分式化简的技巧.docx

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分式化简的技巧

分式化简的技巧

知识点睛

比例的性质：

⑴比例的基本性质：

，比例的两外项之积等于两内项之积.

⑵更比性（交换比例的内项或外项）：

⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：

⑷合比性：

，推广：

（

为任意实数）

⑸等比性：

如果

，那么

（

）

基本运算

分式的乘法：

分式的除法：

乘方：

（

为正整数）

整数指数幂运算性质：

⑴

（

、

为整数）

⑵

（

、

为整数）

⑶

（

为整数）

⑷

（

，

、

为整数）

负整指数幂：

一般地，当

是正整数时，

（

），即

（

）是

的倒数

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，

分式的混合运算的运算顺序：

先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

结果以最简形式存在.

例题精讲

一、基本运算

【例1】计算：

⑴

⑵

⑶

⑷

【巩固】化简

的结果是（）

A．

B．

C．

D．

【巩固】计算

的结果为（）

A．

B．

C．

D．

【例2】计算：

⑴

　　⑵

【巩固】化简：

【巩固】化简：

【例3】化简：

【例4】已知：

，其中

【巩固】当

时，求代数式

的值

【巩固】求代数式

的值，其中

，

，

【例5】计算：

（

为自然数）

【巩固】已知

，求

.

二、整体代入运算

【例6】已知：

，且

．试用

表示

．

【巩固】已知：

，求

的值

【巩固】已知

，求

的值.

【例7】已知分式

的值是

，如果用

，

的相反数代入这个分式，那么所得的值为

，则

、

是什么关系？

【巩固】（第11届“希望杯”邀请赛试题）已知代数式

，当

时，值为1，求该代数式当

时的值．

【例8】已知

，求代数式

的值.

【巩固】已知：

，

，求

的值.

【巩固】已知

，求代数式

的值.

【例9】已知

，求

的值.

【巩固】已知：

，求

的值.

【巩固】（新加坡中学生数学竞赛）

设

，求

【巩固】如果

，求

的值.

三、消元计算

【例10】已知

，

，求代数式

的值.

【巩固】（第

届华罗庚金杯总决赛

试）

已知

，求

的值．

【巩固】（清华附中暑假作业）已知：

，求

的值.

【例11】已知：

，

，且

，求

的值.

【巩固】已知方程组:

（

），求：

四、设比例参数

【例12】已知

，则

=____________.

【补充】设

，

，则

___________．

【例13】若

，求

的值.

【巩固】若

，求

的值.

【巩固】已知

．求

的值．

【例14】已知

，求

的值.

【巩固】已知

，且

，则

的值等于（）

A.9B.10C.8D.7

【巩固】已知

，求证：

.

五、分式与裂项

【例15】设

为正整数，求证：

.

【巩固】化简：

.

【例16】化简：

【巩固】化简：

【例17】已知：

，

，

，求

的值.

【巩固】解方程组：

【例18】化简：

【巩固】化简：

.

【巩固】化简：

.

六、倒数法

【例19】已知：

，求

的值.

【巩固】设

，求

的值.

【巩固】若

，求

的值.

【例20】若

，求

的值.

【巩固】本类题有一种典型错题，如：

已知

，求

的值.

【巩固】（湖北黄冈市初级数学竞赛）设

，其中

，则

【补充】设

，求

的值.

【例21】已知：

，求⑴

；⑵

；⑶

的值.

【巩固】已知：

，求

的值.

【巩固】已知：

，求

的值.

【例22】（上海市高中理科实验班招生试题）已知：

，且

，求

的值.

【巩固】（第17届江苏省竞赛题）

已知

，且

，求

.

【巩固】已知

是

的根，求

的值.

【巩固】（广西竞赛题）已知：

，求

课后作业

【习题1】计算：

⑴

⑵

⑶

【习题2】先化简，再求值:

，其中

【习题3】已知

，

，

，求证：

【习题4】设

，求

的值.

【习题5】（“希望杯”试题）已知

，则

___________．

【习题6】（第11届希望杯试题）已知

，

，

为实数，且

，

，

，求

.

【习题7】已知：

，求

的值.