三视图外接圆点线面题型.docx

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三视图外接圆点线面题型

立体几何教案

（一）三视图

常遇见的规则图形的分类及分析：

（一），棱锥（三棱锥，四棱锥）

棱锥：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

1，三棱锥的视图：

2.四棱锥的视图：

（二），棱柱（正方体，长方体，三棱柱，斜棱柱）

．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

★

四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形

长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体

1，正方体的视图：

2，长方体的三视图：

3，三棱柱的三视图：

4，斜棱柱的三视图：

（三），圆类（圆锥，圆柱体，球）

球的性质：

球心与截面圆心的连线垂直于截面；

★（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）

★球与多面体的组合体：

球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

注：

球的有关问题转化为圆的问题解决.

球面积、体积公式：

（其中R为球的半径

1，圆锥的三视图：

2，圆柱体的三视图：

3，球的三视图：

（四），复杂立体图形（棱台，圆台）

1，圆台的三视图：

2，棱台的三视图：

例1，.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）

A．B．C．D．

例2.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为.

例3.如图所示的正三角形是一个圆锥的俯视图，则这个圆锥的侧面积为_______.

图9

例4，一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.

例5，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）

（A）（B）（C）3（D）12

（二）内接球，外接圆

定义1：

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：

构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、直棱柱的外接球

1、长方体的外接球：

长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即

2、正方体的外接球：

正方体的棱长为，则正方体的体对角线为，其外接球的直径为。

3、直棱柱的外接球：

方法：

找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。

例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.

例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是c

A.B.C.D.

例3、在直三棱柱中，,则直三棱柱的外接球的表面积_____________。

二、棱锥的外接球

1、正棱锥的外接球

方法：

球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。

例4、正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为.

例5、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为__________。

例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：

（）

　　（A）（B）（C）（D）

2、补体方法的应用

（1）、正四面体

（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥

（3）、四个面均为直角三角形的三棱锥

例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是。

例8、已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。

例9、在三棱锥中，,

则三棱锥外接球的表面积_______。

例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　）

A.4πB.8πC.12πD.16π

三、圆柱、圆锥的外接球

旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。

例11、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。

4

例12、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径。

四、正方体的内切球

设正方体的棱长为，求

（1）内切球半径；

（2）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形的内切圆，得；

（2）与正方体各棱相切的球：

球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。

五、棱锥的内切球（分割法）

将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。

若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.

例13、正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少？

例14、三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥内切球的半径为（）

六、圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）

例15、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。

例16、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。

（三）点线面关系

一，知识点

1、三个公理和三条推论：

（1）公理1：

一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

这是判断直线在平面内的常用方法。

（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。

这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。

（3）公理3：

经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。

推论1：

经过直线和直线外一点有且只有一个平面。

推论2：

经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：

经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3和三个推论是确定平面的依据。

2.空间直线的位置关系：

___________,____________,___________

3.线线平行：

（1）直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.

（2）直线与平面平行的判定：

如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.

（3）直线与平面平行的性质：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.

4，空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：

规定为

②两条相交直线所成的角：

两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：

过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：

规定为

②平面的垂线与平面所成的角：

规定为

③平面的斜线与平面所成的角：

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：

“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

解题时，注意挖掘题设中两个信息：

①斜线上一点到面的垂线；②过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

例1.已知不重合的直线m、l和平面，且，．给出下列命题：

①若，则；②若，则；③若，则；

④若，则，

其中正确命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

例2.已知是两个不同的平面，则“平面平面”成立的一个充分条件是

（A）存在一条直线，（B）存在一个平面，

（C）存在一条直线（D）存在一个平面

例3.已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

例4..设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：

①；②;

③;④.

其中正确命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

课堂练习：

1．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（）

若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；

若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；

已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；

、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直.

A．1B．2C．3D．4

2.给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行

④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线

其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知两个不同的平面和两条不重合的直线，,在下列四个命题中错误的是（）

A．若∥，，则∥Ｂ．若⊥，⊥，则∥

C．若∥，⊥，则⊥D．若⊥，∥，，则⊥

4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：

①若，则；②若，，则；

③若，则；④若，则；

其中真命题的个数是

A．1个B．2个C．3个D．4个