初中复习方略数学第十三讲 二次函数的应用.docx

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初中复习方略数学第十三讲二次函数的应用

第十三讲　二次函数的应用

知识清单·熟掌握

抛物线型问题

应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路

1．建立平面直角坐标系：

根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．

2．设函数解析式：

根据所建立的坐标系，设出解析式．

3．求解析式：

将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．

4．解决实际问题：

把问题转化为已知抛物线上点的横坐标（或纵坐标），求其纵坐标（或横坐标），再转化为线段的长，解决实际问题．

1．飞机着陆后滑行的距离y（单位：

m）与滑行时间t（单位：

s）的函数关系式满足y＝－

t2＋60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25m．（×）

2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝－

x2＋

x＋

，则小强此次成绩为10米．（√）

利润最大化问题

应用二次函数性质解决最优化问题的思路

1．分析题中数量关系，确定变量．

2．根据等量关系，构建二次函数模型．

3．根据函数性质，确定最值．

在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．

考点一　应用二次函数解决抛物线型实际问题

类型一：

隧道和拱桥问题

【典例1】（2021·衢州中考）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱顶部O离水面的距离．

（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可．

【自主解答】

（1）根据题意可知点F的坐标为（6，－1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：

y1＝a1x2.

将F（6，－1.5）代入y1＝a1x2有：

－1.5＝36a1，求得a1＝－

，

∴y1＝－

x2，

当x＝12时，y1＝－

×122＝－6，

∴桥拱顶部离水面高度为6m.

（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x－6）2＋1，

将H（0，4）代入其表达式有：

4＝a2（0－6）2＋1，求得a2＝

，

∴右边钢缆所在抛物线表达式为：

y＝

（x－6）2＋1，

②设彩带的长度为Lm，

则L＝y2－y1＝

（x－6）2＋1－

＝

x2－x＋4＝

（x－4）2＋2，

∴当x＝4时，L最小值＝2，

答：

彩带长度的最小值是2m．

类型二：

运动轨迹问题

【典例2】（2021·北部湾中考）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：

y＝－

x2＋

x＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：

y＝－

x2＋bx＋c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）.

（2）在

（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．

【思路点拨】

（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：

y＝－

x2＋bx＋c求出b，c的值即可写出C2的函数解析式；

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：

－

m2＋

m＋4－

＝1，解出m即可；

（3）求出山坡的顶点坐标为

，根据题意即－

×72＋7b＋4＞3＋

，再解出b的取值范围即可．

【自主解答】

（1）由题意可知抛物线C2：

y＝－

x2＋bx＋c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：

，解得：

，

∴抛物线C2的函数解析式为：

y＝－

x2＋

x＋4.

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：

－

m2＋

m＋4－

＝1，

整理得：

（m－12）（m＋4）＝0，

解得：

m1＝12，m2＝－4（舍去），

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．

（3）C1：

y＝－

x2＋

x＋1＝－

（x－7）2＋

，

当x＝7时，运动员到达坡顶，

即－

×72＋7b＋4＞3＋

，

解得：

b＞

.

此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c值，落地点为抛物线与x轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．

（1）投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；

（2）判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；

（3）判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y值小；

（4）判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低．

（2021·台州中考）以初速度v（单位：

m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：

m）与小球的运动时间t（单位：

s）之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2,则t1∶t2＝__

__．

考点二　利润最大化问题

类型一：

顶点处取最值

【典例3】（2021·达州中考）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．

（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？

（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

【解析】

（1）由题意得：

W＝（48－30－x）（500＋50x）＝－50x2＋400x＋9000，

x＝2时，W＝（48－30－2）（500＋50×2）＝9600（元），

答：

工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x＋9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；

（2）由

（1）得：

W＝－50x2＋400x＋9000＝－50（x－4）2＋9800，

∵－50＜0，

∴x＝4时，W最大为9800，

即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．

（3）－50x2＋400x＋9000＝9750，

解得：

x1＝3，x2＝5，

∵让利于民，

∴x1＝3不合题意，舍去，

∴定价应为48－5＝43（元），

答：

定价应为43元．

类型二：

不在顶点处取最值

【典例4】（2021·鄂州中考）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.

（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）.

（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？

最大利润是多少？

（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）

【思路点拨】

（1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可．

（2）根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值．

【自主解答】

（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx＋b（k≠0），

依题意得：

，解得：

，

∴y与x之间的函数关系式为y＝4x＋200；

（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，

依题意得：

W＝[2160－（4x＋200）＋120]·x＝－4x2＋2080x＝－4（x－260）2＋270400，

∵－4<0，

∴当x<260时，W随x的增大而增大，

由题意知：

x≤240，

∴当x＝240时，W最大，最大值为－4（240－260）2＋270400＝268800（元），

答：

种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．

类型三：

在自变量不同取值范围上求最值

【典例5】（2020·荆门中考）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x（天）的函数关系式为p＝

，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大？

最大销售额是多少？

（销售额＝销售量×销售价格）

【思路点拨】

（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）根据题意和

（1）中的结果，可以得到利润与x之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．

【解析】

（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax＋b，则

，解得

，

即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝－2x＋80，

当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx＋n，

则

，解得

，

即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x－40，

由上可得，y与x的函数关系式为

y＝

.

（2）设当月第x天的销售额为w元，

当0＜x≤20时，w＝

×（－2x＋80）

＝－

（x－15）2＋500，∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，当20＜x≤30时，w＝

×（4x－40）＝－

（x－35）2＋500，

∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，

由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500.

答：

当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．

1．求关于利润的二次函数解析式的两种思路

（1）若题目给出销售量与单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：

销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×（销售价－进价）来解决；

（2）若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×（销售价－进价）来解决．

2．求二次函数的最值的两种方法

（1）可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y＝ax2＋bx＋c的最大值为

（a＜0）或最小值为

（a＞0）.

（2）若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．

1．（2021·连云港中考）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元．

2．（2021·南充中考）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝－

x＋12.在

（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入－购进支出）

【解析】

（1）设苹果的进价为x元/千克，

根据题意得：

＝

，

解得：

x＝10，

经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，

答：

苹果的进价为10元/千克．

（2）当0≤x≤100时，y＝10x；

当x＞100时，y＝10×100＋（x－100）（10－2）＝8x＋200；

∴y＝

.

（3）当0≤x≤100时，

w＝（z－10）x

＝

x

＝－

（x－100）2＋100，

∴当x＝100时，w有最大值为100；

当100＜x≤300时，

w＝（z－10）×100＋（z－8）（x－100）

＝

×100＋

（x－100）

＝－

x2＋4x－200

＝－

（x－200）2＋200，

∴当x＝200时，w有最大值为200；

∵200＞100，

∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大，为200元．

答：

一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．

考点三　几何图形面积问题

【典例6】（2020·孝义市质检）如图所示，正方形区域ABCD是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化（阴影部分），剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所（四边形EFGH），其中AB＝100米，且AE＝AH＝CF＝CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？

【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF＝DG＝DH，

∴△AHE，△BEF，△CGF，△DGH都是等腰直角三角形；

设AE＝x米，则BE＝（100－x）米．

设四边形EFGH的面积为S，

则S＝100×100－2×

x2－2×

（100－x）2＝－2x2＋

200x（0＜x＜100）.∵S＝－2（x－50）2＋5000.

∵－2＜0，∴当x＝50时，S有最大值为5000.

答：

当AE＝50米时，市民健身活动场所的面积达到最大．

解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．

（2019·连云港中考）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（C）

A．18m2B．18m2C．24m2D．

m2

人教版九年级下册　P29　练习　T2

　某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？

【思路点拨】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．

【自主解答】设房价为（180＋10x）元，则定价增加了10x元，此时空闲的房间为x，

由题意得，y＝（180＋10x）（50－x）－（50－x）×20＝－10x2＋340x＋8000＝－10（x－17）2＋10890

故可得当x＝17，即房间定价为180＋170＝350元的时候利润最大．

答：

房间定价为350元时，利润最大．

　（变换条件与问法）（2021·济宁中考）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？

最大利润是多少？

【解析】

（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x－5）元，

根据题意得：

＋

＝100，

整理得：

x2－18x＋45＝0，

解得：

x＝15或x＝3（舍去），

经检验，x＝15是原分式方程的解，符合实际，

∴x－5＝15－5＝10（元），

答：

甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．

（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，

由题意得：

w＝（15－a）（100＋20a）＝－20a2＋200a＋1500＝－20（a－5）2＋2000，

∵－20<0，

∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元．

答：

当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元.

　（变换条件与问法）（2021·黄冈中考）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：

元/件），月销售量为y（单位：

万件）.

（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．

【解析】

（1）由题知，y＝5－（x－50）×0.1，整理得y＝10－0.1x（40≤x≤100）；

（2）设月销售利润为z，由题知，z＝（x－40）y＝（x－40）（10－0.1x）＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1（x－70）2＋

90，∴当x＝70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；

（3）由

（2）知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即（70－40－a）×（10－0.1×70）＝78，

解得a＝4，∴a的值为4.