第二册主题一二元一次联立方程式.docx
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第二册主题一二元一次联立方程式
第二冊主題一二元一次聯立方程式
111---2解解解二元一次聯立方程式
Part1：
：
：
主題探索窗
探索一:
:
:
二元一次聯立方程式及其解
當兩個二元一次方程式，並列在一起時，我們將它們稱為
二元一次聯立方程式或二元一次方程組。
範例1
守守到郵局，買了5元與13元的兩種郵票共18張，總共花了170元；
若5元郵票買x張，13元郵票買y張，請依題意列出二元一次聯立方程式。
解:
由兩種郵票共買18張，可列出二元一次方程式:
。
………
（1）
由總共花了170元，可列出二元一次方程式:
。
。
………
（2）
將
（1）、
（2）並列可得二元一次聯立方程式:
⎧⎨
⎩
⎧x+y=18
答:
x+y=18;5x+13y=170;⎨。
⎩5x+13y=170
練習1
（1）媽媽帶了300元到市場買水果，如果她買3個蘋果、5個水梨，
則剩下30元；如果她想買5個蘋果、4個水梨，則不夠20元。
設蘋果每個x元，水梨每個y元，請依下列步驟，列出二元一次聯立方程式。
解:
由媽媽買3個蘋果、5個水梨，剩下30元，可列出二元一次方程式:
。
………
（1）
再由媽媽買5個蘋果、4個水梨，不夠20元，可列出二元一次方程式:
。
………
（2）將
（1）、
（2）並列可得二元一次聯立方程式:
。
⎧⎨⎩
（2）哥哥與弟弟各有數張紀念卡。
已知弟弟給哥哥6張後，哥哥的張數就是弟弟的3倍；若哥哥給弟弟6張，則哥哥的張數就是弟弟的2倍。
設哥哥的張數為x張，弟弟的張數為y張，請依下列步驟，列出二元一次聯立方程式。
解:
由弟弟給哥哥6張後，
（弟弟給哥哥6張後弟弟6張，哥哥6張）…填入多或少
哥哥的張數就是弟弟的3倍，可列出二元一次方程式:
。
………
（1）
由哥哥給弟弟6張後，
（哥哥給弟弟6張後哥哥6張，弟弟6張）…填入多或少
哥哥的張數就是弟弟的2倍，可列出二元一次方程式:
。
………
（2）
將
（1）、
（2）並列可得二元一次聯立方程式:
。
⎧⎨⎩
在x、y的二元一次聯立方程式中，若x、y的值，同時滿足聯立
方程式中的兩個方程式，則此時x、y的值，稱為二元一次聯立
方程式的解。
。
。
範例2
x=2，y=3是否為下列各二元一次聯立方程式的解。
⎨
（A）⎧3x+y=9
⎩2x+y=8
（B）⎧2x+5y=16
⎨
⎩x+3y=11
（C）⎧2x+3y=13
⎨
⎩x+y=5
⎨
解:
（A）⎧3x+y=9..........
（1）
⎩2x+y=8.........
（2）
將x=2，y=3代入
（1）得:
左式3×+=（填數字）與右式的9（填入是或否）相等
故x=2，y=3（填入是或不是）3x+y=9的一組解。
將x=2，y=3代入
（2）得:
左式2×+=（填數字）與右式的8（填入是或否）相等
故x=2，y=3（填入是或不是）2x+y=8的一組解。
因為x=2，y=3（填入是或不是）方程式
（1）的解；
x=2，y=3（填入是或不是）方程式
（2）的解
⎨
所以x=2，y=3，（填入是或不是）（A）⎧3x+y=9
⎩2x+y=8
⎨
答:
2;3;9;是;是;2;3;7;否;不是;是;不是;不是。
（B）⎧2x+5y=16...........
（1）
⎩x+3y=11.............
（2）
將x=2，y=3代入
（1）得:
左式2×+5×=.與右式的16不相等
的解。
故x=2，y=3（填入是或不是）2x+5y=16的一組解。
⎨
所以x=2，y=3，不是（B）⎧2x+5y=16
⎩x+3y=11
二元一次聯立方程式的解。
注意x=2，y=3不滿足方程式
（1），就不用代入方程式
（2）
答:
2;3;19;不是。
⎨
（C）⎧2x+3y=13..........
（1）
⎩x+y=5...............
（2）
將x=2，y=3代入
（1）得:
左式2×+3×=.與右式的13（填入是或否）相等
故x=2，y=3（填入是或不是）2x+3y=13的一組解。
將x=2，y=3代入
（2）得:
左式2+=.與右式的5（填入是或否）相等
故x=2，y=3（填入是或不是）x+y=5的一組解。
因為x=2，y=3（填入是或不是）方程式
（1）的解；
x=2，y=3（填入是或不是）方程式
（2）的解
⎨
所以x=2，y=3，（填入是或不是）（C）⎧2x+3y=13
⎩x+y=5
的解。
答:
2;3;13;是;是;3;5;是;是;是;是;是。
練習2
（1）x=2，y=1是下列哪些聯立方程式的解?
⎨
（A）⎧3x=8-2y
⎩2x-5y=10
（B）⎧y=2x-3
⎨
⎩y=-7x+15
（C）⎧x-1=y
⎨
⎩3x=7-y
（D）⎧2x-y=0
⎨
⎩5x=7+3y
解:
⎨
（2）若x=-2、y=k是x、y的二元一次聯立方程式⎧3x-5y=9
⎩rx+4y=-7
的解，則
k-r的值等於。
探索二:
:
:
代入消去法將二元一次聯立方程式中的方程式
（1）或
（2），經過移項化簡後，代入另一方程式中，並使此方程式變為一元一次方程式來解題，進而求得聯立方程式的解，我們稱為代入消去法。
範例3
⎨
利用代入消去法，解二元一次聯立方程式⎧x=5...................
（1）
⎩2x+3y=16.......
（2）
解:
由
（1）式x=5代入
（2）式得:
2×（）+3y=16……………（y的一元一次方程式）（）+3y=16
3y=（）
y=（）
故x=5、y=（）是聯立方程式的解。
爲確定答案之正確性，可將解（x,y）代入聯立方程式中做驗算。
答:
5;10;6;2;2。
⎨
範例4利用代入消去法，解二元一次聯立方程式⎧2x-3y=5.....
（1）
⎩x=9y.............
（2）
解:
由
（2）式x=9y代入
（1）式得:
2×（）-3y=5………（將x用9y代入）
（）-3y=5……………（y的一元一次方程式）（）y=5
y=（）代入
（2）式……[亦可代入
（1）式]
x=9×（）
x=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
答:
9y;18y;15;1;1;3;3;1。
333
練習4
利用代入消去法，解下列各二元一次聯立方程式。
⎨
（1）⎧-2x=y............
（1）
⎩8x-3y=7.......
（2）
解:
由
（1）式-2x=y可看成y=（），代入
（2）式得:
8x-3×（）=7
8x-（）=7（）x=7
x=（）代入
（1）式……[亦可代入
（2）式]
-2×（）=yy=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
⎨
（2）⎧4x-y=-3........
（1）
⎩y=2x-1..........
（2）
解:
由
（2）式y=2x-1代入
（1）式得:
4x-（）=-3………（將y用2x-1代入）
4x-2x1=-3……（填入+或-）
2x=（）
x=（）代入
（2）式……[亦可代入
（1）式]
y=2×（）-1
y=（）
⎨
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
（3）⎧-5x+2y=12......
（1）
⎩x=y....................
（2）
解:
範例5
⎨
利用代入消去法，解二元一次聯立方程式⎧x-2y=8...............
（1）
⎩-3x+4y=-18......
（2）
解:
由
（1）式x-2y=8移項後x=2y+8，代入
（2）式得:
-3×（）+4y=-18………（y的一元一次方程式）（）+4y=-18
（）y=（）
y=（）代入
（1）式……[亦可代入
（2）式]
x-2×（）=8
x=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
答:
2y+8;-6x-24;-2;6;-3;-3;2;2;-3。
練習5
利用代入消去法，解下列各二元一次聯立方程式:
⎨
（1）⎧2x+3y=8.......
（1）
⎩4x-y=2.........
（2）
解:
由
（2）式4x-y=2移項後
-y=（）+2…………注意符號變化
y=（），代入
（1）式得:
2x+3×（）=8
2x+（）=8
（）x=（）
x=（）代入
（1）式……[亦可代入
（2）式]
2×（）+3y=8
3y=（）
y=（）
⎨
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
（2）⎧x-2y=7.........
（1）
⎩3x+4y=6.......
（2）
解:
範例6
⎨
利用代入消去法，解二元一次聯立方程式⎧3x-2y=9.......
（1）
⎩4x-3y=29.....
（2）
解:
由
（1）式3x-2y=9移項後………也可以改由
（2）式開始
3x=（）+9
x=（
3
）代入
（2）式得:
4×（
）-3y=29……（y的一元一次方程式）
3
同乘3得:
4×（）-（）=（）……（去分母）
去括號得:
=
移項化簡:
（）y=（）
y=（）代入
（1）式…[亦可代入
（2）式]
3x-2×（）=9
3x=（）
x=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
此類型之題目，可以用加減消去法來處理，比較方便。
答:
2y;2y+9;2y+9;2y+9;9y;87;8y+36-9y;87;-1;51;-51;-51;
-93;-31;-31;-51。
練習6
利用代入消去法，解下列各二元一次聯立方程式:
⎨
（1）⎧5x+3y=2......
（1）
⎩4x-5y=9......
（2）
解:
由
（1）式5x+3y=2移項後
5x=（）+2
x=（
5
）代入
（2）式得:
4×（
）-5y=9……（y的一元一次方程式）
5
同乘5得:
4×（）-（）=（）……（去分母）
去括號得:
=
移項化簡:
（）y=（）
y=（）代入
（1）式…[亦可代入
（2）式]
5x+3×（）=2
5x=（）
x=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
⎧2x+5y=12.......
（1）
（2）⎨
⎩6x-4y=-2......
（2）
解:
探索三:
:
:
加減消去法
將二元一次聯立方程式中的方程式
（1）或
（2），利用等量公理做運算之後[即方程式
（1）或
（2）各乘某些倍數之後]，可使方程式
（1）與
（2），相加或相減之後，變成一元一次方程式來解題，進而求得聯立方程式的解，我們稱為加減消去法。
範例7
⎨
求二元一次聯立方程式⎧3x+2y=5......
（1）
⎩x+2y=-1......
（2）
的解為何？
解:
因為y前面的數字都是2……（又稱y的係數）
所以將方程式
（1）減去方程式
（2），可消去y，變成一元一次方程式:
3x+2y=5
-）x+2y=-1
（）x=（）…………y消去了
x=（）代入
（1）式…[亦可代入
（2）式]
3×（）+2y=5
2y=（）
y=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
答:
2;6;3;3;-4;-2;3;2。
練習7
⎨
利用加減消去法，解二元一次聯立方程式⎧3x-199y=8.......
（1）
⎩4x+199y=13.....
（2）
解:
因為y前面的數字在式
（1）中為:
-199;在式
（2）中為:
199（即係數為相反數）所以將方程式
（1）與方程式
（2）相加，可消去y，變成一元一次方程式:
3x-199y=8………
（1）
+）4x+199y=13………
（2）
（）x=（）…………y消去了
x=（）代入
（2）式…[亦可代入
（1）式]
4×（）+199y=5
199y=（）
y=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
範例8
⎨
利用加減消去法，解二元一次聯立方程式⎧3x-2y=9.......
（1）
⎩4x-3y=29.....
（2）
解:
從題目知x或y前面的數字（係數），沒有相同或為相反數，所以無法直接將方程式
（1）與方程式
（2）相加或相減，消去x或y，變成一元一次方程式，故需經等量公理處理改成上述之情形，再解
二元一次聯立方程式。
方法一:
（欲消去x）
⎧3x-2y=9.......
（1）
⎨
⎩4x-3y=29.....
（2）
（）=（）……
（1）×4
-）（）=（）……
（2）×3（x的前面數字相同→相減）
（
）y=（
）…………x消去了
y=（
）代入
（1）式…[亦可代入
（2）式]
3x-2×（
）=9
3x=（
）
x=（
）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
答:
12x-8y;36;12x-9y;87;1;-51;-51;-51;-93;-31;-31;-51。
方法二:
（欲消去y）
⎧3x-2y=9.......
（1）
⎨
⎩4x-3y=29.....
（2）
（）=（）……
（1）×3
-）（）=（）……
（2）×2（y的前面數字相同→相減）（）x=（）…………y消去了
x=（）代入
（1）式…[亦可代入
（2）式]
3×（）-2y=9
-2y=（）
y=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
答:
9x-6y;27;8x-6y;58;1;-31;-31;-31;102;-51;-31;-51。
練習8
利用加減消去法，解下列各二元一次聯立方程式。
⎨
（1）⎧11x+6y=8.......
（1）
⎩5x-4y=44......
（2）
解:
觀察先消去x或y，消去哪一個較好算。
y的係數之最小公倍數較小，消去y較好算（消去x亦可，只是數據稍大）。
（）=（）……
（1）×2
+）（）=（）……
（2）×3（y的前面數字為相反數→相加）（）x=（）…………y消去了
x=（）代入
（1）式…[亦可代入
（2）式]
11×（）+6y=8
6y=（）
y=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
⎨
⎪
（2）⎧5x+4y=42..........
（1）
⎩-2x+13y=27......
（2）
解:
範例9
解下列各二元一次聯立方程式。
0
⎪
⎧.5x＋y＝4
（1）⎨33
⎪3x－0.2y＝1
⎪⎩2
解:
先將小數改成分數
⎧xy4
＋＝......
（1）
⎪）33
（
⎨
⎪3x－
⎪⎩2（
y＝1......
（2）
）
（）+2y=（）……
（1）×6…………（3）
+）（）=（）……
（2）×10（y的前面數字相同→相加）
（）x
=（
）…………y消去了
x=（
）代入（3）式
3×（）+2y=（）
2y=（）
y=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
答:
2;5;3x;8;15x-2y;10;18;18;1;1;8;5;5;1;5。
22
⎨
（2）⎧5x+3y=2（x-2y）-1
⎩3（2x+y）=4x+1
解:
先去括號
⎧5x+3y=（
⎨
）-1
⎩（）=4x+1
移項（x、y移至左邊，常數移至右邊）
⎧（）x+（
⎩（
⎨）x+（
）y=-1....
（1）
）y=1......
（2）
（）=（）……
（1）×2
-）（）=（）……
（2）×3（x的前面數字相同→相減）
（）y=（）…………x消去了
y=（）代入
（1）式（）=-1
x=（）
故x=（）、y=（）是聯立方程式的解。
答:
2x-4y;6x+3y;3;7;2;3;6x+14y;-2;6x+9y;3;5;-5;-1;3x-7;2;2;
-1。
練習9
解下列各二元一次聯立方程式。
⎧4x-5y=2
3
⎪3
（1）⎨
⎪-1x+3y=0.7
25
解:
⎧3（2x-y）=2x+4y+2
（2）⎨
⎩7（x-y）=2（2x+y）+9
解:
範例10
若
⎧ax+by=-1
⎨
⎩6x-5y=-4
⎧ax-2by=11
⎨
與
⎩5x-2y=1
有相同的解，則2a-b之值為何?
解:
因為兩組聯立方程式有相同的解，也表示4個二元一次方程式有
⎨
相同的解，所以先解⎧6x-5y=-4
⎩5x-2y=1
，再將解x、y代入⎧ax+by=-1
⎨
⎩ax-2by=11
，題目改為解a、b的聯立方程式，解之，即可求得a、b的值。
⎧6x-5y=-4......
（1）
⎨
⎩5x-2y=1.........
（2）
（）=（）……
（1）×2
-）（）=（）……
（2）×5（y的前面數字相同→相減）
（）x
=（
）…………y消去了
x=（
）代入
（1）式…[亦可代入
（2）式]
6×（）-5y=-4
-5y=（）
y=（）
⎨
再將x=（）、y=（）代入⎧ax+by=-1
⎩ax-2by=11
（改解a、b的聯立方程式）
⎨
可得:
⎧（
⎩（
）a+（
）a+（
）b=-1
）b=11
最後可得:
a=（）、b=（）
2a-b=（）。
答:
12x-10y;-8;25x-10y;5;-13;-13;1;1;-10;2;1;2;1;2;1;-4;3;-2
;8。
練習10
⎨
若x比y大2，且x、y滿足聯立方程式⎧ax-3y=2...
（1）
⎩5x+y=10...
（2）
解:
因為x比y大2，可得方程式:
x=y+（）……（3）
，則a=?
由
⎧5x+y=10.........
（2）
⎨
解聯立可得:
⎩x=y+（
）......（3）
x=（）、y=（）代入
（1）可得:
a×（）-3×（）=2a=（）
範例11
⎨
創創與守守同解一聯立方程式⎧ax+by=8......
（1）
⎩4x-cy=6......
（2）
，創創解得正確答案為
x=3、y=2，守守不小心看錯c，其它沒看錯也沒計算錯，解得x=3.5、
y=1，試求出a、b、c之值。
解:
創創解得正確答案為x=3、y=2（代入聯立方程式），代入
（1）得:
（）a+（）b=8。
（a,b的二元一次方程式）……（3）代入
（2）得:
4×3-c×2=6
c=（）。
守守不小心看錯c，其它沒看錯也沒計算錯，解得x=3.5、y=1只能代入聯立方程式中的
（1）……[若代入
（2）得看錯的c,無用]
代入
（1）得:
（）a+（）b=8。
（a,b的二元一次方程式）……（4）
⎨
由解⎧（
⎩（
）a+（
）b+（
）b=8.........（3）可得
）b=8.........（4）
a=（），b=（）
答:
3;2;3;3.5;1;3;2;3.5;1;2;1。
練習11
⎨
柯西與袁太同解一聯立方程式⎧x+ay=6
⎩bx-3y=5
，柯西看錯a，其它計算無
誤，得x=1、y=-1;袁太看錯b其它計算無誤，得x=2、y=2，試求
a、b與聯立方程式正確的解。
解:
探索四:
:
:
二元一次聯立方程式的應用範例12
空白VCD片一打200元，空白DVD片一打300元，創創共買了10打
，結帳時店員將兩種價目看反了，結果使得創創多付了200元。
試問創創買空白VCD片多少打?
買空白DVD片多少打?
解:
設VCD片買了x打，DVD片買了y打由創創共買了10打
可列:
（）=10……
（1）
結帳時店員將兩種價目看反了，結果使得創創多付了200元可列:
200x+300y=（）……
（2）
⎨
解聯立⎧（
）=10.........................................
（1）
⎩200x+300y=（
可得x=（）、y=（）
）........
（2）
答:
創創買空白VCD片打，買空白DVD片打。
答:
x+y;200y+300x-200;x+y;200y+300x-200;6;4;6;4。
範例13
巧克力一包若干個，分給一群小朋友，若每個人分6個，則還剩下
16個;若每個人分8個，則不夠8個，試問這包巧克力有多少個?
這一群小朋友有多少人?
解:
設這一群小朋友有x
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