新人教九上第2412垂直于弦的直径教案新3.docx

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新人教九上第2412垂直于弦的直径教案新3

24.1.2垂直于弦的直径

济宁学院附属中学李涛

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

1.理解圆是轴对称图形.

2.明确垂径定理的题设和结论及定理的推理过程.

3.能初步应用垂径定理进行计算和证明.

数学思考

1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．

2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，发展合情推理能力，体会转化化归、数形结合的思想.

解决问题

1.通过探究活动，体验数学思维的严谨性.

2.在探究活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果.

情感态度

1.通过对赵州桥历史的了解，感受数学在生活中的运用，激发学习热情.

2.在探究活动中，培养不断发现问题、通过合作交流解决问题的意识和精神.

重点

垂径定理及其运用．

难点

探索证明垂径定理

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动1动手折一折

活动2动手动脑做数学

活动3练习

活动4练习

活动5知识应用

活动6小结，布置作业

探索圆的对称性．

探索垂径定理．

巩固对垂径定理的理解．

通过寻找一段弧的中点,进一步理解垂径定理．

拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识

培养学生的归纳能力，巩固新知．

教学过程设计

情境创设

播放视频《文明与创造》，引出情境问题赵州桥。

情景问题：

赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

（ppt）

活动二：

尝试解决

探究1：

把实际问题转化为数学问题，根据题意画图.

发现问题：

拱高如何画，弧的中点如何找？

教师活动：

教师出示问题情景.

要解决实际问题，需转化为与数学有关的知识来解决.

解决几何方面的问题，又需先根据题意画出图形来.

学生思考如何画图？

通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题。

由此导入新课，出示课题“24.1.2垂直于弦的直径”

学生活动

设计意图：

利用视频欣赏引出情境问题，可以调动学生们的学习热情，同时让学生感受1300多年前数学在生活中的运用，让同学感受数学来源于生活.结合赵州桥资料的介绍，向学生进行爱国主义教育和美育渗透。

（一）圆的对称性

活动1：

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？

由此你能得到什么结论？

（课件：

探究圆的性质）

教师活动：

引导学生进行实验.在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．

学生活动：

学生拿出准备好的圆动手按要求操作，观察操作结果，交流心得，总结出结论.

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.按教师要求操作，观察，思考，交流，尝试发现结论.

设计意图：

培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题，让学生经历知识的形成过程，并围绕问题情景探究思考.通过体验解决问题的全过程，形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神.通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础

（二）、垂径定理

活动2：

按下面的步骤做一做：

（一）教师活动：

1.在纸上的圆中任意画一条弦ＡＢ

2.作直径ＣＤ垂直弦ＡＢ于Ｅ（“垂直于弦的直径”）垂足为E.

1.沿着直线CＤ折叠纸圆。

（教师做适当归纳）

在上述的操作

过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?

为什么？

（课件：

探究垂径定理）

观察：

1.上图是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

2.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？

为什么？

你能得到什么结论？

得出结论

垂径定理：

。

⌒

⌒

⑤AD=BD.

⌒

⌒

④AC=BC,

③AE=BE,

②CD⊥AB

由①CD是直径

几何语言：

教师活动：

引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质

根据图形用符号语言表示：

已知：

在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为

.

求证：

AE=BE,

引导学生运用圆是轴对称图形这一性质进行简单证明.

但这个结论是同学们通过实验猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们来证明它。

教师引导学生：

上述猜想的条件和结论是什么？

并将文字语言转换成符号语言，写出已知和求证，为分清定理的题设和结论作铺垫，同时也是证明命题的必要。

要证明线段相等的方法很多，而证明弧相等的方法目前只有依据定义，即证明两条弧重合。

引导分析发现证明这三部分重合的关键是A、B两点重合。

而A、B两点重合的关键是A、B两点关于直线CD对称。

因此，引导学生连接OA、OB，说明CD既是三角形AOB的对称轴，也是圆O的对称轴，即可以得到这三部分重合。

（师生共同演示）这种方法即“叠合法”，此时教师板书垂径定理的内容（投影仪显示）。

电脑上用几何画板上作图：

（1）做一圆

（2）在圆上任意作一条弦AB；

（3）过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。

（板书课题：

垂直于弦的直径）

学生活动：

在此基础上继续实验探究.

学生按要求作图，动手折叠，观察、猜想，小组交流自己的猜想，并讨论证明自己的猜想.

猜想：

垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

学生通过练习，总结垂径定理的应用：

过圆心作垂直于弦的直径、半径、垂线段、直线都可以使用垂径定理.

学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，尝试得出垂径定理，并从不同角度加以解释.再进行严格的几何证明.

设计意图：

让学生经历知识的形成过程，并围绕问题情景探究思考.

使学生明白轴对称图形的性质在证明题时的应用.

进一步体会小组活动在数学学习中的作用，使学生树立学好数学的自信心.

加深对垂径定理的理解.培养学生的综合分析能力.

通过该问题引起学生思考，进行探究，发现垂径定理，初步感知培养学生的分析能力，解题能力.

为继续探究其推论奠定基础

想一想：

下列图形是否可以使用垂径定理？

为什么？

运用定理变式练习揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件

师生分析，进一步理解定理，析出定理的题设和结论.

教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究，得到推论

在此基础上继续实验探究.

学生按要求作图，动手折叠，观察、猜想，小组交流自己的猜想，并讨论证明自己的猜想.

猜想：

垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，

与

重合．因此AM=BM，

=

，同理得到

．

根据图形用符号语言表示：

已知：

在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为

.

求证：

AE=BE,

引导学生运用圆是轴对称

图形这一性质进行简单证明.

教师活动：

全面的理解和掌握垂径定理和它的推论，并进行推广，得到其他几个定理，完整的把握所学知识.

学生活动：

学生根据问题进行思考，更好的理解定理和推论，并弄明白它们的区别与联系

学生根据问题进行思考，更好的理解定理和推论，并弄明白它们的区别与联系

CD⊥AB

探究活动三：

已知CD是直径，且平分弦AB,能否得到，且平分弧ACB及弧AB?

②CD⊥AB,

垂径定理的推论：

。

由①CD是直径

几何语言：

③AE=BE

利用垂径定理解决问题

（三）、垂径定理、推论的应用

运用新知（18分钟）

练习1：

（5分钟）

一条排水管的截面如图所示。

已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。

求截面圆心O到水面的距离。

在学生发表见解的情况下总结归纳：

（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。

（2）重要的辅助线：

过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。

总结口诀：

半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了

学生总结归纳解题思路，在练习本作，电脑显示

解：

:

作OC⊥AB于C,

由垂径定理得:

AC=BC=AB=×16=8

由勾股定理得:

答:

截面圆心O到水面的距离为6.

教师活动：

学生活动：

学生审题，尝试自己画图，理清题中的数量关系，并思考解决方法，由本节课知识想到作辅助线办法，

体会转化思想，化未知为已知，从而解决本题，同时把握一类题型的解题方法，作辅助线方法.

学生通过练习，总结垂径定理的应用：

过圆心作垂直于弦的直径、半径、垂线段、直线都可以使用垂径定理.

通过体验解决问题的全过程，形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神.

进一步体会小组活动在数学学习中的作用，使学生树立学好数学的自信心.

设计意图：

这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。

学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．

（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

（练习本做、电脑显示）

解：

如图，设半径为R

在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得

解得R≈27.9（m）

答：

赵州桥的主桥拱半径约为27.9m

教师活动设计：

在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：

弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．

随堂练习：

全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目

调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。

教师活动：

教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.

学生活动：

运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧

巩固拓展知识

让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力

活动五：

师生小结

1.垂径定理及其应用

2.将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题，

3.圆中经常作的辅助线——半径、作弦的垂线

3.解决问题的思路与方法，勇于探索,不畏学习中的困难.

由学生小结，电脑显示

知识总结：

这节课我们主要学习了两个问题：

一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。

另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。

讲评总结：

1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？

2应用垂径定理如何添辅助线？

垂径定理有哪些应用

3这节课的学习你有什么疑问？

4这节课的学习方式拟喜欢吗？

你有什么好的建议？

学生活动：

学生总结发言.

教师活动：

讲评回答

加强教、学反思，进一步提高教、学效果.

设计意图：

梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯.

回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高

圆的轴对称性----垂径定理----应用（半径半弦弦心距）（直角三角形）

通过小结，使知识成为体系，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。

布置作业：

证明题：

课本练习第2题.

计算题：

习题第8题.

加强教、学反思，进一步提高教、学效果.梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯.

设计意图：

作业题分层给出，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高

拓展升华（3分钟）

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？

（1）过圆心

（2）垂直于弦（3）平分弦

（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论

学生自主探证通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标

板书设计

24.1.2垂直于弦的直径

1.提出问题（课件）3.解决问题

2.分析问题4.应用垂径定理进行计算和证明

（1）圆是轴对称图形。

（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）

（3）圆的对称轴有无穷多条

24.1.2垂直于

垂径定理：

垂径定理逆定理：

弦的直径

垂径定理证明：

方法归纳：

技巧：

重要辅助线是过圆心作弦的垂线。

重要思路：

（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程

构造Rt△的“七字口诀”：

半径半弦弦心距

课后反思

本节课通过学生比较熟悉的赵州桥的实际背景进行引入，提高了学生的学习积极性。

通过折圆使学生达到了动手动脑的目的，让学生通过实验发现垂径定理，通过学生的分组讨论加强了学生间的相互交流，更进一步对发现的性质进行了认可。

教师的讲一讲主要是解决学生自学中存在的问题，充分体现了教师以学生为主体教师主导的新课程理念。

数学课不但要教给学生数学知识，更重要的是培养学生的思考问题的方式以及求真务实的学习品质，本节课通过五步教学，让学生在平时的课堂中掌握学习的方法，为学生的后续学习打下坚实的基础。

三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．

活动5解决下列问题

1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：

这艘船是否能够通过这座拱桥？

说明理由．

图5图6

学生活动：

学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．

〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到

OC⊥AB，OC⊥GF，

根据勾股定理容易计算

OE=1．5米，

OM=3．6米．

所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．

2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

图7图8

师生活动设计：

让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．

〔解答〕

如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，

则AE=

AB=30cm．令⊙O的半径为R，

则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+（R-10）2．

解得R=50cm．

修理人员应准备内径为100cm的管道．

活动三：

利用垂径定理解决问题

如图4，已知

，请你利用尺规作图的方法作出

的中点，说出你的作法．

图4

师生活动设计：

根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．

〔解答〕1．连接AB；

2．作AB的中垂线，交

于点C，点C就是所求的点．

学生根据垂径定理画出图形，引导学生把圆的问题转化为直角三角形的问题来解决.

书写过程并利用多媒体进行展示.

学生是否能独立思考解决问题.

加深对垂径定理的理解.

培养学生的综合分析能力.

进一步体验数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.