杨秋莉第5章课题学习猜想证明与拓广1.docx
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杨秋莉第5章课题学习猜想证明与拓广1
课时课题：
第五章课题学习猜想、证明与拓广
（1）
课型：
新授课
授课人:
滕州西岗中学杨秋莉
授课时间：
2013年11月15日星期五第1、2节课
教学目标
1．经历猜想、证明、拓广的过程,增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发展的新体验．
2．在问题解决过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．
3．在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的重要性．学会用多种方法解决同一个问题，并对方法进行优化．
教学重点与难点
重点：
体验“问题情境—猜想—验证—发现规律—证明—拓广”的过程，学习处理问题的策略和方法．
难点：
在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法,体会证明的重要性．
教法与学法指导
为了有效地实现教学目标，根据教学内容的特点和学生学习的需要，本节课在沿用我校“自主探究当堂评价”教学模式的基础上，采用启发式教学与学生合作交流相结合的教学方式，为提高教学容量和效率，采用了多媒体辅助教学.由于本节课在设计前充分考虑学生已有的知识基础和所带班级的学情,及九年级学生的认知特点,让学生用所学知识解决一个探究性问题；从而体会数学知识之间的内在联系，初步体验数学的研究方法,在思维方法和能力培养上有所收获．
课前准备：
多媒体课件．
教学过程
一、初探倍增问题,感悟猜想、证明与拓广
教师出示第一张幻灯片（课前布置的作业）：
任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
你是怎样做的？
你有哪些解决方法？
你能提出新的问题吗？
设计意图：
问题的提出旨在激起学生的思考欲望,为学生提供充分的思考空间,让学生自由想象,同时为下面的研究作好铺垫.
师：
同学们，课前布置的预习作业完成了吗？
生：
完成了．
师：
咱们来看第一个问题：
是否存在这样的正方形呢？
生：
不存在！
师：
为什么？
你是怎么做的？
请把你的解决方法展示给大家！
生1：
我举了一个例子：
若一个正方形的边长为4，则它的周长和面积分别为16和16．如果周长变为原来的2倍也就是32，这时边长为8，则此时面积变为64，也就是面积变为原来的4倍了．列表如下：
边长
周长
面积
原正方形
4
16
16
新正方形
8
32
64
所以，这样的正方形不存在．
师：
这位同学举了一个具体的例子，而且用表格形式表示，清楚明了．但他因此就下结论“这样的正方形不存在”，同学们觉得有说服力吗？
生：
摇头.有点太特殊了!
生2：
多举几个例子就行了！
师：
多举几个例子当然会增加说服力，但你毕竟不能举尽所有的正方形呀！
谁有更好的办法？
生:
以小组为单位讨论.
生3：
我设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2．当周长变为原来的两倍时，面积变为原来的4倍了．列表如下：
边长
周长
面积
原正方形
a
4a
a2
新正方形
2a
8a
4a2
所以，这样的正方形不存在．
师：
你认为这样就有说服力了吗？
生3：
是的.这里的a表示一切符合题意的数，既包括刚才同学的例子，也包括同学们未举出的例子，所以我认为有说服力．
师：
同学们！
大家同意生3的观点吗？
生：
同意！
师：
我很赞成生3的做法，但如果你刚开始想不到用字母，也可以先用具体的数据，然后再过渡到字母，这是咱们解决数学问题的一种方法，先具体再抽象，由特殊到一般．先从非常熟悉的简单数字开，再慢慢过渡到抽象字母，从而让你的验证过程具有说服力．还有其他方法吗？
生4：
我还有一种解决方法，我用相似的知识来解决．所有的正方形都相似，而相似图形的面积比等于周长比的平方，因此周长变为原来的2倍时，面积一定变为原来的4倍．所以周长和面积同时变为原来的2，这样的正方形是不存在的．
师：
生4太聪明了，用非常简单的知识解决了问题，让我们心服口服！
现在第一个问题解决了，大家意见一致，这样的正方形不存在！
设计意图:
学生多年来受到的最多的训练就是证明与推理的训练,但是对证明的基本方法领悟的不一定到位,尤其是反证法的思想,所以在教学中对学生的证明方法要及时汇总,让学生明晰“不存在”类命题的证明要用反证法,推理的每一步要有理有据.
师：
针对上面的问题，那么你能提出类似的新的问题了吗？
生:
七嘴八舌,纷纷举手.
生5：
是否存在一个等边三角形，它的周长和面积同时变为原来的2倍？
生6：
是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的2倍？
生7：
是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的一半？
生8：
是否存在一个菱形，它的周长和面积同时变为原来的3倍？
生9：
是否存在一个正方形，它的周长和面积同时变为原来的一半？
师：
同学们太棒了，能提出问题就说明有一定的创新意识．现在咱们尝试解决生6提出的问题．
设计意图：
此环节的设计目的在于教会学生学会拓广，学会有条理地思考，通过分析命题的制约因素为拓广提供了方向，由此学生掌握了按一定的思维方向去合理拓广的方法，这是本节课需要培养的重要能力之一,是本节课的一个教学难点.由于本环节的开放性非常强,教师要头脑非常清楚地把握所有可能出现的问题,对课堂进行很好地预设,只要学生能按一定的方向提出新的问题就值得表扬.同时教师要对提出的众多问题进行分类解析,这也是学生应该学习;的一种解决问题的能力.通过对上述问题的简要解析,学生明确了研究方法,拓展了思维.
师:
通过以上的问题的解决,我们经历了“猜想—证明—拓广”的全过程，这种思维模式就是数学化的模式，每一个过程都有要领可循：
要得到合理的猜想，必须经过特例尝试的过程；而猜想的正确性则需要一般化的证明或反证论证，注意多方位多角度的思维；从特例尝试到一般证明是数学探究最常见的方法，也就是有特殊到一般；拓广就是举一反三，是思维的更高境界，我们要在分析命题的影响因素的基础上控制一些因素不变而改变某一因素，就可将问题进行拓广，如正方形倍增的问题我们就可以改变条件，或改变图形，或将结论向更一般化去推广.其实拓广就是新一轮的猜想,科学知识体系就是在不断的“猜想—证明—再猜想—再证明”中往复循环、螺旋式的上升和发展.掌握好猜想、证明与拓广这种教学模式,你的研究能力就会增强,面对任何问题都会应对自如.
设计意图：
教师的适时的反思与归纳对学生来说起着重要的作用，学生在正方形倍增的问题中经历了猜想、证明与拓广全过程的基础上再次明晰猜想、证明与拓广这一思维模式及各自的要领，培养了猜想、证明与拓广的能力学生将终身受益.这一反思归纳为下一问题的解决奠定了思维方法的基础.
二、再探倍增问题，应用猜想、证明及拓广
师：
（课件展示）探究活动：
是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的2倍？
师：
我先问大家一个问题：
所有的矩形都相似吗？
生：
不一定相似．
师：
那么用生4说的相似知识能解决这个问题吗？
生：
不能．
1.从特例尝试入手研究矩形倍增问题
师：
那么咱们应该如何探究这个问题呢？
生：
从具体的数字开始！
师：
说得非常好．下面各组给自己探究的矩形规定一个具体的长和宽.
小组报数：
第一组2和1，第二组3和1，第三组3和2，第四组1和2，第五组3和2，第六组2和1．
师：
各小组选的数据非常好，在研究具体数字的时，数越简单越好，现在各小组成员先独立思考，再合作交流．
小组活动，教师巡视，发现有个别小组和个别同学无从下手．教师参与这个小组的合作讨，然后继续巡视指导．
设计意图：
在巡视指导时对于有困难的小组及学生给予第一种方法的指导.巡视时,注意每一组的方法,是不是把几种方法都涉及了,若没有涉及,及时进行指导,以便在学生展示成果时,让学生有成功的体验.
师：
下面请各小组选一名代表来展示小组的研究成果．
小组1:
针对边长是2和1这一组，周长为6.当周长变为原来的2倍时,周长的值就变为12,如果设新矩形的长为x，则宽为（6-x）.
长
宽
周长
面积
原矩形
2
1
6
2
新矩形
x
6－x
12
4
x（6－x）＝4，
x2－6x＋4＝0．
b2－4ac＝36－4×1×4＝36－16＝20＞0，
∴这个方程有解．
∴这样的矩形存在．
设计意图：
通过简单情况的研究,积累经验,为后面的证明提供方法.
师：
这种方法非常好，列表使人一目了然.大家还有其他的方法吗?
小组6：
设新矩形的长为x，则根据面积变为4可表示宽为
长
宽
周长
面积
原矩形
2
1
6
2
新矩形
x
12
4
，
x2－6x+4=0．
以下与第一种解法相同．
注：
若学生在展示时没有涉及第二种方法,教师要给予补充.
师：
这两种方法看上去好像一样，但有所不同．同学们找找不同点在哪？
生：
方法一是用周长关系表示宽、面积关系列方程；而方法二是以面积关系表示宽、周长关系列方程．方法一列的是一元二次方程，而方法二列的是分式方程．.
师：
这两种方法都很好.同学们选择一下，哪一种方法在具体做题时不易出差错？
生：
方法一．
师：
为什么？
生：
方法二还须检验，麻烦！
师：
好，第一组的成果很好，而且他们有了一个肯定的结论.和他们的方法不一样的继续展示．
小组4：
设新矩形的长为x、宽为y，则
长
宽
周长
面积
原矩形
2
1
6
2
新矩形
x
y
12
4
2（x+y）=2，
xy=4．
化简得x+y=6，①
xy=4．②
由①，得y=6-x．③
把③代入②，得x（6-x）=4，
x2-6x+4=0．
以下与第一组的方法一相同．
师：
这个小组是用方程组来做的，也很好．还有不同的方法吗？
小组2：
设新矩形的长为x，宽为y，则
长
宽
周长
面积
原矩形
3
1
8
3
新矩形
x
y
16
6
∴
图象如图所示，两个图象有交点．
∴这样的矩形存在.
注:
若学生展示时没有涉及这种方法,教师可视时间情况予以补充.
师：
这个小组把咱们学过的一次函数的图象及反比例函数的图象结合在一起解决今天的问题,值得表扬.还有其他方法吗？
生：
没有了．
师：
现在咱们将这几种方法进行比较，有共同点吗？
请小组合作讨论并回答．.
生：
前三种方法最后都出现了一元二次方程x2-6x+4=0，但方法二和方法三是列分式方程或二元方程组后转化为一元二次方程的，不如第一种方法直接得到一元二次方程好．最后一种方法在实际操作时，出现误差的可能性很大．
师：
大家认同他的观点吗？
生：
认同！
设计意图：
从不同角度分析和解决问题,培养学生的创新思维.同时使学生体会解决问题方法的多样性及在合作交流中获得知识的愉悦．
2.由特殊到一般再探矩形的倍增问题
师：
咱们继续这节课的探究．刚才大家都给自己的研究一个肯定的结论，这样就可以给咱们的中心问题一个肯定的结论吗？
生：
不行,还是有点特殊．
师：
那怎么办？
生：
由特殊到一般，由具体的数字到抽象的字母．
师：
说得好,再给你探究的矩形一个长和宽,咱们先让长和宽其中一个为字母．
小组进行分组探究：
第一组n和1，第二组m和1，第三组1和a，第四组1和b，第五组m和2，第六组a和1．
师：
好，现在各小组开始探究．
生:
小组合作，教师参与其中．
师：
成果展示．
第三组：
设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
1
a
2+2a
a
新矩形
x
2+2a-x
4+4a
2a
x（2+2a-x）=2a，
x2-（2+2a）x+2a=0．
⊿=[-（2+2a）]2-4×1×2a
=4+8a+4a2-8a
=4+4a2＞0，
∴这个方程有解．
∴这样的矩形存在．
师：
第三组的同学做得非常好．下面咱们请第五组的同学上来展示．
第五组：
设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
m
2
2m+4
2m
新矩形
ｘ
2m+4-x
4m+8
4m
x（2m+4-x）=4m，
x2-（2m+4）x+4m=0．
[-（2m+4）]2-4×1×4m
=4m2+16m+16-16m
=4m2+16＞0，
∴此方程有解．
∴这样的矩形存在．
师：
这两组同学都对自己探究的问题给出了肯定的结论．其他组呢？
生：
一样肯定结论成立．
师：
刚才咱们探究了长和宽其中有一个为字母的情况，同学们都认为这样的矩形存在．那么现在可以给中心问题一个肯定的结论了吗？
生：
不行．
师：
还需要做哪些工作？
生12：
探究长和宽都为字母的情况！
师：
好，下面咱们再给矩形规定长为m，n，全体同学一起探究这个问题，看看是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原矩形的两倍．
教师巡视学生的探究过程．
设计意图：
此处的问题再次引发学生对一般证明的必要性的认识,同时进行一般证明时需要用字母表示矩形的长与宽,这样在求解方程或方程组时需要解字母系数的方程,这样对学生的解题要求很高.所以在设计时,先从一条边用字母表示研究相对简单一些,随后再研究两条边都用字母表示.同时可采取学生在教师的引导启发下,共同探索.让学生充分体会“从特殊到一般”的研究策略是一种解决数学问题的重要方法,培养学生严谨的数学思维和善于归纳总结的良好学习习惯.
师：
这样的矩形存在吗？
生：
存在！
师：
请生13来展示一下探究成果．
生13：
设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
m
n
2m+2n
mn
新矩形
x
2m+2n-x
4m+4n
2mn
x（2m+2n-x）=2mn，
x2-（2m+2n）x+2mn=0．
[-（2m+2n）]2-4×1×2mn
=4m2+8mn+4n2-8mn
=4m2+4n2＞0，
∴这个方程有解．
∴这样的矩形存在．
师：
同学们是不是有成就感吗？
生：
（点头）
师：
现在可以大胆地下结论了吗？
生：
我现在可以给中心问题一个肯定的结论：
这样的矩形存在，无论给定一个什么样的矩形，我都能找到一个新的矩形，使它的周长和面积同时变为原矩形的两倍．
设计意图：
让学生在一系列的探索过程中,体会猜想、验证、发现规律、证明、拓展的数学化过程,学习处理问题的策略和方法,养成良好的思维习惯．
三、感悟与收获
师：
同学们，这一节课大家非常投入，用自己的辛劳与努力，猜想并证明了一个问题．在探究的过程中，你有哪些收获？
生1：
我亲身感受探究的过程，知道了探究一个问题时应该先具体再抽象，先特殊再一般．
生2：
在解决问题时，我们应该动脑筋，想出更多的方法,多角度分析解决问题．
生3：
数学知识之间是有联系的，如一个问题可以直接用一元二次方程解，也可以列二元方程组转化为一元二次方程解，还可以列分式方程转化为一元二次方程解，或用函数图象求解．
生4：
判断一个问题时不能以点代面，应看它的全部.
师：
同学们说得非常好，老师也有收获．通过这一节课的学习，我再次发现了同学们的聪明与睿智，再次亲身领略了“人人都有闪光点”这句话的真正含义．
设计意图：
课堂小结是对知识、方法、能力、情感等的凝练与升华，在学生总结的基础上，教师可适当地给予提炼，必须收到画龙点睛的作用，并且让学生学会在交流的过程中取长补短，升华知识．
四、布置作业
1．对矩形面积和周长的“减半”问题，用同样的方法进行研究．（也可当做预习作业）
2．（选做）若点p在一边BC上（如图1）此时h3为0,可得结论h1+h2+h3=h
当点O在△ABC内（如图2）时,上述结论是否还成立?
若成立请给予证明；若不成立,h1h2h3与h之间又有怎样的关系?
当点P在三角形ABC外时，h1、h2、h3与h之间有怎样的关系？
（不成立.h1+h2+h3﹥h）
3.（选做）
已知等边三角形△ABC和点P，过点P作三边AB、AC、BC的平行线分别交AC、BC、AB于F、G、E，如图①，点P在BC边上可得PE+PF+PG=BC．当点P在△ABC内部时（如图②），点P在△ABC外部时如图③，这两种情况下是否还存在PE+PF+PG=BC的结论？
若成立请给予证明，若不成立，那么PE、PF、PG与BC又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明．
（1）如图②，延长FP，与BC交于点D，即FD∥AB，由等边三角形△ABC，同时PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，即可推出∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，即可确定PG=DG，PE=BD，PF=CG，由BC=BD+DG+CG，即可推出BC=PE+PF+PG；
（2）如图③，作EH∥AC，交BG于点H，由等边三角形的性质和平行线的性质，以及等腰梯形的性质即可推出PE=HG，PG=EH=BH，PF=CG，即可推出PE+PG=BG，BG=BC+PF，通过等量代换即可推出PE+PG-PF=BC．
解答：
解：
（1）如图②，延长FP，与BC交于点D，
∵等边三角形△ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，
∴∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，EP=BD，
∴△PDG为等边三角形，四边形PECG为等腰梯形，
∴PG=DG，PE=BD，PF=CG，
∵BC=BD+DG+CG，
∴BC=PE+PF+PG.
（2）如图③，点P在△ABC外部时，PE+PF+PG=BC的结论不成立，
PE、PF、PG与BC的关系为：
PE+PG-PF=BC．
设计意图：
不同的学生可选择不同的问题,使每个学生都获得成功的体验．
板书设计：
第五章课题学习猜想、证明与拓广
一、初探正方形的倍增问题:
猜想---证明---拓广
特例---一般（字母表示）
二、课题探究
再探矩形的倍增问题
1.特例
2.字母表示
分组展示
教学反思：
感受
1.要精心备好每一节课，具体到每一个环节学生可能出现什么情况,教师在备课时要尽可能多得设想到．学生的聪明才智不可估量，关键是教师要敢于放手，要让学生真正做课堂的主人．在本节课中，教师鉴于学生素质原因，放手还不够大胆．
2.本节课由于第一环节为第二环节做了铺垫，因此，第二环节进行得很顺利，让学生很容易感受并应用由特殊到一般的方法．在
3.第一环节中，学生的答案基本一致，但在讲述自己的做法时，出现了三种方案：
①举例边长为4的正方形即特殊数字；②举例边长为m的正方形即一般字母；③用相似图形的性质．这三种方案教师都给予了肯定，并引导学生感受特殊与一般的区别，以及由特殊到一般的数学思想．
5.在收获与感悟环节，谈出了我的感悟，增强了师生之间感情．一节课下来，我认为达到的教学预期表现在以下三个方面：
（1）引导学生三次对新问题的生成提出拓展，对新问题的结论进行猜想，使整堂课连贯流畅、水到渠成，闪耀着学生的智慧，并且让学生反复经历了反思、借鉴和数学经验积累的过程；
（2）锻炼和培养了学生将数学知识成功应用于具体问题的能力.在本节课的小组讨论中，学生们集思广议，方法多样，一元二次方程、分式方程、二元方程组、函数图像等思路的交汇，给学生提供了广阔的交流空间；
（3）引导学生在经历了一堂课的探究后提出一些新的问题。
在教学过程中，鼓励学生主动的从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动，使学生了解不同的思考途径所带来的新的认识，更进一步适时的引导学生总结获得知识规律，解决问题的方法，并将它们上升到方法论的层面，如从不同角度思考问题的思维方式及学会积累生活的经验，善于反思等等.
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