秀标兵”称号.一名学生本次竞赛成绩为79分,请你判断该学生能否被授予“文科素养优秀标兵”称号.
8.（2019河北衡水联考,19）某市100000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试,从中随机抽取100名学生的测试成绩,制作了以下的测试成绩X（满分是184分）的频率分布直方图.
市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工,划定的招聘录取分数线为172分,且补助已经被录取的学生每个人400+100（X-172）元的交通和餐补费.
（1）已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分,求技能测试成绩X的中位数,并对甲、乙的成绩作出客观的评价;
（2）令Y表示每个学生的缴费或获得交通和餐补费的代数和,把Y用X的函数来表示,并根据频率分布直方图估计Y≥800的概率.
参考答案
高考大题专项（六） 概率与统计
1.解
（1）
（217+218+222+225+226+227+228+231+233+234）=226.1mm;
（218+219+221+224+224+225+226+228+230+232）=224.7mm.
（2）由抽取的样本可知,应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为
二等品的概率为
故采用甲工艺生产该零件每天获得的利润:
w甲=300×
×30+300×
×20=7200元;
应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为
故采用乙工艺生产该零件每天获得的利润:
w乙=280×
×30+280×
×20=7000元.
因为w甲>w乙,所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高.
2.解
（1）由频率分布直方图和茎叶图得
解得a=0.5,b=1,c=1.5.
（2）估计这种产品质量指标值的平均数为
=1.35×0.5×0.1+1.45×1×0.1+1.55×3×0.1+1.65×4×0.1+1.75×1.5×0.1=1.6,
估计这种产品质量指标值的方差
s2=（1.35-1.6）2×0.05+（1.45-1.6）2×0.1+（1.55-1.6）2×0.4+（1.75-1.6）2×0.15=0.0105.
（3）∵质量指标值不低于1.50的产品占比为
0.30+0.40+0.15=0.85<0.9,
∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定.
3.解
（1）∵男生抽取的人数为120×
=70,女生抽取人数为120-70=50,
∴x=5,y=2,
∴该校男生平均每天足球运动的时间约为
≈1.6（小时）.
（2）①由表格可知
足球健将
非足球健将
总计
男生
15
55
70
女生
5
45
50
总计
20
100
120
∴K2的观测值k=
≈2.743>2.706,
∴能有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关;
②记不足半小时的两人为a,b,足球运动时间在[0.5,1）内的3人为1,2,3,则总的基本事件有10个,取2名代表都是足球运动时间不足半小时的基本事件是（a,b）,故所求概率为
.
4.解
（1）平均数
=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+（65+75）×0.05=37.
前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数为x,
则（x-30）×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数为35.
（2）①样本中,年龄在[50,70）的人共有40×0.15=6人,其中年龄在[50,60）的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70）的有2人,设为x,y.
则从中任选2人共有如下15个基本事件:
（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,x）,（a,y）,（b,c）,（b,d）,（b,x）,（b,y）,（c,d）,（c,x）,（c,y）,（d,x）,（d,y）,（x,y）.
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件:
（a,x）,（a,y）,（b,x）,（b,y）,（c,x）,（c,y）,（d,x）,（d,y）,（x,y）.
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,
故所求概率P（A）=
.
②样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1-（18-10）×0.015=0.88,
故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88=1760.
5.解
（1）由表格中的数据,我们可以分别求出运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差,作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据.
运动员A的平均分
×21=3,
方差
[（3-3）2+（2-3）2+（2-3）2+（2-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（6-3）2]=2;
运动员B的平均分
×28=4,
方差
[（1-4）2+（1-4）2+（3-4）2+（5-4）2+（10-4）2+（4-4）2+（4-4）2]=8,
从平均分和积分的方差来看,运动员A的平均积分及积分的方差都比运动员B的小,
也就是说,在前7场比赛过程中,运动员A的成绩较为优秀,且表现也较为稳定.
（2）表中平均分低于6.5分的运动员共有5个,其中平均分低于5分的运动员有3个,
平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个,
从这5个数据中任取2个,基本事件总数n=10,从3个运动员中任取2人的事件数为3,
至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分,所以至少1个运动员平均分不低于5分的概率P=1-
.
（3）尽管此时还有4场比赛没有进行,但这里我们可以假设每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同,因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本,并由此估计每位运动员最后的成绩,从已结束的7场比赛的积分来看,运动员A的成绩最为出色,而且表现最为稳定,故预测A运动员获得最后的冠军,而运动员B和C平均分相同,但运动员C得分整体呈下降趋势,所以预测运动员C将获得亚军.
6.解
（1）由题意,网店销售量不低于50件共有（0.068+0.046+0.010+0.008）×5×100=66（天）,实体店销售量不低于50件的天数为（0.032+0.020+0.012×2）×5×100=38（天）,实体店和网店销售量都不低于50件的天数为100×0.24=24（天）,
故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+38-24=80（天）.
（2）由题意,设该实体店一天售出x件,则获利为50x-1700≥800⇒x≥50.
设该实体店一天获利不低于800元为事件A,则
P（A）=P（x≥50）=（0.032+0.020+0.012+0.012）×5=0.38.
故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.
（3）因为网店销售量频率分布直方图中,销售量低于50件的直方图面积为
（0.004+0.020+0.044）×5=0.34<0.5
销售量低于55件的直方图面积为（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68>0.5,
故网店销售量的中位数的估计值为
50+
×5≈52.35（件）.
7.解
（1）成绩落在[60,70）的频率为1-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40,
补全的频率分布直方图如图:
样本的平均数
=55×0.30+65×0.40+75×0.15+85×0.10+95×0.05=67（分）.
（2）由分层抽样知,成绩在[80,90）内的学生中抽取4人,记为a1,a2,a3,a4,
成绩在[90,100]内的学生中抽取2人,记为b1,b2,
则满足条件的所有基本事件为:
（a1,a2）,（a1,a3）,（a1,a4）,（a1,b1）,（a1,b2）,（a2,a3）,（a2,a4）,（a2,b1）,（a2,b2）,（a3,a4）,（a3,b1）,（a3,b2）,（a4,b1）,（a4,b2）,（b1,b2）,共15个,
记“至少有一名学生成绩不低于9”为事件A,
则事件A包含的基本事件有:
（a1,b1）,（a1,b2）,（a2,b1）,（a2,b2）,（a3,b1）,（a3,b2）,（a4,b1）,（a4,b2）,（b1,b2）,共9个.
故所求概率为P（A）=
.
（3）因为
=0.18,所以由频率分布直方图可以估计获得“文科素养优秀标兵”称号学生的成绩最低为80-
=78（分）.
因为79>78,所以该同学能被授予“文科素养优秀标兵”称号.
8.解
（1）技能测试成绩X的中位数为x0分,则
（0.05+0.07）×4+（x0-168）×0.08=0.5,
解得x0=168.25,
所以甲的成绩与中位数接近,乙的成绩超过中位数.
（2）根据题意可得Y=
因为Y≥800⇔X≥176,
由频率分布直方图估计X≥176的概率为0.02×4+0.01×4=0.12,
所以根据频率分布直方图估计得,Y≥800的概率为0.12.
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