版高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用讲义第四章+三角函数+解三角形+第22讲+Word版含答案.docx

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版高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用讲义第四章+三角函数+解三角形+第22讲+Word版含答案

第22讲　三角函数的图象和性质

考试要求　1.y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象及周期性（A级要求）；2正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、最值及与x轴的交点等）（B级要求）；3.正切函数在区间内的单调性（B级要求）.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx（x∈R）的一个周期.（　　）

（2）余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.（　　）

（3）正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.（　　）

（4）已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.（　　）

（5）y＝sin|x|是偶函数.（　　）

解析　

（1）函数y＝sinx的周期是2kπ（k∈Z）.

（2）余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

（3）正切函数y＝tanx在每一个区间（k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.

（4）当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）√

2.（2018·苏北四市一模）函数y＝cos的最小正周期为________.

解析　函数y＝cos的最小正周期T＝＝4π.

答案　4π

3.（必修4P33例4改编）函数y＝2tan的定义域为________.

解析　∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z，

即函数的定义域为.

答案　

4.（2017·苏州一模）若函数f（x）＝sin（φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝________.

解析　由已知f（x）＝sin是偶函数，可得＝kπ＋（k∈Z），即φ＝3kπ＋（k∈Z），又φ∈[0，2π]，

所以φ＝.

答案　

5.函数f（x）＝sin在区间上的最小值为________.

解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f（x）＝sin在区间上的最小值为－.

答案　－

知识梳理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

（0，0），，（π，0），，（2π，0）.

（2）余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

（0，1），，（π，－1），，（2π，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈Z）

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

值域

[－1，1]

[－1，1]

R

周期性

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调增区间

[2kπ－π，2kπ]

单调减区间

[2kπ，2kπ＋π]

无

对称中心

（kπ，0）

对称轴方程

x＝kπ＋

x＝kπ

无

考点一　三角函数的定义域与值域

【例1】

（1）函数f（x）＝－2tan的定义域是________.

（2）（2017·泰州模拟）函数y＝2sin（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为________.

（3）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.

解析　

（1）由正切函数的定义域，

得2x＋≠kπ＋（k∈Z），

即x≠＋（k∈Z）.

∴函数的定义域为.

（2）因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，

所以sin∈.

所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.

（3）设t＝sinx－cosx，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，

sinxcosx＝，且－≤t≤.

∴y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数的值域为.

答案　

（1）　

（2）2－

（3）

规律方法　

（1）三角函数定义域的求法，以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan（ωx＋φ）的定义域.

（2）求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：

①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；

②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；

③形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域（最值）.

【训练1】

（1）函数y＝tan2x的定义域是________.

（2）（2016·全国Ⅱ卷改编）函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为________.

解析　

（1）由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

∴y＝tan2x的定义域为.

（2）由f（x）＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sinx＝－2＋，所以当sinx＝1时函数的最大值为5.

答案　

（1）　

（2）5

考点二　三角函数的单调性

【例2】

（1）函数f（x）＝sin的单调递减区间为________.

（2）（一题多解）若f（x）＝2sinωx＋1（ω>0）在区间上是增函数，则ω的取值范围是________.

解析　

（1）由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所求函数的单调递减区间为（k∈Z）.

（2）法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，

得f（x）的增区间是（k∈Z）.

因为f（x）在上是增函数，

所以⊆.

所以－≥－且≤，所以ω∈.

法二　因为x∈，ω>0.

所以ωx∈，

又f（x）在区间上是增函数，

所以⊆，

则又ω>0，

得0<ω≤.

法三　因为f（x）在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.

答案　

（1）（k∈Z）　

（2）

规律方法　

（1）求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin（ωx＋φ）形式，再求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.

（2）对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.

【训练2】

（1）函数f（x）＝tan的单调递增区间是________.

（2）已知ω>0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.

解析　

（1）由kπ－<2x－

所以函数f（x）＝tan的单调递增区间为（k∈Z）.

（2）由0，得

＋<ωx＋<ωπ＋，

又y＝sinx的单调递减区间为，k∈Z，

所以

解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.

又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，

得k＝0，所以ω∈.

答案　

（1）（k∈Z）　

（2）

考点三　三角函数的奇偶性与对称性（多维探究）

命题角度1　奇偶性

【例3－1】

（1）（2017·常州期末）函数y＝2cos2－1是最小正周期为________的________函数（填“奇”或“偶”）.

（2）（2018·衡水中学金卷）设函数f（x）＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝________.

解析　

（1）y＝2cos2－1

＝cos2＝cos＝cos＝sin2x，

则函数为最小正周期为π的奇函数.

（2）f（x）＝sin－cos＝

2sin，由题意可得f（0）＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ（k∈Z），∴θ＝＋kπ（k∈Z），∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.

答案　

（1）π　奇　

（2）－

命题角度2　轴对称

【例3－2】

（1）（2017·苏、锡、常、镇四市调研）若函数f（x）＝2sin（4x＋φ）（φ<0）的图象关于直线x＝对称，则φ的最大值为________.

（2）（2016·全国Ⅰ卷改编）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为________.

解析　

（1）由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.

（2）因为x＝－为f（x）的零点，x＝为f（x）的图象的对称轴，－＝＋，即＝＝·，解得ω＝2k＋1（k∈N），又因为f（x）在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，令ω＝11，∵x＝是y＝f（x）的对称轴，∴＋φ＝＋kπ（k∈N）.又由|φ|≤，解得φ＝－，此时f（x）＝sin，f（x）在上递增，在上递减，不满足f（x）在上单调；同理令ω＝9，则φ＝，此时f（x）＝sin，满足f（x）在上单减，综上，ω的最大值为9.

答案　

（1）－　

（2）9

命题角度3　中心对称

【例3－3】

（1）已知函数y＝2sin的图象关于点P（x0，0）对称，若x0∈，则x0＝________.

（2）若函数y＝cos（ω∈N*）图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________.

解析　

（1）由题意可知2x0＋＝kπ，k∈Z，

故x0＝－，k∈Z，

又x0∈，∴－≤k≤，k∈Z，

∴k＝0，则x0＝－.

（2）由题意知π＋＝kπ＋（k∈Z），

∴ω＝6k＋2（k∈Z），又ω∈N*，∴ωmin＝2.

答案　

（1）－　

（2）2

规律方法　

（1）若f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0），则

2f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）；

②f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）.

（2）对于可化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）形式的函数，如果求f（x）的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x即可；如果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x即可.

（3）对于可化为f（x）＝Acos（ωx＋φ）形式的函数，如果求f（x）的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x即可；如果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x即可.

【训练3】

（1）（2017·无锡期末）若函数f（x）＝cos的图象关于点（x0，0）成中心对称，x0∈，则x0＝______.

（2）（2018·盐城模拟）当x＝时，函数f（x）＝sin（x＋φ）取得最小值，则下列关于函数y＝f的说法正确的是________（填序号）.

①是奇函数且图象关于点对称；

②是偶函数且图象关于点（π，0）对称；

③且奇函数且图象关于直线x＝对称；

④是偶函数且图象关于直线x＝π对称.

解析　

（1）因为f（x）＝cos＝cos＝－sin2x，由2x0＝kπ，k∈Z得x0＝，k∈Z.

由x0∈，故k＝0，1时，x0＝0，.

（2）∵当x＝时，函数f（x）取得最小值，

∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－（k∈Z），

∴f（x）＝sin＝sin，

∴y＝f＝sin（－x）＝－sinx，

∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称.

答案　

（1）0或　

（2）③

一、必做题

1.（2017·江苏押题卷）已知函数f（x）＝2sin（ω>0）的最小正周期为T＝π，则ω＝________.

解析　因为T＝，所以＝π，故ω＝3.

答案　3

2.（2017·南京模拟）若函数f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，则f的值是________.