《几何体的截面形状》研究性学习活动教学设计.docx

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《几何体的截面形状》研究性学习活动教学设计

《几何体的截面形状》研究性学习活动教学设计

一、课题研究的背景

按《课标》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。

二、课题研究的目的和意义

帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。

此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。

三、课题研究的目标

体会转化、降维、类比等数学思想，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高交流表达能力，提高独立、合作小组探究学习获取知识的能力，培养学生把握空间图形的能力，学会欣赏空间图形所反映的数学美。

1、知识与能力：

通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。

使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。

2、过程与方法及解决的问题：

采用多种途径查阅资料（图书馆查阅、网页查阅、调查访问教师、专家、学者等）；能对各种资源进行整合、筛选、整理、分析；经历发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，初步学会探究学习的方法；经过小组合作学习，能写出调查报告。

丰富对空间图形的认识和感受，发展空间观念和形象思维，通过总结，归纳，获得经验。

3、情感态度与价值观：

通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：

数学活动充满着探索和创造。

通过小组的合作，加强自己与同学之间的人际关系，了解团队的力量。

使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。

同时培养学生积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，激发学生对空间与图形学习的好奇心。

四、重点与难点

重点：

引导学生经历用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。

难点：

1.从切截活动中发现规律，并能用自己的语言合理清晰地来表达出自己的思维过程。

2.能应用规律来解决问题，从理论上理解截出五边形、六边形的可能性，以及七边形的不可能性。

五、学生起点分析

所有高中学生在新世纪版北师大教材《数学》七年级上册第一章已经学习了《截一个几何体》知识，它是初中新课程改革中的新增内容，学生已经简单经历了切截几何体的实际操作活动，发展了学生的空间观念，激发了学生学习兴趣。

学生已经具备了基本的观察、操作、推理、交流的能力。

也就是说学生在研究性学习前，已经掌握了长方体，正方体，圆柱体，圆锥体和球体等常见的几何体的特点，理解了各种生活中所熟悉的几何体的表面组成；掌握了点，线，面，体四者之间的动态与静态的关系，再加之学生好奇心强，喜欢探索、解剖身边的事物，对出现在自己周围的物品进行实际的动手切截，热情势必较高，再配合创设一系列合理的问题情景，组织学生进行一些生动有趣的数学活动，本节课会极大地调动学生参与的积极性。

六、教法指导

1、观察猜想培养学生观察想象的能力，通过观察生活中丰富的图片,联想这些截面图形与实际立体图形之间的关系，发展抽象概括能力和几何直觉。

2、合作交流培养学生自主探究、主动与他人合作交流的能力，鼓励学生大胆阐述自己的观点。

3、操作实验培养学生动手操作的能力，采用操作法可以大大激发学生的学习兴趣，这一方法也是适应新课标中所提出的：

提高学生的动手操作能力的要求。

七、学法指导

教学过程是师生互相交流的动态过程，教师起主导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。

从学生的认知特点来看，这一阶段的学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，他们希望得到充分的展示和表现，因此，在学习方法上，应充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、亲自动手操作、进行小组讨论和交流、师生共同归纳总结，体验学习的过程。

八、教学理念

教师在教学中起主导作用，是学生学习实践活动的组织者、引导者与合作者。

学生是学习的主体，是学习的主动参与者和知识的建构者。

教师引导学生经历观察、猜想、实际操作验证、分析归纳，推理等数学活动过程，培养学生尊重科学、尊重事实严谨细致的科学态度，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。

同时运用现代化的教学手段，创建更为丰富生动的情境，激发学生的求知欲和探索新知识的热情。

九、适用年级：

适用于高一年级和高二年级

十、研究准备：

相关的资料以及相关的器材（电脑、手电筒、U盘、投影仪、小刀、橡皮泥、空纸箱、苹果等）

十一、时间建议：

高一年级第一学期必修二第一章学完后利用周末和课余时间进行研究性学习

十二、活动方案：

第一阶段：

动员和培训（2015年10月9日—2015年12月1日）

明确研究范围以及方向，（初步认识研究性学习、理解研究性学习的研究方法）

1、接触、讨论问题 

2、了解本次活动的学习目的 

3、学习了解本次综合实践活动的步骤、方法、要求.

第二阶段：

提出和选择课题,组员分工。

1、在学生自愿成组的前提下，合理调配各族成员，以利于能力较弱的学生也可以安排到工作 

2、制定合作学习规则提供给学生 

3、组织指导学生的小组讨论、小组成员分工

第三阶段：

课题实施阶段

1、搜集资料活动 本活动采取的形式多样：

走访、上网下载、上图书馆查阅。

2、科学实验活动 第一步相关知识与测量仪器的准备；第二步是科学实验； 第三步是计算得出成果；第四步是验证数据是否准确。

3、整理资料，形成结论。

十三、教学过程:

活动一:

创设问题情景,激发兴趣

1.问题:

某同学要在圣诞平安夜前一天和班级同学分享自己带的苹果时,用小刀去切“平安果”,所的截面会是什么形状?

2.学生个体发言

3.明晰课题:

截一个几何体

活动二:

动手操作,自主探究

（一）

1.正方体截面：

正方体可谓最简单的几何体.正方体的截面会是什么样子的呢？

请同学们先猜一猜,之后自己独立的想一想,动手操作,去验证你的猜想。

2.小组交流:

小组实验、交流得出的截面情况。

3.教师汇总学生的实验报告，得出正方体截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形的结论,以及由学生展示如何截才能截出上述截面。

4.四边形中又有哪些特殊的截面?

如何去截?

5.小组展示运用多媒体演示正方体截面的切截情况.（此过程可以重复进行,让每位学生都能看清楚）

6.通过学生的动手操作,教师的多媒体演示,归纳总结:

怎样截即可截到三角形、四边形、五边形、六边形的截面?

7.思考:

你能截到七边形、八边形吗?

活动目的：

通过学生的猜想、独立思考、动手操作,使其有感性的认识到实践,再通过学生的演示、教师的演示、学生的归纳总结以及反思,逐步的上升到理性的认识,至此,正方体截面问题全部解决,同时,学生也深深的感受到了数学活动充满着探索和创造,更大的激发了学生对空间与图形学习的好奇心,为后续学习打下基础。

活动三:

动手操作,自主探究

（二）

1.球体、圆柱、圆锥的截面又是什么形状?

请先独立思考,后动手操作,之后小组交流.

2.教师多媒体演示并总结.

活动目的:

思考、想象并验证其它几何体的截面形状，让学生思维朝着“从特殊到一般”的方向发展，实现认知结构的进一步升华.

活动四:

应用所学,解决问题

1．班长过生日时,邀请了6人,有人想考考班长,就说:

你能只切三刀,使我们7人都能吃到蛋糕吗?

班长稍想片刻就知道怎么切了,聪明的你知道怎么切吗?

2.设计一种截法:

用一个平面去截一个正方体,使它分成两个大小相同、形状相同的几何体。

活动五:

总结反思

1.学生小结所学内容，

2.教师明晰：

（1）截面是认识世界的窗口、追溯历史的线索；

（2）几何体的截面由平面与几何体各表面交线构成；

（3）正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.

3.扩展阅读：

“你知道CT吗”？

课题作业：

用你的眼睛去寻找并描述“截面”在生活中运用的实例。

十四、（备课资源）正方体截面的形状的证明

1.按截面图形的边数分类：

三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形）

四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形）

五边形（五边形）

六边形（六边形，正六边形）

2.

（1）证明：

截面是三角形

①锐角三角形证明：

∵设三边为a,b,c,

∴则证明a^2+b^2>c^2,且cosC>0,C为锐角。

同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。

②等腰三角形

证明：

取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合）

∵AB长确定，AC=AD,∠CAB=∠DAB=90°。

∴根据勾股定理可知CB=DB

且三角形为等腰三角形

③等边三角形

证明：

在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。

∵图形为正方体。

∴AB=AC=AD

又∵三线两两垂直，根据勾股定理知BC=CD=BD，且截面为等边三角形。

（2）证明：

截面是四边形。

①．矩形.正方形。

：

证明：

取任意一平面平行于上下底面或侧面。

且所截图形为正方形。

又∵正方形是特殊的矩形，∴截面可以是矩形。

∵ABCD平行于上底面，∴AB=BC=CD=AD

又∵AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。

②．菱形

证明：

以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。

∵图形为正方体，所以对边平行且相等。

∴截面为平行四边形。

又∵AB=BD,AE=DF.∠BAE=∠BDF=90°，

且BE=BF.∴截面为菱形

③梯形.等腰梯形

证明：

当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。

当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。

∵AB∥CD,∴ABCD为梯形。

作AF’⊥CF，BF1⊥FD

又∵AE=BE,CF=FD,AF’=BF1=EF.∴AC=BD

且截面为等腰梯形。

（3）证明：

截面是五边形。

证明：

第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角另一段为左前侧棱1/2往上这样将直线延长与正上棱相交

同样的道理在右侧面画一条直线

直线一端为右下角（与上同理）

另一段为后右侧棱1/2往上这样将直线延长与上右侧棱相交

由图得所截平面为五边形。

（4）证明：

截面是六边形。

证明：

截面是六边形.正六边形。

取各边的中点，再连接两个平行面的不同位置的中点，所成截面为正六边行。

当平面与正方体的六个面相交时，可以切出六边形。

∵取点为每边中点，图形为正方体。

且过六个面

∴截面为六边形

又∵链接AC.AD得AC=AD=AE，

且截面为正六边形。

3．由2证明得，截面多边形的边数最多有6条。

为什么六边形以上的多边形无法切出来？

解析：

因为正方体只有6个面，所以截面所在的平面与这6个面所在的平面最多只能有6条交线，所以截面的边数至多是6。

4.为什么正方体的截面不能是直角梯形？

解析：

正方体各面全等，并且每条对边互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，两条腰也不平行，所以不能是直角梯形。

5．为什么切一个正方体所能切出的切面不能为正五边形？

解析：

五个边，一定有两边来自一组平行的面，此两边平行，这个五边形就不可能是正五边形

正方体的截面示意图

正方体的截面可以分为以下几种：

1、截面是三角形：

如图1为等边三角形，图2为等边三角形，另一图为任意三角形

2、截面是四边形：

如图3为任意四边形，图4为等腰梯形，图5为长方形，图6为正方形，

3、截面是五边形：

图7为任意五边形

4、截面为六边形；图8为普通六边形，图9为正六边形

十五、老师评价及反思:

在教学内容中，先让学生充分地想象用一个平面去截一个几何体所得的截面是什么形状，再让学生实际动手操作，验证想象的结果与实际结果是否一致。

学生在这一过程中，丰富了几何直觉和数学活动经验，发展了学生的空间观念，同时利用数学智能软件包的应用性、良好的操作性和贴近教材的课件，激发学生的求知欲望，为学生探索新知提供了有力的工具。

在实际教学中，有些学生对切截五边形，六边形的理论知识已经有所了解，但到了具体操作阶段，就显得无从下手，这时，通过小组合作，和教师的点拨，能够达到较好的效果，再辅之以数学智能软件包教育平台演示的课件，将切截五边形的正方体进行旋转，以便学生从不同角度来观察截面的产生，以及截面与正方体的哪个面相交，交线的情况如何，据此更能加深学生对截一个几何体的理解，和直观的印象。

经过这次研究性学习，提高学生的动手能力。

最主要的，学生们以全新的视野来重新审视他们日常生活中的数学问题。

在活动中还有待加强对学生团队的指引，以及对一些较被动学生的鼓励与帮助。

评价方面要提高评价的有效性和全面性。