初级数学全等三角形.docx

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初级数学全等三角形

初2013级数学全等三角形

一、本章基础知识

1、全等三角形必须满足

（1）_________________相同的图形；

（2）________________相同的图形；

（3）能够完全_____________的图形。

由此我们就可以看到：

_______________的两个图形叫做全等形。

同样，我们把能够___________________的两个三角形叫做全等的三角形，____________叫做对应顶点，_____________叫做对应边，____________叫做对应角。

书写全等三角形时一定要把表示_____________的字母写在对应位置上。

2、两个全等三角形的位置发生了变化，但它们的____________和____________仍然不发生变化。

因此，全等三角形有下列两个重要性质：

（1）全等三角形的____________相等；

（2）全等三角形的____________相等。

3、全等三角形的判定方法：

对于一般三角形可以用“____________”、“____________”、“____________”、“____________”这四种方法来判定，而对于直角三角形，除了运用述四种方法判定外，还可以利用一种特殊的判定方法，即“_________”。

由此，要判定两个三角形全等，必须有三对（直角三角形两对）对应元素相等，并且其中至少要有一对是_____。

4、角平分线的两个性质：

（1）_______________；

（2）_______________。

5、利用角平分线的性质不但可以证明线段相等角相等，而且可以省去一次全等的证明．

6、利用全等三角形的知识解决实际问题，就是利用已学的知识来证明分别属于两个三角形的边相等或者角相等的问题，或通过构造两个三角形再证明这两个三角形全等，从而解决实际问题。

二、练习

1、如图1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系（　　）

A．PC＞PDB．PC＝PDC．PC＜PDD．不能确定

2、已知如图2，点C，D在线段AB上，PC＝PD。

请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，所添的条件是_____________。

你得对的一对全等三角形是△______≌△_____。

3、已知如图3，AB＝AC，AE＝AD，点D、E分别在AB、AC上，求证：

∠B＝∠C。

4、如图4，将两根钢条AA’，BB’的中点O连在一起，使AA’，BB’可以绕点O自由转动，就做成一个测量工具，则A’B’的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB≌△A’OB’的理由是（　）

A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边

5、如图5，AB∥CD，AB＝CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A＝∠C，求证：

AE＝CF。

6、如图6，△ABC是格点三角形，请在图中画出与△ABC全等的一个格点三角形。

7、一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形张片，再将这两张三角形纸片摆成中图7所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。

（1）求证：

AB⊥ED。

（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。

轴对称

一、本章基础知识

1、线段的垂直平分线上的点到这条线段___________相等：

与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的____________上．线段的垂直平分线可以看做和线段两端点距离相等的_____________的集合．

2、在平面直角坐标系中，要求作点A（a，b）关于x轴对称点A’的坐标，就是______坐标不变，_________坐标互为相反数．作点A（a，b）关于y轴对称点B’的坐标，就是_______坐标不变，__________坐标互为相反数．

3、等腰三角形的两个________角相等．（简称_____________）

4、等腰三角形的___________、___________、___________互相重合。

5、如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角__________也相等。

（简称__________）

6、等边三角形的三个内角都___________，都是________0；三个角都相等的三角形是___________；有一个角是600的___________是等边三角形。

7、在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于__________。

二、练习

1、如图1，将一正方形纸片按图中1,2的方式依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面4个图案中的（　　）

2、已知两点A（m―1,―3）与B（2,n+1）关于x轴对称，则m=______,n=______.

3、如图5，由小正方形组成的L形图形中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形，如图

（1）、

（2）、（3）。

4、（等腰三角形形状不定需分类）已知等腰三角形的周长为12，其中一边长为3，求中两边的长。

5、如图6，在△ABC中，∠BAC＝1000，BC＝10厘米，若MP、NQ分别垂直平分AB，AC于M、N，试求∠PAQ的度数和△AQP的周长。

6、如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连接AD、BE交于P，作BQ⊥AD，垂足为Q，求证：

BP＝2PQ

7、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝1200，AC的垂直平分线EF交AC于E，交BC于F，求证：

BF＝2CF。

实　数

一、知识要点

1、平方根

（1）平方根的概念：

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（二次方根）。

用数学语言表达为：

若x2=a，则x叫做a的平方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方运算。

（2）平方根的性质

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

（3）算术平方根：

正数a有两个平方根（±

），把其中正的平方根叫做a的算术平方根。

表示为

．

0的平方根也叫做0的算术平方根．

（4）平方根与算术平方根的区别及联系

区别：

（1）定义不同：

“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做n的算术平方根”．

（2）个数不同：

一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个．

（3）表示方法不同：

正数。

的平方根表示为±

，正数a的算术平方根表示为

．

（4）取值范围不同：

正数的算术平方根一定是正数：

正数的平方根则一正一负，两数互为相反数．

联系：

（1）具有包含关系：

平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种．

（2）存在条件相同：

平方根和算术平方根都只有非负数才有．

（3）0的平方根、算术平方根均为0．

2、立方根

（1）立方根的概念：

如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（也称数a的三次方根）．

用数学式表示为：

若x3=a．则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方运算与立方运算互为逆运算．

（3）立方根的表示方法：

类似于平方根的表示方法，数a的立方根我们用符号

来表示，读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数．

（4）立方根的性质：

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数，0的立方根是0．

3、实数的运算

（1）实数加、减法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：

互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．④减去一个数，等于加上这个数的相反数．

（2）实数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负：

当负因数有偶数个时，积为正．③几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

（3）实数除法法则：

①除以一个数等于乘上这个数的倒数．②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．③除数不能等于0．

{4）实数的乘方法则：

①实数的乘方运算是利用实数的乘法运算进行的．②正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

（5）实数的混合运算

实数的运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的．

4、实数的运算性质

加法的交换律：

两个数相加．交换加数的位置．和不变．即a+b=b+a．

加法的结合律：

三个数相加。

先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即（a+b）+c=a+（b+c）．

乘法的交换律：

两个数相乘，交换因数的位置．积不变．即ab=ba．

乘法的结合律：

一个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘．积不变．即（ab）c=a（bc）．

乘法对加法的分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘。

再把积相加．即a（b+c）=ab+ac．

5、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．一般规定从原点方向向有为正方向．

有了数轴，数和形得到了初步结合．这有利于对数学问题的研究．数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法．本课知识要点如下表：

定义

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴

三要素

原点正方向单位长度

应用

实数与数轴上的点一一对应

数形

比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大

在理解并掌握数轴概念的基础之上．会画数轴，能将已知数在数轴上表示出来．能说出数轴上已知点所表示的数，要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小．

二、练习

1、请你写出一个比0.1小的有理数___________。

2、若a，b都是无理数，且a+b=1，则a,b的值可能是__________（填上一组满足条件的值即可）。

3、大家知道

是一个无理数，那么

在哪两个整数之间（　　）

A．1与2B．2与3C．3与4D．4与5

4、估计

的大小关系是：

（填“＞”、“＜”或“＝”）。

5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简

6、如图2，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）。

假设硬币的直径为1单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A’重合，则点A’对应的实数是_____________。

7、用计算器计算：

请你猜测

8、某学生用一架不等臂天平称药品，第一次将左盘放入50克砝码，右盘放药品，使天平平衡。

第二次将右盘放入50克砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品的质量和（　　）

A．等于100克B．大于100克C．小于100克D．以上情况都有可能

9、观察下列等式（等式中的“！

”是一种数学运算符号），1！

＝1,2！

＝2×1,　3！

＝3×2×1,4！

＝4×3×2×1，…计算：

10、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：

输入

…

1

2

3

4

5

…

输出

…

…

那么，当输入数据为8时，输出的数据为_____________.

一次函数

一、本章知识点

1、在一个变化过程中，始终保持不为的数值，称为_____________，不断发生变化的量称为_____________。

2、在某一变化过程中，有两个变量x与y，如果对x的每一个值，y都有唯一的一个值与之对应，那么我们就说y是x的_____________，x是_____________。

3、函数的表示方法有_____________、_____________、_____________。

4、画函数图像的步骤可分为_____________、_____________、_____________三步。

5、形如5、形如=kx（k是常数，且k≠0）的函数，叫做_____________，其中k叫做_____________。

6、正比例函数y=kx（k是常数，且k≠0）的图像是经过原点O（0,0）和A___________的一条直线。

7、正比例函数y=kx（k是常数，且k≠0），当k＞0时，直线经过________象限，y随x的增大而________；当k＜0时，直线经过_____象限，y随x的增大而________。

8、若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）的形式，则称y是x的__________。

9、一次函数y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）的图象是____________。

10、一次函数y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）当k＞0时，y随x的增大而________；当k＜0时，y随x的增大而__________。

11、一次函数y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）的图象与k,b的符号关系为：

（1）当k＞0，b＞0时，图象经过_________、________、__________象限。

（2）当k＞0，b＜0时，图象经过_________、________、__________象限。

（3）当k＜0，b＞0时，图象经过_________、________、__________象限。

（4）当k＜0，b＜0时，图象经过_________、________、__________象限。

12、先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知数的值，从而写出这个式子的方法，叫做_____________。

13、直线y=kx+b与x轴交点的横坐标为_____________，它就是一元一次方程___________的解。

二、练习

1、汽车发动过程中用60秒的时间把速度提升至80千米、时，匀速行驶一段时间后，再用30秒的时间把汽车停下来，能反映汽车这一运动过程中速度v与时间t关系的图像是（　　）

2、已知点A（4,2）在函数=2x+b的图像上，试判断点B（－2,3）是否在函数的图像上。

3、观察图像（如图1），写出弹簧总长y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系，并求弹簧不挂物体时的长度。

4、已知一次函数y=kx+b的图像经过点（3，－3），且与直线y=4x－3的交点在x轴上。

5、某软件公司开发一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用50000元，且每售出一套软件还需支付安装调试费用200元。

（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式；

（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？

6、如图4所示，在平面直角坐标系中，CA⊥x轴于点A（1,0），DB⊥x轴于点B（3,0），直线D与x轴、y轴分别交于点E、F，且解析式为y=kx+3，S四边形ABDC＝4，求直线CD的解析式。

整式乘除与因式分解

一、本章知识要点

（一）幂的运算性质

1、am·an=_________（m,n为正整数），同底数幂相乘，底数不变，指数________。

2、（am）n=__________（m,n为正整数），幂的乘方，底数不变，指数________。

3、积的乘方，等于把积的每一个因式分别___________，再把所得的___________相乘。

4、am÷an=_________（a≠0，m,n都是正整数，且m＞n）。

同底数幂相除，底数不变，指数________。

5、a0=________（a≠0），任何一个不等于零的数的零次幂都等于___________。

（二）整式乘除法法则

6、单项式的乘法法则：

单项式与单项式相乘，把它们的__________、__________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的__________作为积的一个因式。

7、单项式乘多项式法则：

单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘__________，再把所得的积相加。

8、多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘__________，再把所得的积相加。

9、单项式的除法法则：

单项式相除，把_____、_____分别相除，作为商的因式。

对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

10、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以__________，再把所得的商相加。

11、添括号的法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_________；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都__________。

（三）乘法公式

12、平方差公式：

（a+b）（a－b）=______________。

文字语言叙述：

四个数的和与这两个数的差的积，等于__________.

13、完全平方公式：

（a+b）2=__________，（a－b）2=______________.

文字语言叙述：

两个数的和（或差）的平方等于这两个数的__________加上（或减去）这两个数的__________。

（四）因式分解

14、因式分解的定义：

把一个多项式化成__________的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

15、因式分解与整式乘法的关系：

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把__________化为__________的形式，而整式乘法是把__________化为__________的形式。

16、因式分解的常用方法：

（1）提公因式法。

（2）公式法。

①平方差公式：

a2－b2=__________

②完全平方公式：

a2+2ab+b2=__________a2－2ab+b2=__________

二、练习

1、计算：

2（a5）2+a4·（－a2）3+（－a2）7÷a4

2、已知（x2+nx+3）（x2－3x+m）的展式式中不含x2和x3项，求m，n的值。

3、阅读材料并解答问题：

我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积表示。

（1）请写出图3所表示的代数恒等式。

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2。

（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。

4、下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？

（1）8a2b3c=2a2b·2b2·2c；

（2）3a2+6a=3a（a+2）；

（3）

（4）x2―4+3x=（x+2）（x―2）+3x；

（5）ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b）；

（6）（2a+5b）（2a―5b）=4a2―25b2。

5、下列变形中，因式分解对不对？

（1）x2y―xy2=xy（x―y）；

（2）a3―2ab+ab2=a（a―b）2=a（a2―2ab+b2）；

（3）6a2b―4ab2+2ab=2ab（3a―2b）；

（4）4a2―100=（2a+10）（2a―10）；

（5）a2―b2=（a―b）2。

6、分解因式：

（1）16―a4；

（2）8a2b―8a3―2ab2。