重庆市主城区普通高中届高三上学期高考适应性考试一数学试题及答案.docx

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重庆市主城区普通高中届高三上学期高考适应性考试一数学试题及答案

绝密★启用前

重庆市主城区普通高中

2021届高三毕业班上学期高考适应性考试

（一）

数学试题

2020年12月

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、单项选择题：

本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合,,若为空集则a的可能取值组成的集合为（）

A.B.C.D.

2.若复数为纯虚数,则实数a的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

3.设A、B、C是直径为1的圆上三点,若,则的最大值为（）

A.B.C.D.

4.的展开式中,含的项的系数是（）

A.-40B.-25C.25D.55

5.已知球面上A,B,C三点,如果,且球的体积为,则球心到平面ABC的距离为（）

A.1B.C.D.2

6.已知双曲线的左、右焦点分别为,圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B,四边形的周长p与面积S满足,则该双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

7.设直线系,则下列命题中是真命题的个数是（）

①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数,存在正n边形,其所有边均在M中的直线上；④

A.0B.1C.2D.3

8.若函数的定义域与区间[0,1]的交集由n个开区间组成,则n的值为（）

A.4B.3C.2D.1

二、多项选择题：

本题共4小题,每小题5分,共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。

9.气象意义上从春季进入夏季的标志为：

“连续5天每日平均温度不低于22℃”。

现重庆市内北碚区、渝北区、渝中区三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数,单位℃）满足以下条件：

北碚区：

5个数据的中位数是24,众数是22；

渝北区：

5个数据的中位数是27,平均数是24；

渝中区：

5个数据有一个是32,平均数是26,方差是10.2

则下列说法正确的是（）

A.进入夏季的地区至少有两个B.渝中区肯定进入了夏季

C.不能肯定渝北区进入夏季D.不能肯定北碚区进入夏季

10.如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F,P为双曲线上的动点,已知,则的值可能为（）

A.B.2C.D.4

11.如图,已知四棱锥所有棱长均为4,点M是侧棱PC上的一个动点（不与点P、C重合）,若过点M且垂直于PC的截面将该四棱锥分成两部分,则下列结论正确的是（）

A.截面的形状可能为三角形、四边形、五边形

B.截面和底面ABCD所成的锐二面角为

C．当PM=1时,截面的面积为

D．当PM=2时,记被截面分成的两个几何体的体积分别为,则

12.设函数是定义在区间上的函数,若对区间中的任意两个实数,都有则称为区间上的下凸函数。

下列函数中是区间（1,3）上的下凸函数的是（）

A.B.C.D.

三、填空题：

本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中,靖安司通过长安城内的望楼传递信息。

同名改编电视剧中,望楼传递信息的方式有一种如下：

如图所示,在九宫格中,每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换,从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息。

现要求每一行,每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递种信息.（用数字作答）

14.设三角形ABC的面积为S,满足,且,若角B不是最小角,则S的取值范围是.

15.已知动点满足,为原点坐标,则的最大值为.

16.在中,点D在边BC上,且满足AD=BD,,则的取值范围为______.

四、解答题：

本题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知各项均不为0的等差数列的前项和为,若,且成等比数列.

（1）求数列的通项公式与；

（2）设,求数列的前项和.

18.（12分）已知向量,,且函数的图象经过点.

（1）求的解析式及最小正周期；

（2）若,的值.

19.（12分）如图所示,三棱柱中,,平面．

（1）证明：

平面平面；

（2）若,,求点到平面的距离．

20.（12分）已知椭圆四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线与圆相切且交椭圆E于两点,求线段的最大值．

21.（12分）已知函数f（x）=

（1）当x∈[1,8]时,求该函数的最值；

（2）若对于任意x∈[1,8]恒成立,求实数m的取值范围．

22.（12分）某品牌商家入驻一家购物平台后,销售额大幅提升,为了答谢顾客并进一步提升销售额,该品牌商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌商品的促销活动．促销活动规则如下：

①“价由客定”,即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后,系统根据当年“跨年夜”该商品数量配额,按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件,且参与人员分配到名额时必须购买．某位顾客拟参加2020年“跨年夜”该商品促销活动,他为了预测该商品最低成交价,根据该购物平台的公告,统计了最近5年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数（单位：

十万）（见下表）

年份

2015

2016

2017

2018

2019

年份编号t

1

2

3

4

5

参与人数y（单位：

十万）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合参与人数y（十万）与年份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：

并预测2020年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数；

（2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2020年“跨年夜”该商品促销活动人员的报价进行抽样调查,得到如下的一份频数表：

报价（千元）

[1,2）

[2,3）

[3,4）

[4,5）

[5,6）

[6,7）

频数

200

600

600

300

200

100

①求这2000位参与人员报价的平均值和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；

②假设所有参与该商品促销活动人员的报价X可视为服从正态分布,且μ与σ2可分别由①中所求的样本平均值和样本方差s2估值．若预计2020年“跨年夜”该商品最终销售量为31730件,请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价．

参考公式：

（ⅰ）回归方程：

其中,；

（ⅱ）,,；

（ⅲ）若随机变量Z服从正态分布,则,,．

绝密★启用前

重庆市主城区普通高中

2021届高三毕业班上学期高考适应性考试

（一）

数学试题参考答案

2020年12月

试题难度：

0.50

【小题1】D

【小题2】D

【小题3】C

【小题4】B

【小题5】D

【小题6】C

【小题7】C

【小题8】A

【小题9】ABC

【小题10】CD

【小题11】BCD

【小题12】ACD

【小题13】34

【小题14】

【小题15】

【小题16】

【小题17】 解：

（2）设等差数列{an}的公差为d,

由a5＝9,可得a1+4d=9,S7=7a4,

由a1,a4,S7成等比数列,=a1S7,

a4≠0,所以d=2a1,

解得a1=1,d=2,

∴an=1+（n-1）×2=2n-1,．

（2）由

（1）可得：

bn＝（-1）n（Sn+2n）=（-1）n（n2+2n）．

∴

=

​​​​​​​．

【小题18】解：

（1）由=可得到,

将代入得,,

又, ．

所以的解析式为,最小正周期为.

（2）,

,

 ,

​​​​​​​.

【小题19】

（1）证明：

∵AC1⊥平面A1BC,∴AC1⊥BC,

∵∠BCA=90°,BC⊥AC,

又ACAC1=A,AC、AC1平面ACC1A1,

∴BC⊥平面ACC1A1；

又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACC1A1．

（2）解：

取AC的中点D,连接A1D,

∵A1A=A1C，∴A1D⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC，

则A1D⊥平面ABC；

∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，

∴四边形ACC1A1为菱形，∴AA1=AC．

又A1A=A1C，

∴△A1AC是边长为2正三角形，，

∴；

设点B1到平面A1BC的距离为h，

则，

由

（1）知BC⊥平面ACC1A1，

故为直角三角形，

，∴．

所以点B1到平面A1BC的距离为．

【小题20】解：

（1）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形，

所以，即，

所以椭圆E的方程为，

（2）圆O:

x2+y2=2，因为直线y=kx+m与圆O:

x2+y2=2相切，

所以，即m2=2（1+k2）；

联立得，，

设M，所以​

由弦长公式得|MN|＝，

将代入：

​​​​​​​|MN|=，

当且仅当，即时等号成立，

​故弦长|MN|最大值为.

【小题21】解：

（1）可令t=log2x，由当x∈[1，8]，可得t∈[0，3]，

则g（t）=t2-t-2=（t-）2-，

当t=时，g（t）取得最小值-；当t=3时，g（t）取得最大值4，

则x=时，f（x）取得最小值-，x=8时，f（x）取得最大值4；

（2）若对于任意x∈[1，8]恒成立，

可得f（x）max＜2，

由

（1）可得f（x）在[1，8]的最大值为4，

可得2＞4，即为m2-2m-6＞2，

即有（m-4）（m+2）＞0，

解得m＞4或m＜-2．

则实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（4，+∞）．

【小题22】解：

（1）由题意可知

所以

所以归回方程为,

当t=6时，;

所以预测2020年跨年夜参与该商品促销活动的人数为20万

（2）①由表中的数据，得平均数

样本方差

②由①可知，且，

则又，

所以该商品的最低成交价为4.8千元.