【答案】
(1)A
(2)D
规律方法3 1.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.
2.求交、并、补的混合运算时,先算括号里面的,再按运算顺序求解.
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
4.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解.
对点训练
(1)(2014·江西高考)设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=( )
A.(-3,0) B.(-3,-1)
C.(-3,-1] D.(-3,3)
(2)如图1-1-1,已知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为______.
【答案】
(1)C
(2){2,8}
思想方法之一 数形结合思想在集合中的妙用
数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维相结合,使问题化难为易、化抽象为具体.
数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面:
(1)利用Venn图,直观地判断集合的包含或相等关系.
(2)利用Venn图,求解有限集合的交、并、补运算.
(3)借助数轴,分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题.
—————————— [1个示范例] ——————
已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
【解析】 ∵A={x|-5<x<1},B={x|(x-m)(x-2)<0},且A∩B={x|-1<x<n}.
如图所示
由图可知A∩B={x|-1<x<1},
故n=1,m=-1.
【答案】 -1 1
———————— [1个对点练] ———————
设A={x|-2<x<-1,或x>1},B={x|x2+ax+b≤0}.已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},则a=________,b=________.
【解析】 如图所示.
设想集合B所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当B覆盖住集合{x|-1≤x≤3}时符合题意.
根据一元二次不等式与一元二次方程的关系,可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根,∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.
【答案】 -2 -3
课时限时检测
(一) 集合的概念与运算
(时间:
60分钟 满分:
80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2013·北京高考)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=
( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1}D.{-1,0,1}
【答案】 B
2.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b-a,a∈A,b∈B},则C中元素的个数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【答案】 B
3.(2013·江西高考)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )
A.4 B.2
C.0 D.0或4
【答案】 A
4.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图1-1-2中阴影部分所表示的集合为( )
图1-1-2
A.{0,1} B.{1}
C.{1,2} D.{0,1,2}
【答案】 B
5.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
<x<
},则( )
A.A∩B=∅B.A∪B=R
C.B⊆AD.A⊆B
【答案】 B
6.设A,B,I均为非空集合,且满足A⊆B⊆I,则下列各式中错误的是( )
A.(∁IA)∪B=IB.(∁IA)∪(∁IB)=I
C.A∩(∁IB)=∅D.(∁IA)∩(∁IB)=∁IB
【答案】 B
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________.
【答案】 -3
8.已知集合A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A且a≠b},则B的子集有________个.
【答案】 4
9.已知集合A={x|f(x)=lg(x2-2x-3)},B={y|y=2x-a,x≤2},若A∪B=A,则a的取值范围是________.
【答案】 (-∞,-3]∪(5,+∞)
三、解答题(本大题共3小题,共35分)
10.(10分)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}且B⊆A,求a的值.
【解】 ∵B⊆A,∴a2-a+1=3或a2-a+1=a.
①由a2-a+1=3得a2-a-2=0解得a=-1或a=2.
当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B⊆A,
当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B⊆A.
②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1,
当a=1时,A={1,3,1}不满足集合元素的互异性.
综上,若B⊆A,则a=-1或a=2.
11.(12分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|m-2≤x≤m+2,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
【解】 由已知得A={x|-1≤x≤3},
(1)∵A∩B=[0,3],B={x|m-2≤x≤m+2}.
∴
∴m=2.
(2)∁RB={x|x<m-2或x>m+2},
∵A⊆∁RB,
∴m-2>3或m+2<-1,
即m>5或m<-3.
因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<-3}.
12.(13分)已知函数f(x)=
的定义域集合是A,函数g(x)=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B.
(1)求集合A、B;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
【解】
(1)由x2-x-2≥0⇔x≤-1或x≥2,
所以A={x|x≤-1或x≥2}.
由(x-a)(x-a-1)>0得x<a或x>a+1,所以B={x|x<a或x>a+1}.
(2)由A∩B=A知A⊆B,得
所以-1<a<1,
所以实数a的取值范围是(-1,1).
第二节 命题及其关系、充分条件
与必要条件
[考情展望] 1.直接考查“若p,则q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体,考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据.
一、四种命题及其关系
1.四种命题间的相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
二、充分条件与必要条件
1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.
3.如果pD/⇒q,且qD/⇒p,则p是q的既不充分又不必要条件.
充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性:
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”;
(2)传递性:
若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”.
1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
【答案】 A
2.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠
,则tanα≠1B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
【答案】 C
3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
【答案】 B
4.下列命题正确的有________.
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件;
③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;
④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件.
【答案】 ②③
5.(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
6.(2014·陕西高考)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
【答案】 B
考向一[004] 四种命题的关系及真假判断
(1)命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
【答案】
(1)C
(2)②④
规律方法1 1.
(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再考查每个命题的条件与结论之间的关系.
(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时,必须保留大前提不变.
2.判定命题为真,必须推理证明;若说明为假,只需举出一个反例.互为逆否命题是等价命题,根据需要,可相互转化.
对点训练 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题是真命题;
②命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题是真命题;
③命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0”;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
【答案】 ①③④
考向二[005] 充分条件与必要条件的判定
(1)(2014·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的
( )
A.充分而不必要的条件
B.必要而不充分的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
(2)(2013·山东高考)给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
(1)C
(2)A
规律方法2 充分、必要条件的三种判断方法.
1.定义法:
直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件.
2.等价法:
利用p⇒q与綈q⇒綈p,q⇒p与綈p⇒綈q,p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
3.集合法:
若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
对点训练
(1)(2014·安徽高考)“x<0”是“ln(x+1)<0”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2015·长沙模拟)设A,B为两个互不相同的集合,命题p:
x∈A∩B,命题q:
x∈A或x∈B,则綈q是綈p的( )
A.充分且必要条件B.充分非必要条件
C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件
【答案】
(1)B
(2)B
考向三[006] 充分条件与必要条件的应用
设命题p:
2x2-3x+1≤0;
命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
【答案】
规律方法3 1.借助命题间的等价关系直接建立参数a的不等关系,避免了繁琐转换计算,将失误降到最低.
2.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
3.注意利用转化的方法理解充分必要条件:
若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
对点训练 已知命题p:
命题q:
1-m≤x≤1+m,m>0,若q是p的必要而不充分条件,则m的取值范围为________.
【答案】 [9,+∞)
易错易误之一 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误
—————————— [1个示范例] ——————
下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b+1B.a>b-1
C.a2>b2D.a3>b3
【解析】 要求a>b成立的充分不必要条件,必须满足
由选项能推出a>b,而由a>b推不出选项.
此处在求解中,常误认为“由a>b推出选项,而由选项推不出a>b”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件,哪个是结论”.在选项A中,a>b+1能使a>b成立,而a>b时a>b+1不一定成立,故A正确;在选项B中a>b-1时a>b不一定成立,故B错误;在选项C中,a2>b2时a>b也不一定成立,因为a,b不一定均为正值,故C错误;在选项D中,a3>b3是a>b成立的充要条件,故D也错误.
【防范措施】 充分条件、必要条件是相对的概念,在进行判断时一定要注意哪个是“条件”,哪个是“结论”,如“A是B成立的……条件”,其中A是条件;“A成立的……条件是B”,其中B是条件.
——————— [1个防错练] ———————
设集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________.
【解析】 A={-3,2},当B=∅时,BA,此时m=0,
当B≠∅时,B=
,则-
=-3或-
=2,∴m=
或m=-
.
故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m=0(答案不唯一).
【答案】 m=0(答案不唯一)
课时限时检测
(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件
(时间:
60分钟 满分:
80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
【答案】 B
2.(2014·广州市培正中学模拟)“a=1”是“(a-1)(a-2)=0”成立的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
3.有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆否命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中的真命题为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
【答案】 C
4.(2013·福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
5.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”是“0≤a≤1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
6.已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )
A.a<5B.a≤5
C.a>5D.a≥5
【答案】 A
二、填空题(每小题共5分,共15分)
7.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.
【答案】 2
8.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
【答案】 3或4
9.若p:
x(x-3)<0是q:
2x-3<m的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________.
【答案】 [3,+∞)
三、解答题(本大题共3小题,共35分)
10.(10分)已知函