方程组与不等式组应用题含答案.docx

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方程组与不等式组应用题含答案

方程（组）与不等式（组）应用题

【例题经典】

一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

会员年卡类型

办卡费用（元）

每次游泳收费（元）

A类

50

25

B类

200

20

C类

400

15

例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次

之间，则最省钱的方

式为

A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡

C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡

【点评】此题通过数学建模能培养同学们应用数学知识解决问题的能力，此题先将实问题转化为列方程组和不等式组解应用题．

例2《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架。

它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术。

其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就。

《九

章算术》中记载：

“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。

问牛、羊各直金几何？

”

译文：

“假设有5头牛、2只羊，值金10

两；2头牛、5只羊，值金8两。

问每头牛、每只羊各值金多少两”

设每头牛值金x，每只羊各值金y两，可列方程组为_____________．

例3：

（2010•北京）列方程或方程组解应用题：

2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？

【点评】此题通过数学建模能培养同学们应用数学知识解决问题的能力，此题先将实问题转化为列方程组和不等式组解应用题．

中考达标

函数/不等式/方程的应用问题

（东城）9.为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品.已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是

A．5B．6C．7D．8

（海淀）9．油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中.汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油.某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：

油电混动汽车

普通汽车

购买价格（万元）

17.48

15.98

每百公里燃油成本（元）

31

46

某人计划购入一辆上述品牌的汽车.他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本.则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少为

A．5000B．10000C．15000D．20000

（燕山）9．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：

工序

时间

模型

打磨（A组）

组装（B组）

模型1

9分钟

5分钟

模型2

6分钟

11分钟

则这两个模型都制作完成所需的最短时间为

A．20分钟B．22分钟C．26分钟D．31分钟

（石景山）9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：

加油时间

油箱加油量（升）

加油时的累计里程（公里）

2016年3月31日

30

87006

2016年4月3日

48

87606

注：

“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．

根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里的平均耗油量大约是

A．7升B．8升C．9升D．10升

（顺义）9．联通公司有如下几种手机4G套餐：

（1G=1024M）

套餐类型

月费（元/月）

套餐内包含内容

套餐外资费

国内数据流量

国内电话（分钟）

流量

国内电话

套餐1

76

400M

200

0M-200M时，0.3元/M

201M-1G时，60元

0.15元/分钟

套餐2

106

800M

300

套餐3

136

1G

500

套餐4

166

2G

500

李老师每月大约使用国内数据流量约800M，国内电话约400分钟，若想使每月付费最少，则应选择的套餐是

A．套餐1B．套餐2C．套餐3D．套餐4

（门头沟）15．某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：

品牌

月租费

本地话费（元/分钟）

长途话费（元/分钟）

全球通

13元

0.35

0.15

神州行

0元

0.60

0.30

如果小明每月拨打本地电话时间是长途电话时间的2倍，且每月总通话时间在65～70分钟之间，那么他选择较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．

（2016房山一模）9．在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的计费方式成为了人们所关心的具有实际意义的问题.下表是两种移动电话的计费方式：

月使用费（元）

主叫限定时间（分钟）

主叫超时费/（元/分）

被叫

方式一

58

150

0.25

免费

方式二

88

350

0.19

免费

若小明的爸爸每月打电话的时间在300分钟，请问选择哪种方式省钱

A.方式一B.方式二C.两种方式一样D.无法确定

（2016昌平二模）9．商场为了促销，推出两种促销方式：

方式①：

所有商品打8折销售.

方式②：

购物每满100元送30元现金．

杨奶奶同时选购了标价为120元和280元的商品各一件，现有四种购买方案：

方案一：

120元和280元的商品均按促销方式①购买；

方案二：

120元的商品按促销方式①购买，280元的商品按促销方式②购买；

方案三：

120元的商品按促销方式②购买，280元的商品按促销方式①购买；

方案四：

120元和280元的商品均按促销方式②购买．

你给杨奶奶提出的最省钱的购买方案是

A.方案一B.方案二C.方案三D.方案四

（2016海淀二模）8．某通信公司自2016年2月1日起实行新的4G飞享套餐，部分套餐资费标准如下：

套餐

类型

月费

（元/月）

套餐内包含内容

套餐外资费

国内数据流量（MB）

国内主叫（分钟）

国内流量

国内主叫

套餐1

18

100

0

0.29

元/MB

0.19

元/分钟

套餐2

28

100

50

套餐3

38

300

50

套餐4

48

500

50

小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则

他应预定的套餐是

A．套餐1B．套餐2C．套餐3D．套餐4

（2016朝阳二模）8．现有A、B两种商品，买3件A商品和2件B商品用了160元，买2件A商品和3件B商品用

了190元．如果准备购买A、B两种商品共10件，下列方案中费用最低的为

A．A商品7件和B商品3件　B．A商品6件和B商品4件

C．A商品5件和B商品5件D．A商品4件和B商品6件

【考点精练】

1．（2006年潍坊市）据《淮坊日报》报道，潍坊市物价局下发了《关于调整潍坊市城市供水价格的通知》，本通知规定自今年5月1日起执行现行水价标准（见下表）．

用水类别

基本水价

（元/吨）

代收污水

处理费

（元/吨）

代收水资源费

（元/吨）

综合水价

（元/吨）

居民生活、行

政事业用水

基数内

1.80

0.90

0.50

3.20

基数外一档

2.70

0.90

0.50

4.10

基数外二档

3.70

0.90

0.50

5.10

工业生产用水

…

…

…

…

…

（1）由上表可以看出：

基数内用水的基本水价为1.80元/吨；基数外一档[即超基数50%（含）以内的部分]的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收_______元；基数外二档（即超基数50%以外的部分）的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收_________元；

（2）若李明家基数内用水为每月6吨，5月份他家用水12吨，那么李明家5月份应交水费（按综合水价计算）多少元？

若李明家计划6月份水费不超过30元，那么李明家6月份最多用水多少吨？

（精确到0.01）

2．双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元．

（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？

（2）若销售1件A型号服装可获利18元，销售1件B型号服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？

如何进货？

3．（2006年龙岩市）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间符合一次函数关系式y=kx+b．当x=7时，y=2000；x=5时，y=4000．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售这种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？

（利润=售价-成本价）

4．武汉市江汉一桥维修工程中拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道：

若两个工程队合做24天恰好完成；若两队工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：

（1）甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？

（2）已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？

5．（2006年日照市）日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公割标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间投资以及产值如下表：

（单位：

千元/吨）

品种

先期投资

养殖期间投资

产值

西施舌

9

3

30

对虾

4

10

20

养殖场受资金的限制，先期投资不超过360千元，养殖期间投资不超过290千元，设西施舌种苗的投放量为x吨．

（1）求x的取值范围；

（2）设这两个品种的总产值为y（千元），试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值？

最大值是多少？

6．某企业在“蜀南竹海”收购毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨获利800元，如果对毛竹进行精加工，每天可加工1吨，每吨获利4000元．由于受条件限制，每天只能采用一种方式加工，要求在一月内（30天）将这批毛竹全部销售．为此企业厂长召集职工开会，让职工们讨论如何加工销售更合算．甲说：

将毛竹全部进行粗加工销售；乙说：

30天都进行精加工，未加工的毛竹直接销售；丙说：

30天中可以几天粗加工，再用几天精加工后销售，请问厂长采用哪位说的方案获利最大？

7．（2005年盐城市）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：

一次性购买A型毛笔不超过20枝时，按零售价销售；超过20枝时，超过部分每枝比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售；一次性购买B型毛笔不超过15枝时，按零售价销售；超过15枝时，超过部分每枝比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．

（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1枝A型毛笔和2枝B型毛笔，共支付145元；若每人各买2枝A型毛笔和1枝B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？

（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：

无论购买多少枝，一律按原零售价（即

（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售，现要购买A型毛笔a枝（a>40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？

并说明理由．

8．（2006年天门市）某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投入不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：

（收益=毛利润-成本+政府补贴）

养殖种类

成本

（万元/亩）

毛利润

（万元/亩）

政府补贴

（万元/亩）

甲鱼

1.5

2.5

0.2

黄鳝

1

1.8

0.1

（1）根据以上信息，该农户可以怎样安排养殖？

（2）应怎样安排养殖，可获得最大收益？

（3）据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润针减少m万元．问该农户又该如何安排养殖，才可获得最大收益？

答案:

例题经典

例1．设甲班人数为x人，乙班人数为y人．

，

因为x为整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，41，42，43，44．

又因为y也整数，x必须是8的倍数，所以x=40，y=44，

所以总人数为84人．

例2．分析：

可设A、B两种型号的轿车每辆分别为x万元、y万元．

通过列方程组解出

（1）问．

解：

（1）设A型号的轿车每辆为x万元，B型号的轿车每辆为y万元，

根据题意，得

．

答：

A、B两种型号的轿车每辆分别为10万元，15万元

（2）设购进A种型号的轿车a辆，则购进B种型号的轿车（30-a）辆．

根据题意，得

，解此不等式组得18≤a≤20，

∵a为整数，∴a=18，19，20，

∴有三种购车方案．

方案1：

购进A种型号轿车18辆，购进B型号轿车12辆；

方案2：

购进A型号轿车19辆，购进B型号轿车11辆；

方案3：

购进A型号轿车20辆，购进B型号轿车10辆．

汽车销售公司将这些轿车全部售出后；

方案1获利18×0.8+12×0.5=20.4（万元）；

方案2获利19×0.8+11×0.5=20.7（万元）；

方案3获利20×0.8+10×0.5=21（万元）．

答：

在三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后分别获利为20.4万元，20.7万元，21万元．

考点精练

1．

（1）0.9；1.9

（2）解：

由题意知，李明家5月份基数内6吨水费为3.2×6=19.2（元），

基数外一档3吨水费为4.1×3=12.3（元）；

基数外二档3吨水费为5.1×3=15.3（元），

所以，李明家5月份应交水费为19.2+12.3+15.3=46.8（元）．

设李明家6月份计划用水x吨，∵19.2<30<19.2+12.3，∴6

依题意得19.2+（x-6）×4.1≤30，解得x≤8.63，

∴李明家6月份计划用水8.63吨．

2．

（1）解：

设A种型号服装每件x元，B型服装每件y件，

由题意得

；

（2）设B型服装购进m件，则A型服装购进（2m+4）件，

由题意得

，解不等式组，得9

≤m≤12，

∵m为正整数，∴m=10，11，12，∴2m+4=24，26，28

3．解：

（1）依题意得：

，y=-1000x+9000．

（2）设该种水果价格每千克应调低至x元．

（9000-1000x）（x-4）=（10-5）·（1+20%）·1000，

整理得：

x2-13x+42=0，解得：

x1=6，x2=7，

∵要让顾客得到实惠，∴取x1=6，

答：

该种水果价格每千克应调低至6元

4．

（1）解：

设甲独做x天完成，乙独做y完成．

符合题意．

（2）设甲施工a天，乙施工b天．

，

解之得b≥40，即乙最少施工40天

5．

（1）

，解之得30≤x≤32，

（2）y=30x+20（50-x）=10x+1000，

∵k=10>0，∴x=32时，y=1320千克

6．设m为毛竹的数量（吨），m≤30时应用精加工，

当30

天精加工，

当m≥150时，应用粗加工

7．解：

（1）设每枝A型毛笔x元，每枝B型毛笔y元，

则，

，

故每枝A型毛笔2元，每枝B型毛笔3元．

（2）如果按原来的销售方法购买a枝A型毛笔共需m元，

则m=20×2+（a-20）×（2-0.4）=1.6a+8；

如果按新的销售方法购买a枝A型毛笔共需n元，

则n=a×2×90%=1.8a，于是n-m=1.8a-（1.6a+8）=0.2a-8，

∵a>40，∴0.2a>8，∴n-m>0，

可见，当a>40时，用新的方法购买A型毛笔花钱多，

因此应选择原来的方法购买．

8．解：

（1）设安排x亩养甲鱼，得

解得：

6≤x≤8，∴x=6，7，8．

即安排:

16亩水池养甲鱼，4亩水池养黄鳝；

27亩养甲鱼，3亩养黄鳝；

③8亩养甲鱼，2亩养黄鳝．

（2）设收益为W1，则W1=（2.5-1.5+0.2）x+（1.8-1+0.1）（10-x）=0.3x+9，

由

（1）当x=8时W最大．即8亩水池养甲鱼，2亩水池养黄鳝．

（3）设收益为W2，

则W2=（2.5-1.5+0.2-m）x+（1.8-1+0.1）（10-x）=（0.3-m）x+9，

1当m=0.3时，按

（1）中的安排均可获得最大收益．

2当m<0.3时，安排8亩养甲鱼，2亩养黄鳝．

③当m>0.3时，安排6亩养甲鱼，4亩养黄鳝．