18 函数及其图象.docx

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18函数及其图象

第18章函数及其图象2

§18.1　变量与函数2

§18.2　函数的图象7

1.平面直角坐标系7

2．函数的图象8

阅读材料13

笛卡儿的故事13

§18.3一次函数14

1.一次函数14

2.一次函数的图象15

3.一次函数的性质17

4.求一次函数的关系式18

阅读材料20

小明算得正确吗20

§18.4　反比例函数21

1.反比例函数21

2.反比例函数的图象和性质22

§18.5实践与探索24

阅读材料27

TheGraphofaFunction27

小　结28

复　习　题29

第18章函数及其图象

大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?

数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.

§18.1　变量与函数

问题1　

图18.1.1是某日的气温变化图．

看图回答：

（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？

任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

（2）这一天中，最高气温是多少？

最低气温是多少？

（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？

什么时段的气温在逐渐降低？

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．

问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2006年8月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的．

问题3收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：

细心的同学可能会发现：

λ与f的乘积是一个定值，即

λf＝300000，

或者说f=

．说明波长λ越大，频率f就____________．

问题4圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积

则S与r之间满足下列关系：

S＝____________．

利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时

圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______________．

概括在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这

里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例

如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变

化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值

的量，叫做变量（variable）．

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，

如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量（independentvariable），y是因变量（dependentvariable），此时也称y是x的函数（function）．表示函数关系的方法通常有三种：

（1）解析法，如问题3中的f=

，问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．

（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．（3）图象法，如图18.1.1中的气温曲线．在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），如问题3中的300000，问题4中的π等．

练习

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2.下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?

（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

（3）上表反映了哪些变量之间的关系?

其中哪个是自变量?

哪个是因变量?

3.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:

（1）圆的周长C与半径r的关系式;

（2）火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式;

（3）n边形的内角和S与边数n的关系式.

试一试

（1）填写如图18.1.2所示的加法表，然后把

所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向

的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．

（2）试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数

x之间的函数关系式．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（3）如图18.1.3，等腰直角△ABC的直角边长与正

方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y（cm2）与MA长度x（cm）之间的函数关系式．

思考

（1）在上面“试一试”中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？

如

果有，写出它的取值范围。

（2）在上面“试一试”的问题

（1）中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？

当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

　　例1　在上面“试一试”的问题

（2）中,自变量底角的度数x的取值范围是什么？

分析　我们知道，等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90，因此

它的取值范围为___＜x＜___．

例2　求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝3x－1；

（2）y＝2x2＋7；（3）y=

；（4）y＝

．

分析　用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在

（1）、

（2）中，x取任意实数时，3x－1与2x2＋7都有意义；而在（3）中，分母

不能为零；在（4）中，因为负数没有平方根，所以被开方数不能是负数。

例3　在上面试一试的问题（3）中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?

解设重叠部分面积为ycm2，MA长为xcm，容易求出y与x之间的函数关系式为y=

当x＝1时，y=

所以当MA＝1cm时，重叠部分的面积是

cm2　

练习

1.求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y=

；

（2）y=x2-x-2；

（3）y=

；（4）y=

2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：

（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；

（2）已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；

（3）在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式.

3．一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：

s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

习题18.1

1.分别指出下列各关系式中的变量与常量：

（1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系

式是S＝

h；

（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β（度）与a间的关系式是β＝90－a；

（3）若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：

y＝ax．

2.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

（1）一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形

周长为ycm．求y和x间的关系式；

（2）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的

信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；（3）矩形的周长为12cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的

关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积．

3.求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y=-2x-5x2；

（2）y=x（x+3）；

（3）y=

；（4）y=

4.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表．

则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（　　）．A.v＝2m　　　　B.v＝m2＋1　　　　C.v＝3m－1D.v＝4m－25.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

（1）y=（x+1）（x-2）；

（2）y=2x2-3x+2；

（3）y=

6.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．

§18.2　函数的图象

由§18.1的问题1，我们知道，气温变化图可以直观地表示出不同时间的气温，反映出气温变化的规律．一般地，函数常常可以用它的图象来表示，利用函数的图象可以帮助我们直观地研究函数．那么，什么是函数的图象？

怎样画出函数的图象呢？

这一节我们将对此作一些初步的研究．为此，先学习一个非常有用的工具——直角坐标系．

1.平面直角坐标系

回忆你去过电影院吗？

还记得在电影院是怎么找座位的吗？

如图18.2.1，因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（图18.2.2），这就建立了平面直角坐标系（rightangledcoordinatessystem）．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．

在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图18.2.2中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标（abscissa）；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标（ordinate）．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数（3，2），称为点P的坐标（coordinates）．这时点P可记作P（3，2）．在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成图18.2.2所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．

试一试1.在图18.2.2中分别描出坐标是（2，3）、（－2，3）、（3，－2）的点Q、S、R，Q（2，3）与P（3，2）是同一点吗？

S（－2，3）与R（3，－2）是同一点吗？

2.写出图18.2.3中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，思考：

（1）在四个象限内的点的坐标各有什么特征？

（2）两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？

思考我们知道，数轴上的点和全体实数是一一对应的．上面的试一试也给我们这样的启发：

在平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的．你能说出这句话的含义吗？

练习

1．在直角坐标系中描出点A（2，-3），分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标.

2．观察第1题写出的各点的坐标，能否发现：

关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？

3．

如图所示的国际象棋的棋盘中，双方四只马的位置分别是A（b，3）、B（d、5）、C（f，7）、D（h，2），请在图中描出它们的位置.

4．你用过计算机中的画图软件吗？

当你的鼠标在空白的工作区移动时，状态栏上就会显示两个变化的数字，这实际上就是你的鼠标的“坐标”。

你还能举出一些身边的坐标的例子吗？

2．函数的图象

回顾在§18.1的问题1中，我们曾经从图18.1.1的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下，作一些理性的思考．先考虑一个简单的问题：

你是如何从图上找到各个时刻的气温的？

图18.1.1中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这一气温曲线实际上给出了某日的气温T（℃）与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在X气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是（10，2）．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标（t，T），表示时间为t时的气温是T．气温曲线是用图象表示函数的一个实际例子．那么，什么是函数的图象呢?

概括一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成．图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．例画出函数y＝

x2的图象．分析　要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．解　取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3…，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：

由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：

…，（－3，4.5），（－2，2），（－1，0.5），（0，0），（1，0.5），（2，2），（3，4.5），…在直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图18.2.4所示．

通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图18.2.5所示．

这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．

练习

1．在所给的直角坐标系中画出函数y=

x的图象（先填写下表，再描点、连线）.

2．画出函数y=

的图象.

问题1王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图18.2.6中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：

（1）小强让爷爷先上多少米？

（2）山顶高多少米？

谁先爬上山顶？

练习

1．下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：

（1）从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？

（2）在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？

（第1题）

2．一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（　　　）.

（第2题）

3.小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？

（第3题）

问题2王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式

y=

击球，球正好进洞．其中，y（m）是球的飞行高度，x（m）是球

飞出的水平距离．

（1）试画出高尔夫球飞行的路线；

（2）从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？

球的起点与洞之间的距离是多少？

分析高尔夫球飞行的路线，也就是函数y=

的图象．用描点法画出图

象，其他问题也就可以解决了．解　

（1）列表如下：

在图18.2.7所示的直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致

图象．

图18.2.7

（2）从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是___m，球的起点与洞之间

的距离是___m．

试一试画出§18.1的试一试问题（3）中的函数图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值．习题17.2

1.判断下列说法是否正确：

（1）（2，3）和（3,2）表示同一点；

（2）点（-4，1）与点（4，-1）关于原点对称；

（3）坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；

（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.

2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？

3.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置.例如，图中右下角的一个棋子可以表示为（12，十三）.请至少说出图中四个棋子的“位置”.

4.画出下列函数的图象，并判断大括号内各点是否在该函数的图象上.

（1）

（2）

5.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围；

（3）画出这个函数的图象.

6.

周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题：

（1）小李到达离家最远的地方是什么时间？

（2）小李何时第一次休息？

（3）10时到13时，小骑了多少千米？

（4）返回时，小李的平均车速是多少？

阅读材料

笛卡儿的故事

直角坐标系，通常称为笛卡儿直角坐标系，它是以法国哲学家、数学家和自然科学家笛卡儿（R.Descartes,1596~1650）的名字命名的.

笛卡儿从小就喜爱沉思默想，寻根问底.他的父亲很懂得儿童教育法，针对这一特点，常让笛卡儿随自己的心意去学习，不加任何限制.

1612年，笛卡儿以优异的成绩从中学毕业，同年秋天，来到波埃顿大学攻读法律.四年以后，又以优异的成绩获得法学博士学位.当时，他对学校所学知识的贫乏已经感到极不耐烦，于是，他决定迈开双脚，去“阅读世界这一本大书”，开始了他的军旅生活.

笛卡儿首先来到荷兰.有一天，他看见许多人正盯着城墙上一块告示牌子议论纷纷.笛卡儿请身旁的一位长者把告示上的荷兰文译成法文或拉丁文.原来，这是一道数学难题，谁要是答出来，就可以得到一笔奖金，还将被授予“布雷达数学家”的荣誉称号.两天以后，笛卡儿带来了正确的解答，使那位长者大为惊讶.在交谈中，笛卡儿才知道，这位长者是当时颇有名气的多特大学校长贝克曼.从此，他俩一起讨论科学问题，贝克曼向笛卡儿介绍数学的最新进展，给了他许多有待研究的问题.笛卡儿从这次成功中看到了自己的数学才能，激起了钻研数学的兴趣.

笛卡儿1621年回到巴黎，1628年为避开俗事而移居荷兰，专心从事研究和写作.1649年应瑞典女王克丽斯蒂娜的邀请来到斯德哥尔摩任教，次年因病逝世.

笛卡儿首先导入运动着的点的坐标概念，使用代数学作为研究几何学的一般方法，创立了解析几何，使数学发生了划时代的变化.“笛卡儿的变数”被革命导师恩格斯誉为“数学中的转折点”.

由于笛卡儿的哲学和数学思想影响日益深远，法国政府在1767年将他的有灰迎回国内，在他的墓碑上镌刻着：

笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人.

§18.3一次函数

1.一次函数

问题1小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米/时．已知A地直达北京的高速公路全程570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．

分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化．要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然，应该探究这两个量之间的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，则不难得到s与t的函数关系式是s＝570－95t．　　

（1）

问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．

分析同样，我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为y元，得到所求的函数关系式为y＝_______________．

（2）

概括上述函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数（linearfunction）．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）也叫做正比例函数（directproportionalfunction）．

思考前两节所看到的函数中，哪些是一次函数?

练习

1.仓库内原有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式.

2.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米,求树高（米）与年数之间的函数关系式,并算一算4年后这些树约有多高.

3.小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄.首次存入1万元,以后每个月存入500元,存满3万元止.求存款数增长的规律.几个月后可存满全额?

4．以上3道题中的函数有什么共同特点？

2.一次函数的图象

前面，我们已经学习了用描点法画出函数的图象，也知道通常可以结合函数的图象研究它的性质和应用．那么，一次函数的图象是什么形状呢？

做一做在同一个平面直角坐标系中画出了下列函数的图象.

（1）

;

（2）

;

（3）

y=3x;（4）y=3x+2

概括根据以上实践、观察与讨论，我们发现一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线．通常也称为直线y＝kx＋b．特别地，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．

讨论观察“做一做”画出的四个一次函数的图象，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．

（1）y＝3x与y＝3x＋2；

（2）y＝

与y＝

＋2；（3）y＝3x＋2与y＝

＋2．能否从中发现一些规律？

对于直线y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0），常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响?

我们可以发现，两个一次函数，当系数k相同，b不相同时（如y＝3x与y=3x＋2），有

共同点：

______________________________________________________；不同点：

______________________________________________________．而当b相同，k不相同时（如y＝3x+2与y＝

＋2），有

共同点：

______________________________________________________；不同点：

______________________________________________________．例1在同一平面直角坐标系中画下列函数的图象．

（1）y＝2x与y＝2x＋3；

（2）y＝2x＋１与y＝

＋1．

练习

1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象,并说出它们有什么关系:

（1）y=-2x;

（2）y=-2x-4.

2.

（1）将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_____________________;

（2）将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_____________________.

例2　求直线y＝－2x－3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线．

分析　因为x轴上点的纵坐标等于0，y轴上点的横坐标等于0，所以，当y＝0时，x＝－1.5，点（－1.5，0）就是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝－3，点（0，－3）就是直线与y轴的交点．如图18.3.2，过点（－1.5，0）和（0，－3）作直线，就是所求的直线y＝－2x－3．

例3　问题1中小明距北京的路程s（千米）与在高速公里上行驶的时间t