江苏省南京市第二十九中学天润城分校学年九年级上学期期中数学试题.docx
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江苏省南京市第二十九中学天润城分校学年九年级上学期期中数学试题
江苏省南京市第二十九中学天润城分校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．一元二次方程x2＝1的根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实数根
2．已知⊙O的半径为5，点A与点O的距离为3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定
3．有15位同学参加智力竞赛,已知他们的得分互不相同,取8位同学进入决赛,小明同学知道了自己的分数后,想知道自己能否进入决赛,还需知道这15位同学的分数的（）
A．平均数B．众数C．中位数D．最高分数
4．关于x的一元二次方程x2－（k＋1）x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）
A．k＞－1B．k＜－1C．k≠－1D．k为任意实数
5．下列命题：
①长度相等的弧是等弧②半圆既包括圆弧又包括直径③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形其中正确的命题共有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4π，BC＝3π，半径是2的⊙O从与AC相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AC相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周B．3周C．4周D．5周
二、填空题
7．关于x的一元二次方程4ax2+4x+1＝0有两相等实数根，则a＝_____．
8．在⊙O中，弦AB＝8，直径EF＝10，则点O到弦AB的距离为_____．
9．已知实数x、y满足x2+x﹣y+2＝0，则x+y的最小值为_____．
10．一组数据：
0，1，2，﹣1，3的极差是_____．
11．关于x的一元二次方程x2﹣7x+2m＝0的一个根是另一个2.5倍，则m的值为_____．
12．若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的方差为_____
13．圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____．
14．四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝108°，则∠B的度数为_____．
15．如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为_____．
16．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为_____．
三、解答题
17．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0
（2）3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1）
18．小明家的鱼塘中养了同种的鱼2000条，现准备打捞出售．为估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞了3次，得到的数据如下表：
捕捞次序
鱼的条数
平均每条鱼的质量（kg）
1
5
1.5
2
10
1.8
3
15
2.1
（1）根据表中所给数据，计算这次捕捞的每条鱼的平均质量是多少？
（2）如果这3次捕捞的每条鱼的质量的平均数能反映鱼塘中这种鱼的基本情况，并且这些鱼不分大小，都按7.5元/千克的价格售出，那么小明家的收入大约有多少？
19．为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，对两人进行了一次射击测试，两人5次打靶的成绩如下（单位：
环）：
甲：
8，7，10，7，8
乙：
9，5，10，9，7
（1）请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均数
中位数
极差
方差
甲
8
3
1.2
乙
8
3.2
（2）如果你是教练，会选择谁参加射击比赛？
请说明理由．
20．已知：
如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：
∠AOC=∠BOD．
21．已知如图，E、F分别在四边形ABCD边AB、BC上，在CD上求作一点P，使∠EPF＝∠BEF．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．
（1）求证：
AB=AC；
（2）若AB＝8，求圆环的面积．
23．商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到4950元？
24．已知△ABC的两边AB，AC是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．
25．已知矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿AB方向向B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度沿CD方向向D运动，如果P、Q两点同时出发，问几秒后以△BPQ是直角三角形？
26．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E．
（1）求证：
AC是⊙O的切线；
（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP．
①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数；
②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．
27．在平面直角坐标系xOy中的两个图形M与N，给出如下定义：
P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“和睦距离”，记作d（M，N）．若图形M，N有公共点，则d（M，N）＝0．
（1）如图，A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，则d（C，⊙C）＝ ，d（O，⊙C）＝ ；
（2）已知，如图，△ABC的一边AC在x轴上，B在y轴上，且AC＝8，AB＝7，BC＝5．
①D是△ABC内一点，若AC、BC分别切⊙D于E、F，且d（C，D）＝2d（D，AB），判断AB与⊙D的位置关系，并求出D点的坐标；
②若以r为半径，①中的D为圆心的⊙D，有d（B，⊙D）＞1，d（C，⊙D）＜2，直接写出r的取值范围 ．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
直接开平方即可解答.
【详解】
解：
x2＝1，
x＝±1，
即x1＝﹣1，x2＝1，
故选：
C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解答,解答的关键在于运用直接开平方求解,而且两解互为相反数.
2．A
【分析】
根据点与圆的位置关系的相关知识解答即可.
【详解】
解：
∵⊙O的半径为5，点A与点O的距离为3，
即A与点O的距离小于圆的半径，
所以点A与⊙O内．
故选：
A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系,即点到圆心的距离小于圆的半径,点在圆内;点到圆心的距离等于圆的半径,点在圆上;点到圆心的距离大于圆的半径,点在圆外.
3．C
【解析】
解：
由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数．故选C．
点睛：
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．C
【分析】
当△>0时，方程有两个不相等的实数根，据此求出k的取值范围即可．
【详解】
解：
∵关于x的一元二次方程x2－（k＋1）x=0有两个不相等的实数根，
∴[-（k+1）]2−4×1×0>0，
∴（k+1）2>0，
解得k≠-1.
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．B
【分析】
根据等弧的定义对①进行判断；根据半圆的定义对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据圆周角定理的推论对④进行判断．
【详解】
解：
完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以①错误；
半圆包括圆弧，但不包括直径，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确．
故选B．
【点睛】
此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理.
6．C
【分析】
先根据勾股定理确定三角形的周长，然后再求出圆的周长，用三角形的周长除以圆的周长得到滚动的周数;圆在三角形的三个顶点上旋转了三角形的三个外加，即为360°，再滚动的周数加上1即可.
【详解】
解：
Rt△ABC中，AC＝4π，BC＝3π，
∴AB＝5π，
圆在三边运动自转周数：
＝3，
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：
360°，即一周；
可见，⊙O自转了3+1＝4周．
故选：
C．
【点睛】
本题考查了圆的旋转与三角形的关系，充分利用勾股定理及圆的周长公式是解答本题的关键.
7．1
【分析】
用一元二次方程的根的判别式求解即可.
【详解】
解：
∵关于x的一元二次方程4ax2+4x+1＝0有两相等实数根，
∴4a≠0且△＝42﹣4•4a•1＝0，
解得：
a＝1，
故答案为：
1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式关系，即①判别式大于0，有两个不等的实数根；②判别式等于0，有两个相等的实数根；③判别式小于0，方程没有实数根.
8．3
【分析】
连接OA，作OC⊥AB于C，根据题意可得AC=BC=4，再运用勾股定理即可完成解答.
【详解】
解：
如图：
连接OA，作OC⊥AB于C，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝
AB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝
＝
＝3，
即点O到弦AB的距离为3．
故答案为：
3．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理方面的知识，其中创造运用垂径定理的条件是解答本题的关键.
9．1
【分析】
由x2+x﹣y+2＝0，可得y＝x2+x+2，即有x+y＝x2+2x+2：
然后运用配方法求二次函数的最小值即可.
【详解】
解：
∵实数x、y满足x2+x﹣y+2＝0，
∴y＝x2+x+2，
∴x+y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴x+y的最小值为1．
【点睛】
本题考查了运用二次函数求最值，解题的关键是创造出关于函数值x+y的函数并求最值.
10．4
【分析】
根据极差的定义作答即可.
【详解】
解：
由题意可知，极差为：
3﹣（﹣1）＝4；
故答案为：
4．
【点睛】
本题考查了极差的定义，即为一组数据的最大值-最小值就是这组数据的极差.
11．4
【分析】
设一个根为x1，则其中一个根为2.5x1，然后运用根与系数的关系列出一个方程组，解方程组即可.
【详解】
解：
设另一个根为x1，则其中一个根为2.5x1，
∵关于x的一元二次方程是x2﹣7x+2m＝0，
∴x1+2.5x1＝7，x1×2x1＝2m，
解得：
x1＝2，m＝4，
故答案是：
4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中的根与系数的关系，解答的关键在于设出根构建方程组并解方程组.
12．2
【分析】
先根据平均数的定义求出x，然后运用方程公式求解即可.
【详解】
解：
根据题意得（3+4+5+x+6）＝5×5，
解得：
x＝7，
则这组数据为3，4，5，7，6的平均数为5，
所以这组数据的为s2＝
[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]＝2．
故答案为：
2．
【点睛】
本题考查了平均数的定义和方差公式，解答本题的关键是理解平均数的定义和掌握求方差的方法.
13．12πcm
【分析】
先根据底面半径求出底面周长，即为扇形的弧长，再设出扇形的半径，根据扇形的弧长公式，确定扇形的半径；最后用扇形的面积公式求解即可.
【详解】
解：
∵底面圆的半径为2cm，
∴底面周长为4πcm，
∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴
＝4π，
解得：
r＝6，
∴侧面积为
×4π×6＝12πcm，
故答案为：
12πcm．
【点睛】
本题考查了圆锥的表面积、扇形的面积以及弧长公式，解答的关键在于对基础知识的牢固掌握和灵活运用.
14．108°或72°
【分析】
根据∠B是锐角还是钝角，画出图形，分类作答即可.
【详解】
解：
有两种情况：
①如图1，∵∠AOC＝108°
∴∠ADC＝72°
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°
∴∠B＝108°
②如图2，同理可得∠B＝72°，
综上：
∠B＝108°或72°．
故答案为：
108°或72°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解答关键在于根据∠B的大小，分情况画出图形作答.
15．（﹣4，﹣6）
【分析】
过A作AB⊥NM于B，连接AM，然后根据垂径定理得到MB=NB，再根据⊙A经过M、N的坐标，确定MN长度，进而得到OB的长，然后在Rt△ABN中应用勾股定理即可求得AB的长，即可完成解答.
【详解】
解：
过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，
∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：
AB＝
＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），
故答案为（﹣4，﹣6）．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出BM和BN的长是解答本题的关键
16．30°
【分析】
连接BD、AC,根据AB=BC=DA可得
，得到∠ABD-∠ADB-∠BAC，根据三角形的内角和定理列式计算即可.
【详解】
解：
如图：
连接BD、AC，
∵AB＝BC＝AD，
∴
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，
∵∠ADB＝∠DCP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°，
解得，∠DBP＝15°．
∴
的度数为30°，
故答案为：
30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
17．
（1）x＝﹣2或x＝4；
（2）x1＝1，x2＝﹣
．
【分析】
（1）用分解因式法求解即可.
（2）用分解因式法求解即可；
【详解】
解：
（1）∵（x+2）（x﹣4）＝0，
∴x+2＝0或x﹣4＝0，
解得：
x＝﹣2或x＝4；
（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0或3x+2＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的一半解法有：
直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法.
18．
（1）这次捕捞的每条鱼的平均质量是1.9kg；
（2）小明家的收入大约有28500元．
【分析】
（1）用平均数的定义求解即可；
（2）每条鱼的平均质量×总条数=总质量，总收入=总质量×7.5，即可得出答案
【详解】
解：
（1）根据题意得：
（5×1.5+10×1.8+15×2.1）÷30＝1.9（kg），
答：
这次捕捞的每条鱼的平均质量是1.9kg；
（2）1.9×2000＝3800（kg），
3800×7.5＝28500（元），
答：
小明家的收入大约有28500元．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体的思想，解题时要认真观察统计表，从统计表中获取信息；从图表中获取信息是解答本题的关键.
19．
（1）8，9，5；
（2）选择甲参加射击比赛，理由见解析
【分析】
（1）由中位数的定义求出甲和乙的中位数，再根据极差的定义求出乙的极差；
（2）根据方差的意义，方差越小数据越稳定，即可得出答案.
【详解】
解：
（1）甲的中位数是8环；
乙的中位数是9环；
乙的极差是：
10﹣5＝5；
故答案为：
8，9，5；
（2）选择甲参加射击比赛，
理由：
由表格可知，甲和乙的平均数一样，但是甲的方差小，波动小，成绩比较稳定，故选择甲参加射击比赛．
【点睛】
本题考查了中位数、方差的定义，理解平均数、极差、方差的概念并灵活应用是解答本题的关键.
20．由AB＝CD可得弧AB＝弧CD，则可得弧AC＝弧BD，从而证得结论.
【解析】
试题分析：
∵AB＝CD
∴弧AB＝弧CD
∴弧AC＝弧BD
∴∠AOC＝∠BOD．
考点：
圆周角定理
点评：
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
21．见解析
【分析】
先作∠BEF的角平分线BK，作线段EF的垂直平分线MN交EK于T，连接FT，作线段FT的垂直平分线l1交直线MN于点O，以O为圆心OF为半径作圆O交CD于点P，连接PE，PF，∠EPF即为所求
【详解】
解：
如图，∠EPF即为所求．
由作图可知：
∠TEF＝∠TFE＝∠BET，
∴∠ETF+∠BEF＝180°，
由圆内接四边形的性质可知：
∠ETF+∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝∠BEF，
即∠PEF即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是运用转化的思想将复杂问题简单化，从而完成解答.
22．
（1）证明见解析；
（2）S圆环＝16π
【解析】
试题分析：
（1）连结OM、ON、OA由切线长定理可得AM=AN，由垂径定理可得AM＝BM，AN=NC，从而可得AB=AC.
（2）由垂径定理可得AM＝BM=4，由勾股定理得OA2－OM2＝AM2＝16，代入圆环的面积公式求解即可.
（1）证明：
连结OM、ON、OA
∵AB、AC分别切小圆于点M、N．
∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴AM＝BM，AN=NC，
∴AB=AC
（2）解：
∵弦AB切与小圆⊙O相切于点M
∴OM⊥AB
∴AM＝BM＝4
∴在Rt△AOM中，OA2－OM2＝AM2＝16
∴S圆环＝πOA2－πOM2＝πAM2＝16π
23．
（1）（2x）；（60﹣x）；
（2）每件商品降价15元时，商场日盈利可达到4950元．
【分析】
（1）由题意得：
降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数；
（2）根据：
每件商品的盈利×可卖出商品的件数=盈利的等量关系，把列方程解答即可.
【详解】
（1）由题意，可得商场日销售量增加（2x）件，每件商品盈利（60﹣x）元．
故答案为（2x）；（60﹣x）；
（2）由题意得：
（60﹣x）（80+2x）＝4950
化简得：
x2﹣20x+75＝0，
解得x1＝5，x2＝15．
∵该商场为了尽快减少库存，
∴x＝5舍去，
∴x＝15．
答：
每件商品降价15元时，商场日盈利可达到4950元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，确定等量关系并正确列式是解答本题的关键.
24．
（1）k=2；
（2）k=3或4，△ABC的周长为14或16．
【分析】
（1）利用△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则可根据勾股定理列出方程，转化为AB与AC的方程，再利用根与系数的关系转化为关于k的方程，解方程即可；
（2）△ABC是等腰三角形，则可分三种情况讨论：
①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC；因为②③属于同一情况，则只需讨论两种情况，根据边之间的关系及根与系数的关系，求出k的值即可．
【详解】
（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，∴AB2+AC2=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，解得k=2或-5（舍去负数）；
所以k=2．
（2）△ABC是等腰三角形；
①AB=AC时，△=b2-4ac=0，
（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
方程无解，所以k不存在．
②AB=BC时，可知AB=BC=5，
根据韦达定理：
AC+5=2k+3，5AC=k2+3k+2，
解得：
k=3或4．
当k=3时，AC=4，此时△ABC的周长为5+5+4=14；
当k=4时，AC=6，此时△ABC的周长为5+5+6=16．
∴当k=3或4，△ABC的周长为14或16．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，结合了等腰三角形的性质及勾股定理的知识点，应用分类讨论的思想讨论等腰三角形的情况是解题的关键．
25．P、Q两点同时出发，问
s或2s或
秒后以△BPQ是直角三角形．
【分析】
由矩形的性质可得AB=CD=10，BC=AD=4，∠A=∠C=90°，AB∥CD，进而确定∠CQB=∠PBQ，①如图1，当∠PQB=90°时，过P作PE⊥CD于E，根据相似三角形的性质可得t=2或t=
；②如图2，当∠BPQ=90°时，根据矩形的性质即可得到结论.
【详解】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝4，∠A＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠CQB＝∠PBQ，
∵△BPQ是直角三角形，
∴①如图1，∠PQB＝90°时，
过P作PE⊥CD于E，
则DE＝AP，PE＝AD＝4，
∵∠PEQ＝∠BQP＝∠C＝90°，
∴∠EPQ+∠PQE＝∠PQE+∠CQB＝90°，
∴∠EPQ＝∠CQB，
∴△PQE∽△QBC，
∴
＝
，
∴
＝
，
解得：
t＝2，t＝
，
②如图1，当∠BPQ＝90°时，
∴∠APQ＝90°，
∴四边形APQD和四边形PBCQ是矩形，
∴CQ＝PB，
∴10﹣t＝2t，
解得：
t＝
，
综上所述，P、Q两点同时出发，问
s或2s或
秒后以△BPQ是直角三角形．
【点睛】
本题考查了矩形、相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键.
26．
（1）见解析；
（2）①60°，②
【分析】
（1）连接OC，证明△ODC≌△OBC,说明OD＝OB，即可完成证明.
（2）①根据平行线的性质即可解答
②如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ,求出JQ，JC，根据CQ≥JC-JQ即可解决问题.
【详解】
（1）证明：
如图1中，连接OC．
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵OD垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝∠OCD＝30°，
∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC（AAS），
∴OD＝OB，
∴AC是⊙O的切线．
（2）①解：
如图1中，∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠DBC，
∵∠ABC＝90°，AD＝DC，
∴BD＝DC＝AD，
∵∠DCB＝60°，
∴△BDC是等边
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