二次函数章节复习.docx
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二次函数章节复习
单元练习：
二次函数
内容分析
二次函数是初中数学九年级上学期第三章的内容．
通过本章的学习，我们需要理解二次函数的概念，并学会利用描点法画出二次函数图像，重点在于掌握二次函数的图像性质，包括特殊的二次函数的图像性质和一般的二次函数的图像性质，理解并熟练其平移规律，从而能根据二次函数的解析式指出这个函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标等特征，并知道图像上升和下降的情况．
难点是根据题中的已知条件，灵活地运用待定系数法求解二次函数的解析式，并能利用二次函数的知识解决相关的实际问题．
此外，经历对二次函数图像的画法及图像特征的研究过程，我们需要从中领略从特殊到一般的研究方法、分解与组合的研究策略以及图形运动、数形结合的数学思想．
知识结构
图像
选择题
【练习1】下列各式中，y是x的二次函数的是（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★
【答案】C
【解析】根据二次函数的概念，形如
的函数是二次函数，只有C符合，A不是整式，B是一次函数，D不是函数，故选C．
【总结】考查二次函数的概念，可与一元二次方程方程的概念关联起来：
自变量最高次数为2、整式、二次项系数不为0，当然前提是式子本身是函数．
【练习2】下列函数中，是y关于x的二次函数的个数是（）
①
；②
；③
；④
；⑤
；
⑥
；⑦
；⑧
；⑨
．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【难度】★
【答案】B
【解析】根据二次函数的概念，形如
的函数是二次函数，①③⑤⑨符合，其它均不符合，②④是一次函数，⑥⑧不是整式，需要注意⑦是函数，但题目未明确说明二次项系数
是否为0，不能确定为二次函数，即只有4个是二次函数，故选B．
【总结】考查二次函数的概念，可与一元二次方程方程的概念关联起来：
自变量最高次数为2、整式、二次项系数不为0，当然前提是式子本身是函数．
【练习3】抛物线
（m，n是常数）的顶点坐标是（）
A．（m，n）B．（
，n）
C．（m，
）D．（
，
）
【难度】★
【答案】B
【解析】根据二次函数的顶点式，可知答案为B．
【总结】考查二次函数的顶点式
形式，其顶点坐标为
．
【练习4】已知抛物线
的顶点坐标是（1，
），则b、c的值分别是（）
A．b=
，c=1B．b=4，c=1
C．b=
，c=
D．b=4，c=
【难度】★
【答案】B
【解析】二次函数对称轴所表示的值即为其顶点横坐标，根据二次函数顶点式，可得
，解得
，顶点在抛物线上，则有
，解得
，故选B．
【总结】考查二次函数顶点式，也可通过将二次函数化作顶点式代入求解．
【练习5】已知二次函数
、
、
，它们的图像开口大小的顺序是（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★
【答案】C
【解析】对定义域内同一个非零
值，易得
恒成立，对应
越小，开口越大，即对二次函数
而言，
越小，开口越大，可知题目答案为C．
【总结】考查二次函数二次项系数
对开口大小的影响，二次项系数
正负影响开口方向，
影响开口大小，
越小，开口越大．
【练习6】抛物线的顶点坐标为P（1，3），开口向下，若要使函数y随自变量x的增大而减小，则x的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★
【答案】C
【解析】对二次函数而言，开口方向向下，对称轴右侧函数随自变量的增大而减小，故选C．
【总结】考查二次函数的增减性，由开口方向和对称轴共同决定．
【练习7】将抛物线
向下平移2个单位得到的抛物线，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★
【答案】D
【解析】根据平移原则，先得到
，再平移即得
．
【总结】考查函数图像的平移，遵循“上加下减，左加右减”的原则．
【练习8】已知二次函数
，则m的值为（）
A．1或3B．3C．1D．以上都不对
【难度】★★
【答案】B
【解析】根据二次函数定义，可得
，解得
，故选B．
【总结】考查二次函数的定义，自变量最高次数为2，同时注意二次项系数不能为0．
【练习9】给出下列四个函数：
①
；②
；③
；④
．当
时，y随着x的增大而减小的函数个数有（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【难度】★★
【答案】C
【解析】
即可确定函数所在象限，根据函数增减性知识，可知在每一个象限内，y随x值增大而减小的是①③④，故选C．
【总结】考查目前为止所学函数的增减性，一次函数
增减性只与
值正负相关，需要注意反比例函数有两支，每一个象限内有独立增减性，二次函数与其开口方向和对称轴相关，开口方向向上，对称轴左侧y随x值增大而减小．
【练习10】若抛物线
经过原点和第一、二、三象限，则（）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【难度】★★
【答案】A
【解析】函数过原点，可知
，画出函数大致图像，函数过一、二、三象限，必有函数开口方向向下，且对称轴在原点左侧，由此可得
，故
，
，故选A．
【总结】考查根据二次函数大致图像确定相关系数取值范围知识点，注意观察二次函数的相关特征量，开口方向、对称轴等．
【练习11】将抛物线
先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线是（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】将
化作顶点式，即为
，根据二次函数的平移法则，平移后得到的函数解析式即为
，整理成一般形式即为
，故选C．
【总结】考查函数图像的平移，遵循“上加下减，左加右减”的原则，前提是将二次函数化作顶点式，左右平移改变
，上下平移改变
．
【练习12】若抛物线
经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】函数过点（2，0），代入即得
，解得
，函数即为
，化作顶点式为
，其顶点坐标为
，根据两点间距离公式即可求得顶点到原点距离为
，故选A．
【总结】考查将二次函数一般式化作顶点式的方法，以及两点间距离公式．
【练习13】已知抛物线C：
，将抛物线C平移得到抛物线
．若两条抛物线C、
关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（）
A．向右平移
个单位B．向右平移3个单位
C．向右平移5个单位D．向右平移6个单位
【难度】★★
【答案】C
【解析】将C：
化作顶点式，即为
，其对称轴即为直线
，C、
关于直线
对称，则两个抛物线对称轴关于直线
对称，即相应的
对称轴应为直线
，由
变到
，相当于向右平移5个单位，故选C．
【总结】考查二次函数的平移，以及函数图像关于直线对称，考虑相应的对称轴即可．
【练习14】函数
与函数
（
）在同一坐标系中的大致图像是（）
D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】由
，可知二次函数图像开口方向向下，反比例函数图像在二、四象限，即可排除A、B选项，同时由二次函数解析式可求得二次函数对称轴为
，即二次函数对称轴在原点左侧，可知C也错误，应选D．实际上，令
，可求得方程两根分别为
，
，即可确定二次函数与
轴的两个交点，即可排除A、B、C三项，故选D．
【总结】考查根据二次函数相关特征判断图像大致形状，从以下几个角度出手：
开口方向、对称轴、与
轴、
轴交点，顶点，即可确定二次函数大致图像和相关参数范围．
【练习15】如图，已知二次函数
的图像，则下列结论：
①a、b同号；②当
x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=
时，x的值只能取2；⑤当
时，
．其中正确的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【难度】★★
【答案】B
【解析】根据函数图像，可知二次函数开口方向向上，即有
，同时函数对称轴为直线
，即有
，由此可得
，对式子变形可得
，①错误，④正确；根据二次函数的对称性，可知到对称轴距离相等的点关于对称轴对称，
和
到
距离相等，②正确；同时函数顶点坐标为
，这个点在函数对称轴上，可知
时，
只能取2，③正确；由函数图像可知
时，
，根据二次函数对称性可知
时，
，即在
时，部分对应
值大于0，⑤错误．
综上所述，可知②③④正确，①⑤错误，故选B．
【总结】考查二次函数图像的对称性，判断相关说法，根据图像特征得出结论．
【练习16】下列说法错误的是（）
A．二次函数
中，当
时，y随x的增大而增大
B．二次函数
中，当x=1时，y有最大值
C．二次函数
，a越大图像开口越小
D．抛物线
（
）的顶点一定是坐标原点
【难度】★★
【答案】C
【解析】两个函数a值相反，开口大小相同，即二次函数开口大小与a的大小和正负都相关，准确来说，即
越大，函数图像开口越小，C错误．
【总结】考查二次函数相关特征量，顶点以及函数增减性，以及开口大小．
【练习17】已知二次函数
经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限），则直线
不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【难度】★★★
【答案】A
【解析】二次函数经过一、三、四象限，画出二次函数大致图像，易得函数开口方向向下，对称轴在原点右侧，同时与
轴交点在原点下方，即有
，解得
，由此可得
，
，根据一次函数经过象限的特征，可知直线
经过二、三、四象限，即函数不过第一象限，故选A．
【总结】考查二次函数相关特征判断图像大致形状，从以下几个角度出手：
开口方向、对称轴、与
轴、
轴交点，顶点，即可确定二次函数大致图像和相关参数范围，同时考查根据一次函数一次项系数和常数项与零的大小关系确定一次函数经过象限的知识．
【练习18】在小智的一次投篮中，若以地平面为x轴，以球的最高点所在的铅垂线为y轴，球的运动路线是抛物线
的一部分，若篮圈的高度为3.05米，小智起跳出手时篮球聚地面2.25米，若小智的投篮想命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离l是（）
A．4.6米B．4.5米
C．4米D．3.5米
【难度】★★★
【答案】C
【解析】令
，解得
，即篮圈中心与篮球最高点水平距离为
，令
，解得
，即小智与篮球最高点水平距离为
，由此可知小智与篮底的水平距离即为
，故选C．
【总结】考查与二次函数结合的运动问题，看清题意，找准题目中的初始位置和末位置与最高点的相互关联即可解决问题．
【练习19】抛物线
中，b=4a，它的图像如图，有如下结论：
①
；
②
；③
；④
；⑤
；⑥
，其中正确的为（）
A．①②B．①④C．①②⑥D．①③⑤
【难度】★★★
【答案】C
【解析】根据函数图像与
轴交点在
轴正半轴，可知①正确；同时根据函数图像，可知
时，
，即
，
，②正确，③错误；函数与
轴有两个交点，即关于
的方程
有两个不相等的实数根，则
，④错误；由
，即得
，根据函数开口方向向上，可知
，则有
，得
，⑥正确；此时
，⑤错误．综上所述，①②⑥正确，③④⑤错误，故选C．
【总结】考查二次函数相关特征判断图像大致形状，从以下几个角度出手：
开口方向
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