管理运筹学复习.docx
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管理运筹学复习
管理运筹学复习
（1）某工厂在计划期内要安排Ⅰ,Ⅱ两种产品的生产.生产单位产品所需的设备台时及A,B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表所示:
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
300台时
原料A
2
1
400kg
原料B
0
1
250kg
工厂每生产一单位产品Ⅰ可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品Ⅰ和产品Ⅱ才能使获利最多？
解：
maxz=50X1+100X2；
满足约束条件：
X1+X2≤300，
2X1+X2≤400，
X2≤250，
X1≥0,X2≥0。
（2）：
某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉10台，需要原材料为∮63.5×4mm的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如下表所示：
规格/mm
需要数量/根
规格/mm
需要数量/根
2640
8
1770
42
1651
35
1440
1
库存的原材料的长度只有5500mm一种规格，问如何下料，才能使总的用料根数最少？
需要多少根原材料？
解：
为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2640
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
17
70
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
16
51
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
14
40
0
0
0
1
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
合计
5280
4410
4291
4080
5310
5191
4980
5072
4861
4650
4953
4742
4531
4320
剩余
220
1090
1209
1420
190
309
520
428
639
850
547
758
969
1180
设按14种方案下料的原材料的根数分别为X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14,可列出下面的数学模型：
minf＝X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14
满足约束条件：
2X1＋X2＋X3＋X4≥80
X2＋3X5＋2X6＋2X7＋X8＋X9＋X10≥420
X3＋X6＋2X8＋X9＋3X11＋X12＋X13≥350
X4＋X7＋X9＋2X10＋X12＋2X13＋3X14≥10
X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X11，X12，X13，X14≥0
（3）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示：
B1
B2
B3
产量/件
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量/件
150
150
200
应如何调运，使得总运输费最小？
解：
此运输问题的线性规划的模型如下
minf=6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23
约束条件：
X11+X12+X13=200
X21+X22+X23=300
X11+X21=150
X12+X22=150
X13+X23=200
Xij≥0（i=1,2;j=1,2,3）
（4）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示：
B1
B2
B3
产量/件
A1
6
4
6
300
A2
6
5
5
300
销量/件
150
150
200
500600
应如何组织运输，使得总运输费为最小？
解：
这是一个产大于销的运输问题，建立一个假想销地B4，得到产销平衡如下表：
B1
B2
B3
B4
产量/件
A1
6
4
6
0
300
A2
6
5
5
0
300
销量/件
150
150
200
100
600600
（5）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运输单价如下表所示：
B1
B2
B3
产量/件
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量/件
250
200
200
650500
解：
这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地A3，得到产销平衡如下表：
B1
B2
B3
产量/件
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
A3
0
0
0
150
销量/件
250
200
200
650650
（6）某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400箱、500箱。
需要供应四个地方的销售，这四地的产品需求分别为400箱、250箱、350箱、200箱。
三个分厂到四个销地的单位运价如下表所示：
甲
乙
丙
丁
1分厂
21
17
23
25
2分厂
10
15
30
19
3分厂
23
21
20
22
1应如何安排运输方案,使得总运费为最小?
2如果2分厂的产量从400箱提高到了600箱,那么应如何安排运输方案,使得总运费为最小?
3如果销地甲的需求从400箱提高到550箱,而其他情况都同①,那该如何安排运输方案,使得运费为最小?
解:
①此运输问题的线性规划的模型如下
minf=21X11+17X12+23X13+25X14+10X21+15X22+30X23+19X24+23X31+21X32+20X33+22X34
约束条件：
X11+X12+X13+X14=300
X21+X22+X23+X24=400
X31+X32+X33+X34=500
X11+X21+X31=400
X12+X22+X32=250
X13+X23+X33=350
X14+X24+X34=200
Xij≥0（i=1,2,3;j=1,2,3,4）
②解：
这是一个产大于销的运输问题，建立一个假想销地戊，得到产销平衡如下表：
甲
乙
丙
丁
戊
产量/箱
1分厂
21
17
23
25
0
300
2分厂
10
15
30
19
0
（400）600
3分厂
23
21
20
22
0
500
销量/箱
400
250
350
200
200
14001400
③解：
这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地4分厂，得到产销平衡如下表：
甲
乙
丙
丁
产量/箱
1分厂
21
17
23
25
300
2分厂
10
15
30
19
400
3分厂
23
21
20
22
500
4分厂
0
0
0
0
150
销量/箱
550
250
350
200
13501350
（7）整数规划的图解法
某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示：
货物
每件体积/立方英尺
每件重量/百千克
每件利润/百元
甲
195
4
2
乙
273
40
3
托运限制
1365
140
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？
解：
设X1,X2分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学模型如下所示：
maxz=2X1+3X2
约束条件：
195X1+273X2≤1365，
4X1+40X2≤140，
X1≤4，
X1,X2≥0，
X1,X2为整数。
（8）指派问题
有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示：
问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？
A
B
C
D
甲
15
18
21
24
乙
19
23
22
18
丙
26
17
16
19
丁
19
21
23
17
解：
引入0—1变量Xij，并令
1，当指派第i人去完成第j项工作时；
Xij=
0，当不指派第i人去完成第j项工作时；
此整数规划的数学模型为：
minz=15X11+18X12+21X13+24X14+19X21+23X22+22X23+
18X24+26X31+17X32+16X33+19X34+19X41+21X42+23X43+17X44
约束条件：
X11+X12+X13+X14=1（甲只能干一项工作）
X21+X22+X23+X24=1（乙只能干一项工作）
X31+X32+X33+X34=1（丙只能干一项工作）
X41+X42+X43+X44=1（丁只能干一项工作）
X11+X21+X31+X41=1（A工作只能一个人干）
X12+X22+X32+X42=1（B工作只能一个人干）
X13+X23+X33+X43=1（C工作只能一个人干）
X14+X24+X34+X44=1（D工作只能一个人干）
Xij为0—1变量，（i=1,2,3，4;j=1,2,3,4）
（9）有优先权的目标规划的图解法
一位投资商有一笔资金准备购买股票，资金总额为90000元，目前可选的股票有A、B两种（可以同时投资于两种股票），其价格以及年收益率和风险系数
如下表所示：
股票
价格/元
年收益/（元/年）
风险系数
A
20
3
0.5
B
50
4
0.2
从表可知：
股票A的收益率为（3/20）×100%=15%,股票B的收益率为（4/50）×100%=8%,
A的收益率比B大，但同时A的风险也比B大，这符合高风险高收益的规律。
试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收益不低于10000元。
解：
设X1、X2分别表示投资商所购买的股票A和股票B的数量。
1.针对优先权最高的目标建立线性规划
建立线性规划模型如下：
mind1+
约束条件：
20X1+50X2≦90000
0.5X1+0.2X2-d1++d1-=700
3X1+4X2-d2++d2-=10000
X1,X2,d1+,d2-≧0
2.针对优先权次高的目标建立线性规划
建立线性规划模型如下：
mind2-
约束条件：
20X1+50X2≦90000
0.5X1+0.2X2-d1++d1-=700
3X1+4X2-d2++d2-=10000
d1+=0
X1，X2，d1+，d1-，d2+，d2-≧0
3.目标规划模型的标准化
对于两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解，为方便，把他们用一个模型来表达：
minP1（d1+）+P2（d2-）
约束条件：
20X1+50X2≦90000，
0.5X1+0.2X2-d1++d1-=700，
3X1+4X2-d2++d2-=10000，
X1，X2，d1+，d1-，d2+，d2-≧0。
（10）某工厂试对产品A、B进行生产，市场需求并不是很稳定，因此对每种产品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润，这两种产品都经过甲、乙两台设备加工，已知产品A和B分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备的可用加工时间以及预期利润如表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期利润不少于5千元，其次是要求销售良好时，预期销售利润尽量达到1万元。
试建立目标规划模型。
A
B
可用时间
甲
4
3
45
乙
2
5
30
销售良好时的预期利润（元/件）
8
6
100
销售较差时的预期利润（元/件）
5
5
50
解：
设工厂生产A产品X1件，生产B产品X2件。
按照生产要求，建立如下目标规划模型:
minP1（d1+）+P2（d2-）
约束条件：
4X1+3X2≦45，
2X1+5X2≦30
5X1+5X2-d1++d1-=50，
8X1+6X2-d2++d2-=100，
X1，X2，di+，di-≧0.i=1,2
（11）动态规划
石油输送管道铺设最优方案的选择问题：
如图所示，其中A为出发点，E为目的地，B、C、D分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的B1、B2、B3;C1、C2、C3;D1、D2分别为可供选择的各站站点。
图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字为铺设管线所需要的费用，问如何铺设管道才使总费用最小？
62
3
3
574
44
4154
5
解：
第四阶段：
D1—E3；D2—E4；
第三阶段：
C1—D1—E5；C2—D2—E8；C3—D1—E8；C3—D2—E8；
第二阶段：
B1—C1—D1—E11；B1—C2—D2—E11；B2—C1—D1—E8；
B3—C1—D1—E9；B3—C2—D2—E9；
第一阶段：
A—B1—C1—D1—E14；A—B1—C2—D2—E14；
A—B2—C1—D1—E13；A—B3—C1—D1—E13；
A—B3—C2—D2—E13；
最优解：
A―B2―C1―D1―E；A―B3―C1―D1―E；A―B3―C2―D2―E
最优值：
13
（12）最小生成树问题
某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的可能联通的途径如图所示，图中V1，……，V7表示7个学院办公室，图中的边为可能联网的途径，边上的所赋权数为这条路线的长度，单位为百米。
请设计一个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
解：
①在G中找到一个圈（V1，V7，V6，V1）,并知在此圈上边[V1，V6]的权数10为最大，在G中去掉边[V1，V6]得图G1，如上图所示
②在G1中找到一个圈（V3，V4，V5，V7，V3），去掉其中权数最大的边[V4，V5]，
得图G2，如上图所示
③在G2中找到一个圈（V2，V3，V5，V7，V2），去掉其中权数最大的边
[V5，V7]，得图G3，如上图所示
④在G3中找到一个圈（V3，V5，V6，V7，V3），去掉其中权数最大的边
[V5，V6]，得图G4，如上图所示
⑤在G4中找到一个圈（V2，V3，V7，V2），去掉其中权数最大的边
[V3，V7]，得图G5，如上图所示
⑥在G5中已找不到任何一个圈了，可知G5即为图G的最小生成树。
这个最小生成树的所有边的总权数为3+3+3+1+2+7=19
（13）某一个配送中心要给一个快餐店送快餐原料，应按照什么路线送货才能使送货时间最短。
下图给出了配送中心到快餐店的交通图，图中V1，……，V7表示7个地名，其中V1表示配送中心，V7表示快餐店，点之间的联线表示两地之间的道路，边所赋的权数表示开车送原料通过这段道路所需要的时间（单位：
分钟）
解：
①给起始点V1标号为（0，S）
②I={V1},J={V2，V3，V4，V5，V6,V7}，边的集合{[Vi，Vj]︳Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J}={[V1，V2]，[V1，V3]}，并有
S12=L1+C12=0+4=4；S13=L1+C13=0+18=18
min（S12,S13）=S12=4
给边[V1，V2]中的未标号的点V2标以（4，1），表示从V1到V2的距离为4，并且在V1到V2的最短路径上V2的前面的点为V1.
③这时I={V1，V2},J={V3，V4，V5，V6,V7}，边的集合{[Vi，Vj]︳Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J}={[V1，V3]，[V2，V3]，[V2，V4]}，并有
S23=L2+C23=4+12=16；S24=L2+C24=4+16=20；min（S23,S24,S13）=S23=16
给边[V2，V3]中的未标号的点V3标以（16，2）
④这时I={V1，V2，V3},J={V4，V5，V6,V7}，边的集合{[Vi，Vj]︳Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J}={[V2，V4]，[V3，V4]，[V3，V5]}，并有
S34=L3+C34=16+2=18；S35=L3+C35=16+6=22；S24=L2+C24=4+16=20
min（S34,S35,S24）=S34=18
给边[V3，V4]中的未标号的点V4标以（18，3）
⑤这时I={V1，V2，V3，V4},J={V5，V6,V7}，边的集合{[Vi，Vj]︳Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J}={[V4，V6]，[V4，V5]，[V3，V5]}，并有
S46=L4+C46=18+7=25；S45=L4+C45=18+8=26；min（S46,S45,S35）=S35=24
给边[V3，V5]中的未标号的点V5标以（24，3）
⑥这时I={V1，V2，V3，V4，V5},J={V6，V7}，边的集合{[Vi，Vj]︳Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J}={[V5，V7]，[V4，V6]}，并有
S57=L5+C57=22+5=27；min（S57,S46）=S46=25
给边[V4，V6]中的未标号的点V6标以（25，4）
⑦这时I={V1，V2，V3，V4，V5，V6},J={V7}，边的集合{[Vi，Vj]︳Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J}={[V5，V7]，[V6，V7]}，并有
S67=L6+C67=25+6=31；min（S57,S67）=S57=27
给边[V5，V7]中的未标号的点V7标以（27，5）
⑧此时I={V1，V2，V3，V4，V5，V6，V7},J=空集，边集合{[Vi，Vj]︳Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J}=空集，计算结束。
⑨得到最短路。
从V7的标号可知从V1到V7的最短时间为27分钟。
即：
配送路线为：
V1→V2→V3→V5→V7
（14）最小生成树问题
某电力公司要沿道路为8个居民点架设输电网络，连接8个居民点的道路图如图所示，其中V1，……，V8表示8个居民点，图中的边表示可架设输电网络的道路，边上的赋权数为这条道路的长度，单位为公里，请设计一个输电网络，联通这8个居民点，并使总的输电线路长度为最短。
①在图中找到一个圈（V1，V2，V5，V3）,并知在此圈上边[V1，V2]和
[V3，V5]的权数4为最大，在图中去掉边[V1，V2]；
②在图中找到一个圈（V3，V4，V8，V5，V3,V1），去掉其中权数最大的边
[V4，V8]；
③在图中找到一个圈（V3，V4，V5，V3），去掉其中权数最大的边[V4，V5]；
④在图中找到一个圈（V5，V2，V6，V7，V5），去掉其中权数最大的边
[V2，V6]；
⑤在图中找到一个圈（V5，V7，V8，V5），去掉其中权数最大的边[V5，V8]。
⑥在图中已找不到任何一个圈了，可知此即为图G的最小生成树。
这个最小生成树的所有边的总权数为2+2+4+2+3+3+2=18
（15）最大流问题
某地区的公路网如图所示，图中V1，……，V6为地点，边为公路，边上所赋的
权数为该段公路的流量（单位为千辆/小时），请求出V1到V6的最大流量。
解：
第一次迭代：
选择路为V1→V3→V6。
弧（V3，V6）的顺流流量为5，决定了pf=5，改进的网络流量图如图所示：
第二次迭代：
选择路为V1→V2→V5→V6。
弧（V1，V2）的顺流流量为6，决定了pf=6，改进的网络流量图如图所示：
第三次迭代：
选择路为V1→V4→V6。
弧（V1，V4）的顺流流量为6，
决定了pf=6，改进的网络流量图如图所示：
第四次迭代：
选择路为V1→V3→V4→V2→V5→V6。
弧（V2，V5）的顺流流量
为2，决定了pf=2，改进的网络流量图如图所示：
第五次迭代：
选择路为V1→V3→V4→V5→V6。
弧（V1，V3）的顺流流量为3，
决定了pf=3，改进的网络流量图如图所示：
在通过第五次迭代后在图中已找不到从发点到收点的一条路上的每一条弧顺流容量都大于零，运算停止。
我们已得到此网络的从V1到V6的最大流量，最大流量为22，也就是公路的最大流量为每小时通过22千辆车。
（16）最小费用最大流问题
请求下面网路图中的最小费用最大流,图中弧（Vi,Vj）的赋权（Cij,bij），其中Cij为从Vi到Vj的流量，bij为Vi到Vj的单位流量的费用。
（17）一台机器、n个零件的排序问题
某车间只有一台高精度的磨床，常常出现很多零件同时要求这台磨床加工的情况，现有六个零件同时要求加工，这六个零件加工所需要的时间如表所示：
零件
加工时间/小时
零件
加工时间/小时
1
1.8
4
0.9
2
2.0
5
1.3
3
0.5
6
1.5
我们应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件，才能使得这六个零件在车间里停留的平均时间为最少？
解：
对于一台机器n个零件的排序问题，我们按照加工时间从少到多排出加工零件的顺序就能使各个零件的平均停留时间为最少。
零件
加工时间/小时
停留时间
零件
加工时间/小时
停留时间
3
0.5
0.5
6
1.5
4.2
4
0.9
1.4
1
1.8
6.0
5
1.3
2.7
2
2.0
8
（18）两台机器、n个零件
某工厂根据合同定做一些零件，这些零件要求先在车床上车削，然后再在磨床上加工，每台机器上各零件加工时间如表所示：
零件
车床
磨床
零件
车床
磨床
1
1.5
0.5
4
1.25
2.5
2
2.0
0.25
5
0.75
1.25
3
1.0
1.75
应该如何安排这五个零件的先后加工顺序才能使完成这五个零件的总的加工时间为最少？
解：
我们应该一方面把在车床上加工时间越短的零件，越早加工，减少磨床等待的时间，另一方面把在磨床上加工时间越短
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