第一讲 选修44 坐标系与参数方程.docx

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第一讲选修44坐标系与参数方程

专题八　选修4系列选讲

第一讲　选修4－4　坐标系与参数方程

考点一　极坐标方程及应用

1．直角坐标与极坐标的互化公式

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则

2．几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点，半径为r：

ρ＝r.

（2）当圆心位于M（a,0），半径为a：

ρ＝2acosθ.

（3）当圆心位于M，半径为a：

ρ＝2asinθ.

3．几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点：

θ＝θ0和θ＝π＋θ0.

（2）直线过点M（a,0）且垂直于极轴：

ρcosθ＝a.

（3）直线过M且平行于极轴：

ρsinθ＝b.

[解题指导]　

（1）→→→

（2）→→

→

[解]　

（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程

ρ＝4cosθ（ρ>0）．

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）．

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0）．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB

＝4cosα·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

解决极坐标问题应关注的两点

（1）用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．

（2）在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．

[对点训练]

（2018·福建福州四校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

[解]　

（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），得曲线C1的普通方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

（2）由得ρ2－（2＋2）ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

∴＋＝＝＝.考点二　参数方程及应用

1．圆的参数方程

以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．

2．椭圆的参数方程

椭圆＋＝1（a>b>0）的参数方程是其中φ是参数．

3．直线的参数方程

（1）经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．

（2）若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

①t0＝；

②|PM|＝|t0|＝；

③|AB|＝|t2－t1|；

④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

角度1：

参数方程与普通方程的互化

[解题指导]　

（1）

（2）→→

[解]　

（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.

由

解得或

从而C与l的交点坐标为（3,0），.

（2）直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点（3cosθ，sinθ）到l的距离d＝.

当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；

当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

角度2：

直线参数方程中参数几何意义的应用

[解]　

（1）曲线C的普通方程为＋＝1.

当cosα≠0时，l的普通方程为y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的普通方程为x＝1.

（2）将l的参数方程代入C的普通方程，整理得关于t的方程（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C上，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝，

故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

解决参数方程问题的3个要点

（1）把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．

（2）把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．

（3）直线参数方程为（α为倾斜角，t为参数），其中|t|＝|PM|，P（x，y）为动点，M（x0，y0）为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．

[对点训练]

1．[角度1]设直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），圆C的参数方程为（θ为参数）．

（1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；

（2）若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．

[解]　

（1）由已知得直线l经过的定点是P（3,4），而圆C的圆心是C（1，－1），

所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.

（2）解法一：

由圆C的参数方程得圆C的圆心是C（1，－1），半径为2.

由直线l的参数方程（t为参数，α为倾斜角），得直线l的普通方程为y－4＝k（x－3）（斜率存在），

即kx－y＋4－3k＝0.

当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，

即<2，解得k>.

即直线l的斜率的取值范围为.

解法二：

将圆C的参数方程化成普通方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝4　①，

将直线l的参数方程代入①式，得

t2＋2（2cosα＋5sinα）t＋25＝0.　②.

当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4（2cosα＋5sinα）2－100>0，

即20sinαcosα>21cos2α，两边同除以20cos2α，得tanα>，即直线l的斜率的取值范围为.

2．[角度2]（2018·郑州一模）已知直线l：

（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．

（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

[解]　

（1）∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，

∴曲线C的直线坐标方程为x2＋y2＝2x，即（x－1）2＋y2＝1.

（2）将直线l：

（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，化简得t2＋5t＋18＝0，且Δ>0.∴t1t2＝18.

∵点M（5，）在直线l上，根据直线参数方程中参数t的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用

1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．

2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．

[解]　

（1）由消去参数t，得（x＋5）2＋（y－3）2＝2，

所以圆C的普通方程为（x＋5）2＋（y－3）2＝2.

由ρcos＝－，得ρcosθ－ρsinθ＝－2.

可得直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

（2）直线l与x轴，y轴的交点分别为A（－2,0），B（0,2），化为极坐标为A（2，π），B，

设点P的坐标为（－5＋cost,3＋sint），则点P到直线l的距离为d＝

＝，

所以dmin＝＝2，又|AB|＝2，

所以△PAB面积的最小值＝×2×2＝4.

解决极坐标与参数方程问题的关键

（1）会转化：

把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．

（2）懂技巧：

合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．

[对点训练]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：

（θ为参数，0

（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝α与曲线C1交于点N，与曲线C2交于O，P两点，且|PN|的最大值为2.

（1）将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值．

（2）射线θ＝α＋与曲线C1交于点Q，与曲线C2交于O，M两点，求四边形MPNQ面积的最大值．

[解]　

（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝r2.

所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝r.

将曲线C2的参数方程化为普通方程为（x－2）2＋（y－2）2＝8，即x2＋y2－4x－4y＝0.

所以曲线C2的极坐标方程为ρ－4cosθ－4sinθ＝0，即ρ＝4sin.

因为|PN|max＝|ρP－ρN|max＝max＝2，

所以r＝2，所以C1：

ρ＝2.

（2）S四边形MPNQ＝S△OPM－S△ONQ＝OP·OMsin－ON·OQ·sin＝×4sin×4sin×－×2×2×＝4sin＋4－2.

所以当α＝时，四边形MPNQ面积的最大值为4＋2.

1．（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[解]　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为

（x＋1）2＋y2＝4.

（2）由

（1）知C2是圆心为A（－1,0），半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线．

记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

2．（2018·全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

[解]　

（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

（2）l的参数方程为

（t为参数，<α<）．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.

又点P的坐标（x，y）满足

所以点P的轨迹的参数方程是

（α为参数，<α<）．

1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：

一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．

2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．

专题跟踪训练（三十一）

1．（2018·湖南长沙联考）在直角坐标系xOy中，直线C1：

x＝－2，圆C2：

（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1，C2的极坐标方程．

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点分别为M，N，求△C2MN的面积．

[解]　

（1）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴C1：

x＝－2的极坐标方程为ρcosθ＝－2，

C2：

（x－1）2＋（y－2）2＝1的极坐标方程为（ρcosθ－1）2＋（ρsinθ－2）2＝1，化简，得ρ2－（2ρcosθ＋4ρsinθ）＋4＝0.

（2）把直线C3的极坐标方程θ＝（ρ∈R）代入

圆C2：

ρ2－（2ρcosθ＋4ρsinθ）＋4＝0，

得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝.

∵圆C2的半径为1，∴C2M2＋C2N2＝MN2，∴C2M⊥C2N.

∴△C2MN的面积为·C2M·C2N＝×1×1＝.

2．（2018·洛阳联考）在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，已知点R.

（1）以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标．

（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．

[解]　

（1）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2.

∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.

点R的直角坐标为（2,2）．

（2）设点P（cosθ，sinθ），根据题意得Q（2，sinθ），即可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，

∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin（θ＋60°）．

∴当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，

∴矩形PQRS周长的最小值为4.

此时点P的直角坐标为.

3．（2018·安徽皖南八校联考）在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0.

（1）说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为直角坐标方程．

（2）C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．

[解]　

（1）将代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝4，所以C2是圆．

（2）将C1的参数方程（t为参数），代入（x－1）2＋y2＝4中得2＋2＝4，化简，得t2＋t－3＝0.

设两根分别为t1，t2，

由根与系数的关系得

所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，

定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.

4．（2018·河北衡水中学模拟）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．

（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．

[解]　

（1）∵C1的极坐标方程是ρ＝，

∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，

∴4x＋3y－24＝0，

故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.

∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，

故C2的普通方程为x2＋y2＝1.

（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为（α为参数）．设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离

d＝

＝

＝（其中φ满足tanφ＝）．

当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，

所以|MN|的最小值为.