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数学建模论文
数学建模竞赛论文
论文题目：
最优人力资源安排问题
姓名1：
学号：
专业：
测绘工程专业
姓名1：
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专业：
测绘工程专业姓名1：
学号：
专业：
测绘工程专业
2013年4月30日
最优人力资源安排问题
摘要
人力资源，是一个企业除资金资源外的另一主要资源。
而人力资源又是在企业可调配资源中最具能动性和爆发力的。
每个公司都有它的人力资源部，但是这个部门应该如何在公司高管面前，在公司里其他强势部门面前作出持续的，有效的，杰出的表现呢？
可是，事实上，随着中国经济发展和产业结构调整，如何有效调配好人力资源渐渐成为发展的瓶颈。
如何在保证专业人员结构符合客户的要求下合理的分配现有的技术力量，使得企业单位直接收益最大化已成为每个公司需要解决的问题。
所谓知人善用，这样就能够使企业在压力倍增的企业环境下具有持久的竞争优势。
很多ＨＲ从业者，经理人和Boss都认为如何做好人力资源的调配，将与一个企业的命脉走向息息相关。
本篇论文针对某一企业单位完成一项目，人力资源部门如何安排使得该项目所花费的人力、时间最少化这一问题进行建模。
本论文通过对问题进行了合理的假设，通过题目中的已知限定条件和内在限定条件，对函数进行限定及约束，建立函数模型；根据运筹学的整数线性规划知识，采用优化思想和方法对公司人力资源建立数学模型并创造更好的规划方案。
本文建立了0-1规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。
本问题中首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后使用Lingo对目标函数求最优解得出最终结果。
最后我们对该模型进行了推广，通过对推广模型的目标函数的变量，在约束条件下进行了整型矩阵的扩展。
依次分析了在约束条件下的最优解及最优项目时间，使得该模型解决实际问题，更具有可信性和可用性。
关键词：
最少时间最优解人力资源分配0-1模型Lingo整数规划
一、问题重述
在企事业单位，人力资源部门经常要根据当前情况把人员分配给即将开始的项目。
一般地，对项目而言，越早完成越好；而对人力资源部门而言，在该项目上所花费的人力越少越好。
现有一个项目，需要把一份中文资料翻译成英语、法语、日语、德语和俄语。
已知A、B、C、D、E、F和G七个人翻译该资料所需要花费的时间如表1所示，且这七个人均表示可参加该项目。
【注意：
为了译文的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种译文的翻译工作。
一个人在同一时间只能做一种译文的翻译工作。
】
表1.七人五语种翻译用时表（单位：
天）
英语
法语
日语
德语
俄语
A
2
15
13
1
8
B
10
4
14
15
7
C
9
14
16
13
8
D
7
8
11
9
4
E
8
4
15
8
6
F
12
4
6
8
13
G
5
16
8
5
10
试通过建立数学模型（而非枚举法）回答下述问题。
问题1.应该如何进行人力资源的安排使得该项目尽早完成？
问题2.在问题1中若规定每人最多承担一种译文的翻译工作，试求相应的最优人力资源安排方案。
问题3.接上级通知，为了保证翻译的质量，需要对翻译之后的译文进行审校且规定同一个语种的审校人和翻译者不能为同一人。
显然，在这种新的要求下，该项目完成当且仅当所有的译文均审校完。
已知这七人均表示可以参加审校工作，他们审校这五种译文的用时如表2所示。
【注意：
对于每个语种，只有当该语种的译文完全完成之后才能进行该语种译文的审校工作。
为了译文的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种译文的审校工作。
一个人在同一时间只能做一种译文的审校工作。
】问：
应该如何进行人力资源的安排使得该项目尽早完成？
表2.七人五语种审校用时表（单位：
天）
英语
法语
日语
德语
俄语
A
1
13
10
1
8
B
10
4
8
10
5
C
8
6
10
9
6
D
6
7
11
8
4
E
6
3
15
8
5
F
11
4
6
7
10
G
4
12
6
3
2
问题4.在问题3中若规定每人最多承担一种译文的翻译工作和另外一种译文的审校工作，试求相应的最优人力资源安排方案。
二、模型的合理假设
1.每个人都能在自己的花销时间内完成工作。
2.每件工作都必须有人做。
3.各个工作之间没有相互联系。
即一个工作的完成与否，不受另一个工作的制约。
4.假设4个工程同时进行，项目用人是同时输出的。
5.不考虑各专业技术人员因病、事假原因而不能工作。
6.不考虑天气、地震等外界因素对项目工程的影响，从而不影响项目工作进度
7.假设在一段时间内，各专业技术人员的收费和工资不发生变化，效率不受影响，保持相对稳定。
三、模型的符号说明
=1,2,3,4,5,6,7分别表示A，B，C，D，E，F，G；
=1,2,3,4,5分别表示英语，法语，日语，德语，俄语；
：
完成所有工作的总时间；
：
表示完成每种语言翻译所用的时间；
：
表示完成翻译项目的时间；
：
表示完成每种语言翻译和审校所用的时间；
：
表示完成翻译和审校项目的时间；
：
代表第
个人完成翻译语言
工作的人数；
：
代表第
个人完成翻译语言
工作的时间；
：
代表第
个人完成审校语言
工作的人数；
：
代表第
个人完成审校语言
工作的时间；
四、问题分析、模型的建立与求解
问题的分析：
最少时间（即人力资源成本）是最大利润一个很有参考价值的数据，往往需要利用数学建模的方法对其进行定量的分析，首先确定第
人做或者不做第
工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后对目标函数求最优解得出最终结果。
1.问题一:
应该如何进行人力资源的安排使得该项目尽早完成？
1）模型的建立：
假设：
则工作时间为：
限定条件为：
（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做）;
2）模型的求解：
化为标准形式如下：
s.t.
将上述条件，以及数据写入Lingo中，编写程序求解，源程序及输出结果详见附程序。
3）结果的分析：
程序调试完成后，得到结果如下：
X（1,1）1.0000002.000000
X（1,4）1.0000001.000000
X（4,5）1.0000004.000000
X（5,2）1.0000004.000000
X（6,3）1.0000006.000000
将工作分派情况与表1.1（即七人五语种翻译用时表），如下表（表1.2）：
英语
法语
日语
德语
俄语
A
2
15
13
1
8
B
10
4
14
15
7
C
9
14
16
13
8
D
7
8
11
9
4
E
8
4
15
8
6
F
12
4
6
8
13
G
5
16
8
5
10
表1.2加粗的单元格即为选择做第i个人翻译第j种语言
由上面得到的结果表我们可以看到，最优解基本上是集中于取值较低（即花费时间较少）的人上面。
此时我们可以得到最优的分配方案，既可以使工作时间最少，且使得完成时间最少，使人员分配更合理化。
所以，完成所有翻译工作总时间的最小时间为：
=17（天）
完成翻译项目的时间：
=6（天）
2.问题二:
在问题1中若规定每人最多承担一种译文的翻译工作，试求相应的最优人力资源安排方案。
1）模型的建立：
假设：
则工作时间为：
限定条件为：
（即每个人只能做一个工作，可以小于1，这是因为人比工作多，允许有人空闲）;
（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做）;
2）模型的求解：
化为标准形式如下：
s.t.
将上述条件，以及数据写入Lingo中，编写程序求解。
源程序及输出结果详见附程序。
3）结果的分析：
程序调试完成后，得到结果如下：
X（1,4）1.0000001.000000
X（2,2）1.0000004.000000
X（4,5）1.0000004.000000
X（6,3）1.0000006.000000
X（7,1）1.0000005.000000
将工作分派情况与表1.1（即七人五语种翻译用时表），如下表（表1.3）：
英语
法语
日语
德语
俄语
A
2
15
13
1
8
B
10
4
14
15
7
C
9
14
16
13
8
D
7
8
11
9
4
E
8
4
15
8
6
F
12
4
6
8
13
G
5
16
8
5
10
表1.3加粗的单元格即为选择做第i个人翻译第j种语言
由上面结果得到的单元表格现在我们可以看到，最优解基本上是集中于取值较低（即花费时间较少）的人上面，受约束条件（每个人只能做一个工作，即既不能同时做两个工作，也不能在一个工作做完后再做其他工作）的限制，每一横行只能选一个格子（即每个人只能做一件工作），可不选。
另外，模型再受到自身条件的约束（每件工作都必须有人做，且只能由一个人独立完成）），所以，每一竖行必须且只能选一个格子。
所以得到上面最佳的选择方案。
由表1.3，我们可以推断，在没有计算机辅助，或待求解量较少且对结果要求不高的情况下，可以采取“画格子”的方式粗糙地求解类似问题。
但也可从思维过程看出在计算机辅助的情况下节省了大量的较繁运算。
完成所有翻译工作总时间的最小时间为：
=20（天）
完成翻译工作的时间：
=6（天）
3.问题三:
需要对翻译之后的译文进行审校且规定同一个语种的审校人和翻译者不能为同一人。
在这种新的要求下，七人均表示可以参加审校工作，该项目完成当且仅当所有的译文均审校完。
应该如何进行人力资源的安排使得该项目尽早完成？
1）模型的建立：
设：
则工作时间为：
限定条件为：
（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做）;
（强制等于0的量,即同一个语种的审校人和翻译者不能为同一人）;
2）模型的求解：
化为标准形式如下：
s.t.
将上述条件，以及数据写入Lingo中，编写程序求解。
源程序及输出结果详见附程序。
3）结果的分析：
程序调试完成后，得到结果如下：
M（6,2）1.0000004.000000
M（7,1）1.0000004.000000
M（7,3）1.0000006.000000
M（7,4）1.0000003.000000
M（7,5）1.0000002.000000
将工作分派情况与表2.1（即七人五语种翻译用时表），如下表（表2.2）
英语=1
法语=2
日语=3
德语=4
俄语=5
A=1
1
13
10
1
8
B=2
10
4
8
10
5
C=3
8
6
10
9
6
D=4
6
7
11
8
4
E=5
6
3
15
8
5
F=6
11
4
6
7
10
G=7
4
12
6
3
2
表2.2加粗的单元格即为选择做第i个人审校第j种语言
完成所有翻译和审校工作总时间的最小时间为：
=36（天）
完成翻译和审校项目的时间：
=15（天）
由上面得到的表格我们可以看到，最优解基本上是集中于取值较低（即花费时间较少）的人上面。
对照该表与表1.2，我们发现有些事件取值并非该人最高效事件（如G人），如若将日语审校工作交由B来做，会是工作完成时间项目最少，所以需要从全局高度对结果进行了取舍。
故得到最优的分配，如下表2.2.1
将工作分派情况与表2.1（即七人五语种翻译用时表），如下表（表2.2.1）
英语=1
法语=2
日语=3
德语=4
俄语=5
A=1
1
13
10
1
8
B=2
10
4
8
10
5
C=3
8
6
10
9
6
D=4
6
7
11
8
4
E=5
6
3
15
8
5
F=6
11
4
6
7
10
G=7
4
12
6
3
2
完成所有翻译和审校工作总时间的最小时间为：
=38（天）
完成翻译和审校项目的时间：
=14<15（天）
故此方案下，时间最优化，完成时间最快。
4.问题四:
在问题3中若规定每人最多承担一种译文的翻译工作和另外一种译文的审校工作，试求相应的最优人力资源安排方案。
1）模型的建立
假设：
则工作时间为：
限定条件为：
（即每个人只能做一个工作，可以小于1，这是因为人比工作多，允许有人空闲）
（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做）;
（强制等于0的量,即同一个语种的审校人和翻译者不能为同一人）;
2）模型的求解
化为标准形式如下：
s.t.
;
将上述条件，以及数据写入Lingo中，编写程序求解。
源程序及输出结果详见附程序。
3）结果的分析
程序调试完成后，得到结果如下：
M（1,1）1.0000001.000000
M（2,3）1.0000008.000000
M（5,5）1.0000005.000000
M（6,2）1.0000004.000000
M（7,4）1.0000003.000000
完成所有翻译和审校工作总时间的最小时间为：
=41（天）
完成翻译和审校项目的时间：
=14（天）
将工作分派情况与表2.1（即七人五语种翻译用时表），如下表（表2.3）
英语=1
法语=2
日语=3
德语=4
俄语=5
A=1
1
13
10
1
8
B=2
10
4
8
10
5
C=3
8
6
10
9
6
D=4
6
7
11
8
4
E=5
6
3
15
8
5
F=6
11
4
6
7
10
G=7
4
12
6
3
2
表2.3加粗的单元格即为选择做第i个人审校第j种语言
现在我们可以看到，最优解基本上是集中于取值较低（即花费时间较少）的人上面，受条件4（每个人只能做一个工作，即既不能同时做两个工作，也不能在一个工作做完后再做其他工作）的约束，每一横行只能选一个格子（即每个人必须做一件工作但不能同时担任翻译和审校，每件工作都必须有人做，且只能由一个人独立完成），所以，每一竖行必须且只能选一个格子。
由表2.3，我们可以推断，在没有计算机辅助，或待求解量较少且对结果要求不高的情况下，可以采取“画格子”的方式粗糙地求解类似问题。
但可从思维过程看出在计算机辅助的情况下节省了大量的较繁运算。
完成所有翻译和审校工作总时间的最小时间为：
=41（天）
完成翻译和审校项目的时间：
=14（天）
五、模型的检验
通过对表1.2、1.3和表2.2、2.3的数据分析比较，可以看出调派的人数完全符合各个项目对各项翻译审校工作的安排的要求，同时使得项目最早完成且时间安排最少，这样的模型是合理的。
六、模型的评价
模型的优点：
1、系统性：
对于本题的诸多条件有一个良好的梳理，思路清晰，条理，约束条件虽然比较多，但是能够对其有一个较为适当的把握；
2、简洁性：
本题充分运用了lingo线性规划进行求解，过程也比较规范，容易理解；
3、合理性：
求解的结果与数据分析符合期望值。
模型的局限性：
1、只能从原有方案优选，不能生成新方案。
由于本题是一个关于整数规划的问题，附加的情况较多，考虑的模型有一定的局限性，所以用其第一步的结果作为大致结果；
2、本题限于总时间与项目完成时间问题，项目完成时间没能运算中体现，只是定性地用总时间量最小化来进行分析；
3、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，掺入了较多的人为主观因素，当用于大量的数据且变量较多时，会使结果的差异稍大，该模型下的结果不一定是最优解，这就使决策结果可能难以为众人所接受。
不过，这个缺点可以通过采取专家群体判断、统计分析及模糊评判等多种途径加以克服。
七、模型的推广与改进
在该问题的求解中，还有很多因素可以考虑。
例如在可以协作的情况下，合理安排他们不同的休息时间，各个工作有关联时的共同完成等因素。
但在单一工作及简单考虑情况下，该模型具有较大的生存空间，只需改动少许数值即可推广应用。
当考虑情况较多时，可采用更有效的整数规划方法考虑到个人能力差异化较小的情况、人员安排分工多等因素，可在此模型基础上增加一些约束条件即可应用。
运用LINGO来求解，并通过其灵敏度的分析来检验求得的可行解的适用性。
由此我们可以看到，这个模型能很广泛的应用于各种情况下（包括各项人才人数，项目需求人数）都十分合适，并能经受过一定的灵敏度分析后，能得到在一个较大变化范围内最优解保持稳定，这正是实际日常工作所需要的，故该模型较好，并有很大的适用性。
八、参考文献
[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:
高等教育出版社,2003.8
[2]何坚勇，运筹学基础，北京：
清华大学出版社，2000
[3]赵静但琦,数学建模与数学实验，北京：
高等教育出版社，2000
[4]肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安:
西安工业大学出版社，2008.11
九、附程序
问题1：
model:
!
7个人翻译,翻译5种语言的分配问题;
sets:
si/1..7/;
sj/1..5/;
sij（si,sj）:
c,x;
endsets
!
目标函数;
min=@sum（sij:
c*x）;
@for（sij:
@bin（x））;!
限制x为0-1变量;
@for（sj（j）:
@sum（si（i）:
x（i,j））=1）;!
（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做）;
data:
c=2151318
10414157
91416138
781194
841586
1246813
5168510;
enddata
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
17.00000
Objectivebound:
17.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
C（1,1）2.0000000.000000
C（1,2）15.000000.000000
C（1,3）13.000000.000000
C（1,4）1.0000000.000000
C（1,5）8.0000000.000000
C（2,1）10.000000.000000
C（2,2）4.0000000.000000
C（2,3）14.000000.000000
C（2,4）15.000000.000000
C（2,5）7.0000000.000000
C（3,1）9.0000000.000000
C（3,2）14.000000.000000
C（3,3）16.000000.000000
C（3,4）13.000000.000000
C（3,5）8.0000000.000000
C（4,1）7.0000000.000000
C（4,2）8.0000000.000000
C（4,3）11.000000.000000
C（4,4）9.0000000.000000
C（4,5）4.0000000.000000
C（5,1）8.0000000.000000
C（5,2）4.0000000.000000
C（5,3）15.000000.000000
C（5,4）8.0000000.000000
C（5,5）6.0000000.000000
C（6,1）12.000000.000000
C（6,2）4.0000000.000000
C（6,3）6.0000000.000000
C（6,4）8.0000000.000000
C（6,5）13.000000.000000
C（7,1）5.0000000.000000
C（7,2）16.000000.000000
C（7,3）8.0000000.000000
C（7,4）5.0000000.000000
C（7,5）10.000000.000000
X（1,1）1.0000002.000000
X（1,2）0.00000015.00000
X（1,3）0.00000013.00000
X（1,4）1.0000001.000000
X（1,5）0.0000008.000000
X（2,1）0.00000010.00000
X（2,2）0.0000004.000000
X（2,3）0.00000014.00000
X（2,4）0.00000015.00000
X（2,5）0.0000007.000000
X（3,1）0.0000009.000000
X（3,2）0.00000014.00000
X（3,3）0.00000016.00000
X（3,4）0.00000013.00000
X（3,5）0.0000008.000000
X（4,1）0.0000007.000000
X（4,2）0.0000008.000000
X（4,3）0.00000011.00000
X（4,4）0.0000009.000000
X（4,5）1.0000004.000000
X（5,1）0.0000008.000000
X（5,2）1.0000004.000000
X（5,3）0.00000015.00000
X（5,4）0.0000008.000000
X（5,5）0.0000006.000000
X（6,1）0.00000012.00000
X（6,2
升级会员 