x兰3
使z=-X•ay（a0））取得最小值的最优解有无数个，
则a的值为（）
A、一3B、3C、一1D、1
解：
如图，作出可行域，作直线I:
x+ay=0,要使目标函数z=x+ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个，则将I向右上方平移后与直线x+y=5重合，故a=1，选D
五、求非线性目标函数的最值
「2x+y-2^0
5、已知x、y满足以下约束条件」x—2y+4H0，则
3x-y「3三0
22
z=x•y的最大值和最小值分别是（）
A、13，1B、13，2
C、13,4
5
解：
如图，作出可行域，..x2•y2是点P（x,y）到原点的距离，故最大
2
值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|=13;最小值为原点
4
到直线2x+y—2=0的距离的平方，即为一。
选C
5
（注：
求非线性目标的最值，一般要用到目标函数的几何意义：
如①x2y2表
」』x+2y_3x+2y_3|
示点P（x,y）到原点的距离；②x+2y—3=丁57=—^，其中表示点
V5V5
y—2
P（x,y）到直线x•2y-3=0的距离；③表示点P（x,y）到（-1,2）的斜率；）
x+1
六、求约束条件中参数的取值范围
6、已知|2x—y+m|v3表示的平面区域包含点（0,0）和（一1,1）,则m的取值范围是（
A、（-3,6）B、（0,6）C、
解：
|2x—y+m|v3等价于
Im33
由右图可知
lm-3v0
线性规划的实际应用
在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解
决这类问题的理论基础是线性规划。
利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：
第
一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量
最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人
力、物力资源量最小。
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56吊,假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多？
产品
木料（单位ni）
第一
种
第二种
圆桌
0.18
0.08
衣柜
0.09
0.28
'0.18x+0.09y兰72
一0.08x+0.28y兰56
解：
设生产圆桌x只,生产衣柜y个，利润总额为z兀,那么而
x30
y一0
z=6x+10y.
如上图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.
作直线l：
6x+10y=0,即l：
3x+5y=0,把直线I向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上
'0.18x+0.09y=72
点M,且与原点距离最大，此时z=6x+10y取最大值解方程组丿y,得M点坐
Q.08x+0.28y=56
标（350,100）.答：
应生产圆桌350只，生产衣柜100个，能使利润总额达到最大.
指出：
资源数量一定，如何安排使用它们，使得效益最好，这是线性规划中常见的问题之
例2、某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲
一1一一
料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9兀,谷物饲料每千克
5
0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合，才使成本最低.
解：
设每周需用谷物饲料xkg,动物饲料ykg,每周总的饲料费用为z元，那么
\+y>35000
>1
y正—x十
<5,而z=0.28x+0.9y
0兰x乞50000
y-0
如下图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.
经过直线
作一组平行直线0.28x+0.9y=t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线
十+八187500175008750017500
x+y=35000和直线yx的交点A（,）,即x,y时,饲料费
53333
用最低.
所以,谷物饲料和动物饲料应按5:
1的比例混合，此时成本最低.
指出：
要完成一项确定的任务，如何统筹安排，尽量做到用最少的资源去完成它，这是线
性规划中最常见的问题之一.
（例3图）（例4图）
例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本
甲
乙
丙
维生素A（单位/千
克）
400
600
400
维生素B（单位/千
800
200
400
克）
7
6
5
成本（元/千克）
营养师想购这三种食物共10千克，使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于
4800单位，问三种食物各购多少时，成本最低?
最低成本是多少？
解：
设所购甲、乙两种食物分别为x千克、y千克，则丙种食物为（10_x_y）千克.x、y应
满足线性条件为
‘400x+600y+400（10-x-y）A4400…如、工2
丿，化简得丿
§00x+200y+400（10—x—y）兰4800、2x—y34
作出可行域如上图中阴影部分
目标函数为z=7x+6y+5（10-x-y）=2x+y+50,令m=2x+y，作直线l:
2x+y=0,则直线2x+y=m
经过可行域中A（3,2）时，m最小，即mmin=23+2=8,二Zmin=mmin+50=58答：
甲、乙、丙三种食物
各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.
\>2
指出:
本题可以不用图解法来解，比如，由丿y得
2x_y兰4
z=2x+y+50=（2x-y）+2y+504+22+50=58,当且仅当y=2,x=3时取等号
总结：
（1）设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数；
（2）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.
》11为+a（2X2+…+a1mXm兰3
2.线性规划问题的一般数学模型是:
已知严"+a22x2++a2mxm兰b2（这n个式
0n1X1+an2X2+…+anmxm兰6子中的“二”也可以是“一”或“=”号）
其中aj（i=1,2,…,n,j=1,2,…,m）,b（i=1,2,…,n）都是常量,x（j=1,2,…,m）是非负变量，求Z=C1X1+C2X2+…+CnXm的最大值或最小值，这里Cj（j=1,2,…,Vl）是常量•
（3）线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用：
一是在人力、物力资金等
资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划
能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
线性规划中整点最优解的求解策略
在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。
然而在实际问题中，最优解（x,y）通常要满足x,y€N，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解
1•平移找解法
作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线I，直线I最先经过或最后经过的
那个整点便是整点最优解.
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72吊，第二种有56mi,
产品
木料（单位m）
第一种
第二种
圆桌
0.18
0.08
衣柜
0.09
0.28
假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示•每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多？
0.18^0.09^72
一0.08x+0.28y兰56
解：
设生产圆桌x只,生产衣柜y个，利润总额为z兀,那么
x兰0
y一0
z=6x+10y.如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域•
作直线I:
6x+10y=0,即I:
3x+5y=0,把直线I向右上方平移至11的位置时，直线经过可行
域上点M,且与原点距离最大，此时z=6x+10y取最大值。
解方程组N18"。
.09"72,得
O08x+0.28y=56
M点坐标（350,100）.答：
应生产圆桌350只，生产衣柜100个,能使利润总额达到最大•点评:
本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08X+0.28y=56的交点M
例2有一批钢管，长度都是4000mng要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯
1
按数量比不小于配套，怎样截最合理？
3
解：
设截500mm的钢管x根，600mm的
y根，总数为z根。
根据题意，得
^5x+6y<40
八『严“，目标函数为z=x+7,
作出如图所示的可行域内的整点,
作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8,0）的直
线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7,可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2）,（6，1）均为最优解•答：
略.
点评：
本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B
（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从
而求得最优解。
从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但
作图要求较高。
二、整点调整法
I2与I3交点分
t随之增大,
先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解.
卄尺、px—y—3>°冃
例3.已知x,y满足不等式组<2x+3y-6c0，求使x+y取最大值
的整数x,y.
解：
不等式组的解集为三直线I,:
2x-y-3=0，l2:
2x•3y-6=0，
I3:
3x-5y-15=0所围成的三角形内部（不含边界），设I,与I2，li与I3，
1537512
别为A,B,C，则A,B,C坐标分别为AW#，B（0「3），C（矿材，
作一组平行线I:
x•y=t平行于I0:
x•y=0，当I往I0右上方移动时,
•••当I过C点时x•y最大为63，但不是整数解，又由0：
：
：
x：
：
：
75知x可取1,2,3，
1919
当x=1时，代入原不等式组得y=-2，•••x-1；当x二2时，得y=0或-1，
•xy=2或1；
当x=3时，y=-1，•-x^2，故xy的最大整数解为*=?
或x=3、y=0ly=—1
3.逐一检验法
由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若
干个可能解逐一校验即可见分晓.
例4一批长4000mm的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的^甲、乙两种毛
坯，求钢材的最大利用率.
解：
设甲种毛坯截x根，乙种毛坯截y根，钢材的利
p=+100%…
-.J.②，线性约束条件①表示的可
行域是图中阴影部分的整点•②表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。
所以使P取得最大值的
最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000的整点坐
标.如图看到（0，5），（1，4），（2，4），（3，3），（4，2）,（5,2）,（6,1）,（7,0）都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入②进行校验，可知当x=5,y=2时，
尸一=99.65%
.
答：
当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%.
解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时,
不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解•
线性规划的实际应用习题精选
1•某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：
\^品间\工艺蘇7^2^
甲
乙
生产能力台时/天
制吕坯时间
6
12
120
油祿时间
呂
4
64
单位利润
200
240
问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润•最大利润是多少？
2•要将两种大小不同的钢板截成ABC三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：
格类型
钢板类旷
A规格
B规格
C规洛
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3
每张钢板的面积，第一种为im,第二种为2m,今需要AB、C三种规格的成品各12,15,17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小.
3•某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规
格每张3m,可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m,可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小.
4•某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农
用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低•并求出最低运费.
5•某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种
有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料.生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方
米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，
第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多
少，才能使所获利润最多.
解答提示：
1•设x,y分别为甲、乙两种柜的日产量，
目标函数z=200x+240y,线性约束条件:
域.
z最大=200X4+240X8=2720
答：
该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元.
2•设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积znt
[x+y^l2
2x+y^l5
«x+3y^27
目标函数z=x+2y,线性约束条件：
作出可行域.作一组
平行直线x+2y=t.
fz+3v=27915
解—2得PU'少点P不是可行域内的整点，在可行域内
的整点中，点（4,8）使z取得最小值.
答：
应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板
的面积最小.
3
.设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2,目标函数z=3x+2y,
A不是整点，A不是最优解•在可行域内的整点中，点B（1,1）使z取得最小值.z
最小=3X1+2X1=5,
答：
用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5mt
4
.设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元.z=960x+360y•
J
卜y
a.
1=10
20
y=20
s10
V■,
0
\\20
&:
+2,5y=100
作直线960x+360y=0.即8x+3y=0，向上平移至过点B（10,8）时，z=960x+360y取到最小值.
z最小=960X10+360X8=12480答：
大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元.
5
.设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为乙则z=6x+10y.
[Q18x+Q09y<72
008x+028y<56
Qo
X
eoo'
作出可行域.
|2X+y=S00（x=350
即M（350,100）.当直线6x+10y=0即3x+5y=0
|2x+7y=1400^|y=100
平移到经过点M（350,100）时，z=6x+10y最大
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