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规划模型知识
规划模型知识
一、规划模型的概念
引例1、一家具公司生产桌子和椅子，用于生产的全部劳力共计450个工时，原材料是400个单位的木材。
每张桌子要使用15个工时的劳力，20个单位的木材，售价为80元。
每张椅子使用10个工时，用材5个单位，售价45元。
问为达到最大收益，应如何安排生产？
分析：
设
表示应当生产的桌子数；
表示应当生产的椅子数。
则
引例2、某学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元，乙每份售价0.40元。
经检测食品中含有三种学生所需的营养物A、B、C，其中食品中甲每份含A、B、C分别为10mg、3mg、4mg，食品乙每份含A、B、C分别为2mg、3mg、9mg。
而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A、B、C分别为20mg、18mg、36mg。
问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，既能保证足够的营养要求，又花钱最少？
分析：
设一学生进餐应购买食品甲、乙分别为
份，则
定义1
为数学规划模型，简称规划模型。
其中
为决策变量，它通常是该问题要求解的那些未知量。
定义2满足约束条件
（2）的一组
的值称为可行解；所以可行解的全体称为可行域；其中使目标函数达到极大值或极小值的可行解称为最优解，此时，目标函数的值称为最优值。
二、规划模型的基本类型
1、连续型
当模型中决策变量
取值均为连续数值是，称规划模型为连续型的。
此时，若
都是线性函数，称为线性规划模型（LP）；若
至少有一个是非线性函数，称为非线性规划模型（NLP）。
特别的，若
是一个二次函数，而
都是线性函数，则称为二次规划模型（QP），它是一种相对比较简单的非线性规划。
2、离散型
若决策变量
中的一个或多个只取离散数值，则称规划模型是离散型的。
这时，若决策变量
中的一个或多个只取整数数值，称为整数规划模型。
特别的，
中取整数值的范围还只限定为只取0或1，称为0-1规划模型。
三、规划模型举例
1、线性规划模型
例3、一奶制品加工厂用牛奶生产
两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤
，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤
。
根据市场需求，生产的
全部能售出，且每公斤
获利24元，每公斤
获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多加工100公斤
，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。
2、二次规划模型
例4、某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，在产销平衡的情况下，按照市场经济规律，甲产品的价格
由甲、乙两产品的销售量
决定，其线性关系为
。
同时，乙产品的价格
遵循类似的规律：
。
现工厂的生产能力有限，两种牌号产品的产量之和不超过100件，且甲的产量不可能超过乙的产量的两倍，甲、乙的单件生产成本分别为
。
求甲、乙两个牌号的产量使总利润最大。
3、非线性规划模型
例5、某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标
表示，距离单位：
km）及水泥日用量d（单位：
t）由下表给出。
目前有两个临时料场位于
，日储量各有20t。
请回答以下问题：
假设从料场到工地之间均有直线道路相连，试制定每天的供应计划，即从
两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数（运量与运输距离之积）最小。
料场
1
2
3
4
5
6
a
1.25
8.75
0.5
5.75
3
7.25
b
1.25
0.75
4.75
5
6.5
7.25
c
3
5
4
7
6
11
4、整数规划模型
例6、某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：
周一到周四每天至少需要50人，周五至少需要80人，周六和周日至少需要90人。
现规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天雇佣多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。
5、0-1规划模型
例7、一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：
千人）已经表示在图上。
每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？
练习：
1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及某信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：
1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
问：
若该经理有1000万元资金，应如何投资？
练习补充:
1、接例3
进一步讨论以下3个附加问题：
（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否做这项投资？
若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
（3）由于市场需求变化，每公斤
的获利增加到30元，应否改变生产计划？
2、例3给出的
的两种奶制品的生产条件、利润及工厂的“资源”限制全都不变。
为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：
用2小时和3元加工费，可以将1公斤
加工成0.8公斤高级奶制品
，也可将1公斤
加工成0.75公斤的高级奶制品
，每公斤
能获利44元，每公斤
能获利32元。
试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：
1）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？
若每天投资150元，可赚回多少？
2）没公斤高级奶制品
的获利经常有10%的波动，对制定的生产销售计划有无影响？
若每公斤的获利下降10%，计划应该变化吗？
2、接例5
为了进一步减少吨公里数，打算舍弃目前的两个临时料场，改建两个新的料场，日储量仍各为20t，问应建在何处，与目前相比节省的吨公里数有多大。
3、某公司有6个供货栈（仓库），库存货物总数分别为60，55，51，43，41，52。
现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。
各供货栈到8个客户处的单位货物运输价见下表：
货栈
客户
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
W1
6
2
6
7
4
2
5
9
W2
4
9
5
3
8
5
8
2
W3
5
2
1
9
7
4
3
3
W4
7
6
7
3
9
2
7
1
W5
2
3
9
5
7
2
6
5
W6
5
5
2
2
8
1
4
3
试确定各货栈到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。
引入决策变量
，代表从第i个货栈到第j个客户的货物运量。
用符号
表示从第i个货栈到第j个客户的单位货物运价，
表示第i个货栈的最大供货量，
表示第j个客户的订货量。
集合（SET）概念的运用
LINGO程序如下：
MODEL:
SETS:
WH/W1..W6/:
AI;
VD/V1..V8/:
DJ;
LINKS（WH,VD）:
C,X;
ENDSETS
DATA:
AI=60,55,51,43,41,52;
DJ=35,37,22,32,41,32,43,38;
C=6,2,6,7,4,2,5,9
4,9,5,3,8,5,8,2
5,2,1,9,7,4,3,3
7,6,7,3,9,2,7,1
2,3,9,5,7,2,6,5
5,5,2,2,8,1,4,3;
ENDDATA
MIN=@SUM（LINKS（I,J）:
C（I,J）*X（I,J））;
@FOR（WH（I）:
@SUM（VD（J）:
X（I,J））<=AI（I））;
@FOR（VD（J）:
@SUM（WH（I）:
X（I,J））=DJ（J））;
END
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